基于李雅普諾夫指數的直齒輪非線性特性研究

中圖分類號：TH132 文獻標志碼：A 文章編號：1006-0316（2025）08-0007-07

doi：0.3969/j.issn.006-036.2025.08.002

Study on Nonlinear Characteristics of Spur Gears Based on Lyapunov Exponent

WEN Xue，2，LIU Yueming，ZHU Meiyu，2，DENG Chaofeng （.College of Mechanical and Energy Engineering，Shaoyang University，Shaoyang 422ooo，China;

2.Key Laboratory of Intellgent Manufacturing for Eficient Power Systems，Shaoyang 4220o0， China ）

Abstract ：In order to explore the influence of nonlinear factors on the motion of the single-stage gear transmission system，the influence of nonlinear factors such as backlash and excitation frequency on the vibrationofthesystemiscomprehensivelyinvestigated，andbytaking intoaccountthe longitudinal vibration displacement of the gear system，the nonlinear dynamic model of longitudinal displacement and torsional displacement coupling is established through the concentrated mass method，and the relevant dynamic equations are derived.The ode45 function is adopted to numerically solve the equation of state of the gear system. Combined with the maximum Lyapunov exponential diagram of the system，the bifurcation and chaotic characteristics with the excitation frequency and tooth clearance are analyzed，and the following conclusions are obtained： when the excitation frequency varies within [2.2，3.1]， with the increase of the excitation frequency， the system changes from single-periodic motion to chaotic motion，and finally returns to single-period motion through inverse doubling，and the corresponding Lyapunov exponent shows a negative-positive-negative change pattern; when the backlash varies within [O.06，0.075]，with the increase of tooth clearance，the system changes from a single-period motion to a chaotic motion，evolves into a four-period motion through doubling bifurcation， and finally becomes anunstable chaotic motion with a short periodic window，and the corresponding Lyapunov exponent alternates between positiveand negative values，especially frequent in the unstable chaotic region.The analysis resultscanprovidea theoretical basis forthe selection of gear excitation frequencyand the design of backlash.

Keywords：nonlinear dynamics;backlash;excitation frequency;chaos;bifurcation

齒輪傳動系統運用于各種領域，其負載運行過程呈現出復雜的動力學特征，吸引了大量學者研究[1-2]。系統處于擬周期運動[3-4]時，在分岔圖中呈現為密集的點，無法與混沌運動狀態區分，但擬周期運動在最大李雅普諾夫指數圖中表現為零，與混沌運動時的李雅普諾夫指數大于零有著明顯不同，這表明李雅普諾夫指數是一個判斷系統運動狀態的很好工具[5-6]。

劉寧等[7建立摩擦動力學模型，結合李雅普諾夫指數和非線性分析方法，研究齒面摩擦對行星齒輪系統分岔特性的影響，得到摩擦系數在高頻區域對系統分岔影響大。崔燦等8以最大李雅普諾夫指數為可靠性指標構建極限狀態方程。田亞平等建立了純扭轉齒輪動力學模型，分別探究齒輪系統在不同阻尼、不同嚙合剛度、不同激勵頻率下的運動規律。王永亮等[10]建立了三自由度齒輪故障模型，探究在齒輪裂紋和輕微磨損故障下系統的非線性動力學運動規律。彭毓敏等[11]建立矩陣形式的三自由度狀態方程，研究激勵頻率和齒側間隙對系統非線性動力學特性的影響。蔣強等[12通過建立三自由度動力學模型，得到不同主動軸支撐剛度下三自由度系統的混沌規律和嚙合阻尼對系統隨激勵頻率變化的分岔特性影響。Zhu等[13]建立了面齒輪傳動系統的6自由度扭彎擺非線性動力學模型，模型中考慮了系統的接觸比、負荷分配比等時變系統參數。Wang等[14]建立了多級齒輪系統模型，研究裂紋故障時系統在不同間隙下的分岔特性，通過考察不同間隙下的龐加萊截面，研究系統運動狀態的不穩定性變化，得到間隙增大導致系統碰撞運動增大，使系統逐漸失穩的規律。

以上研究中，較少涉及基于最大李雅普諾夫指數，研究激勵頻率和齒側間隙對齒輪非線性特性的影響，因此本文以三自由度齒輪系統為研究對象，建立具有多個自由度的非線性動力學方程，采用ode45函數數值求解法，基于最大李雅普諾夫指數，分析系統扭轉方向的位移隨激勵頻率、齒側間隙在某一范圍變化時，齒輪系統的非線性動力學特性的影響。

1三自由度齒輪傳動動力學模型

采用集中參數法建立三自由度齒輪動力學模型，如圖1所示。該模型考慮扭轉震動、支撐系統的縱向位移，忽略傳動軸的軸向彈性變形以及支撐系統的彈性變形[10]。

根據牛頓力學定律，建立三自由度直齒動系統的彎扭耦合振動微分方程為：

式中： τ 為時間； F_m 為齒輪副間的平均作用力；F_aT（τ） 為齒輪綜合力矩的波動函數； m_c 為齒輪副的等效質量； k_h（τ） 為齒輪嚙合的時變嚙合剛度，隨時間周期變化； r 為階數； k_hm 為平均嚙合剛度； k_har 為一個諧波分量的系數； ω_h 為嚙合頻率（也稱激勵頻率）； φ_hr 為嚙合頻率的初相位角。

圖1三自由度齒輪副動力學模型

m_gl. 有 m_g2 為主、從動齒輪的質量； I_gl 1 I_g2 為主、從動齒輪的轉動慣量； 為主、從動輪的基圓半徑； T_g1 一 T_g2 為作用在主、從動齒輪上的轉矩； F_b1. ： F_b2 為作用在主、從動齒輪上的載荷； e（τ） 為齒輪綜合誤差函數； F_aT（τ） 為載荷的波動函數； 為主、從動軸上軸承的非線性位移函數； k_bl / k_b2 為主、從動軸上軸承的平均支撐剛度； f_h 為主、從齒輪嚙合的非線性位函數； c_b1?c_b2 為主、從動軸上軸承的阻尼系數； c_h 為齒輪副的嚙合阻尼系數； θ_gl. 為主、從齒輪的扭轉角位移 ;y_gl，y_g2 為主、從動齒輪的縱向位移。

假設齒輪綜合誤差 e（τ） 和力矩的變化部分F_aT（τ） 為單頻的簡諧函數，即：

e（τ）=esin（ω_hτ+φ_h）

式中： e 為簡諧函數的振幅； φ_h 為綜合誤差變化的初始相位角； 為力矩波動的振幅、 φ_r 為力矩變化的初始相位角。

齒輪副的間隙為 2b ，主、從動軸上軸承間隙為 2b_i 1 ，則非線性函數為：

式中： p 為齒輪傳動的相對扭轉位移。

軸承間隙和齒側間隙所造成的非線性力可用位移函數與軸承剛度或嚙合剛度的乘積進行計算。

為了消除剛體位移，并對式（1）進行無量綱化，令 z₁=y_g1 、 、 、 1 、 ，則三自由度系統的無量綱狀態方程為：

式中： 、 、 S₂₂ 、 S₂₃ 、 S₃₃ 為無量綱阻尼比； k₁₁ 、 k₁₃（t） 、 k₂₃（t） 、 k₃₃（t） 為無量綱剛度；t 為無量綱時間； F_bl^′ 、 F_b2^′ 、 F_m^′ 、 F_aT^′（t） 為無量綱載荷[15]。

2非線性動力學特性分析

2.1激勵頻率的影響

將表1參數代入第1節公式，計算得到： （2 S₃₃=0.05 1b=1.0，F_bl^′=0.1，F_b2^′=0.2，ε=0.1

不考慮軸承間隙函數，代入上述參數，探究系統隨激勵頻率變化的非線性動力學特性，如圖2和圖3所示。可以看出，激勵頻率 ω 在[2.2，3.1]范圍內變化時，系統表現出豐富的分岔行為。隨著激勵頻率 ω 的增大，系統前期表現為單周期運動，后經激變進入到混沌運動，最后通過逆倍化分岔回到單周期運動。 2.2lt;ωlt; 2.35和 ωgt;2.72 時，系統表現為穩定的單周期運動，對應的LLE（LocallyLinear Embedding，局部線性嵌入算法）值處于負值區域， 2.645lt; ωlt;2.72 時，系統呈現穩定的2周期運動，其對應的最大李亞普諾夫指數小于零， 2.35lt;ωlt;2.54時，系統通過倍分岔形式進入混沌運動，對應的李雅普諾夫指數大于零， 2.54lt;ωlt; 2.645時，系統表現出穩定的4周期運動，對應的LLE值小于零。

取不同激勵頻率值，結合系統的時間歷程圖、相圖、龐加萊映射圖、頻譜圖觀察其非線性動力學特性的變化，如圖 4～7 所示。可以看出， ω=2.3 時，時間歷程圖的幅值恒定，為一條周期曲線，相圖表現為一條閉合曲線，龐加萊映射圖映射為一個點集，頻譜圖呈現出一個明顯的頻率峰值，可以判斷系統呈現穩定的單周期響應。 ω=2.52 時，時間歷程圖為一條無序曲線，相圖為無限條閉合曲線，龐加萊映射圖呈現為離散點集，頻譜圖上出現大量的諧波分量。 ω=2.57 時，時間歷程圖幅值不再恒定，相圖曲線繞4圈后閉合，龐加萊映射圖為4個點集。 ω=2.65 時，系統途徑逆倍化分岔，相圖曲線繞2圈后閉合，龐加萊映射圖由原來4個變為2個點集。 ω=3 時，時間歷程圖、相圖、龐加萊映射圖、頻譜圖和 ω=2.3 時規律一致。

表1齒輪參數表

圖2系統隨激勵頻率變化的分岔圖

圖3系統隨激勵頻率變化的LLE圖

圖4 ω=2.3 時系統的動態響應

圖5 ω=2.52 時系統的動態響應

圖6 ω=2.57 時系統的動態響應

圖7 ω=2.65 時系統的動態響應

2.2齒側間隙的影響

激勵頻率 ω 為2.3時，其余參數保持不變，以齒側間隙為變化參數，得到圖8和圖9。可以看出，齒側間隙 b 在[0.06，0.075]變化時，系統呈現明顯的分岔和混沌行為，當 0.06 LLE值處于負值區域。當 0.06125 取不同的齒側間隙，結合系統的時間歷程圖、相圖、龐加萊截面圖和頻譜圖，觀察系統的運動規律，如圖 10～13 所示。當 _b=0.059 時，時間歷程圖呈現一個簡單的波形，為一條周期曲線，相圖表現為一個封閉的橢圓曲線，龐加萊映射圖為一個點集，頻譜圖只出現一個明顯的頻率峰值。當 b=0.063 時，時間歷程圖為一條無序曲線，即非周期曲線，龐加萊映射圖為雜亂無章的點，頻譜圖出現大量的諧波分量，這些都說明系統在此時表現為混沌狀態。當 _b=0.07 時，相圖呈現為4個橢圓，龐加萊映射圖為4個聚集的點，頻譜圖出現4個明顯頻率峰值。當 b=0.073 時，系統重新表現為混沌狀態。

圖8系統隨齒側間隙變化的分岔圖

圖9系統隨齒側間隙變化的LLE圖

圖10 b=0.059 時系統的動態響應

圖11 b=0.063 時系統的動態響應

圖12 b=0.07 時系統的動態響應

圖13 b=0.073 時系統的動態響應

3結論

（1）激勵頻率對三自由度齒輪系統的非線性運動規律有著明顯的影響，在[2.2，3.1]區間變化時，隨著激勵頻率的增加，分岔行為明顯，通過李雅普諾夫指數圖得到齒輪系統隨激勵頻率變化時進入和退出混沌的激勵頻率值，系統從開始的單周期運動，隨著激勵頻率的增加，依次進入單周期運動、混沌運動、穩定的4周期運動、2周期運動，最后又回到單周期運動。

（2）齒側間隙是影響三自由度齒輪系統的另一個重要的非線性因素，齒側間隙發生微小變化時，系統的狀態也會隨之改變，隨著齒側間隙的增加，齒輪系統依次經歷穩定的單周期運動、混沌運動、4周期運動，最后變為帶有短暫周期窗口的陣發性混沌。得到系統隨齒側間隙變化時進入和退出混沌的齒側間隙值。

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