新高考背景下高中數學解題能力培養路徑

作者簡介：蘇素素（1988一），女，福建省泉州市晉江市毓英中學。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《新課標》）對學業水平考試與高考命題提出建議，如“注重數學本質、通性通法”“重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識”等。新高考以《新課標》為命題參考，強調對學生的基礎知識掌握情況、數學能力發展情況及核心素養生成情況的綜合考查。新高考背景下對數學解題能力的培養，一方面要讓學生掌握更多數學概念、思想方法，筑牢學生能力發展基礎；另一方面要讓學生參與更多運算練習或變式練習活動，在學習的過程中認識到自身解題能力的不足，促進學生的可持續發展。

一、新高考背景下高中數學試題命制特征

通過分析近幾年高考數學試卷，可發現高中數學試題命制具有如下特征。

一是注重對數學基礎知識的考查?！缎抡n標》在“命題原則”部分指出：“考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用?！彼越鼛啄旮呖紨祵W試卷基礎題數量較多。如2024年全國新課標Ⅰ卷第1題“已知集合 ? -53lt;53 ， B={-3，-1， 0， 2， 3} ，則A∩B=”主要考查交集及其運算，考生只需結合交集的定義即可求解。

二是注重對數學能力的考查。新高考背景下的數學試題類型多樣，包括選擇題、填空題、解答題等[1]。不同類型題目的題干并不完全相同，需要學生對已知信息進行分析，對隱藏信息進行挖掘，這考查了學生審題能力、分析能力、解題能力、創新能力等。如2024年全國新課標ⅡI卷第2題“已知命題 p 為?x∈R ， |x+1|gt;1 ；命題q為 ?xgt;0 ， x³=x ，則”主要考查考生的分析、判斷能力，要求考生通過假設、推理、判斷對命題及命題的否定的真假性進行分析。

三是注重對數學學科核心素養生成情況的考查?！缎抡n標》明確數學學科核心素養由數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析構成。新高考背景下的數學試題以真實情境為依托，將數學問題與實際問題有機融合，要求學生用核心素養解答題目[2]。如2024年全國新課標Ⅰ卷第9題“為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布 ? ，則”以種植區畝收入情況為依托，融入統計問題，要求考生用正態分布的相關知識構建模型并計算分析，綜合考查了考生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算素養生成情況[3]。

二、新高考背景下高中數學解題能力培養的具體路徑

（一）說明概念，奠定知識基礎

夯實學生知識基礎，是培養學生數學解題能力的前提。新高考背景下，教師有必要解讀近年來高中數學試題高頻考點，并圍繞高頻考點整合相應理論知識，應用“線上 + 線下”教學手段講解概念[4]。線上教學時，教師可利用微課視頻，圍繞數學課程重點、難點來講解，幫助學生了解相關內容，為學生深度學習奠定基礎。線下教學時，教師可組織學生圍繞數學理論的難點展開討論，鼓勵學生提出問題并深入探究，確保學生在課上學習時領悟概念背后的邏輯結構，提高學生的知識理解水平。

以人教A版數學必修第一冊“集合的基本運算”教學為例，教師可以在課前利用“釘釘”APP發布微課視頻，借助圖示及文字說明整合并集、交集、補集的運算知識。例如，教師可用Venn圖表示A、B兩個集合，結合圖示說明：“由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，用符號來表示就是 A∪B={x|x∈A ，或 x∈B} ；由所有屬于集合A且屬于集合 ?B 的元素組成的集合，稱為集合A 與B的交集，用符號來表示就是 4∩B={x|x∈A ，且x∈B} ?！盵5]這樣，學生能在課前預習的過程中了解集合的三種基本運算的知識。課堂教學中，教師可基于學生預習情況組織討論，鼓勵學生提出預習時遇到的疑難問題，并進行解答，幫助學生實現對并集、交集與補集運算知識的內化吸收。在此基礎上，教師還可對集合運算律—如 ∣?_U（A∩B）=（?_UA）∪（?_UB）， ?_U（A∪B）=（?_UA）∩（?_UB） 開展教學，指導學生類比數的運算規律進行集合的基本運算?？梢?，教師通過“線上說明 + 線下討論”，能幫助學生充分理解理論知識，為其解決集合的基本運算問題奠定扎實的理論基礎。

（二）講解例題，掌握解題方法

近年來的高考數學試卷中有較多試題源自高中數學教科書。解讀教科書上的母題，可以使學生了解數學試題的核心考點，幫助學生掌握同類型試題的解題方法。實際教學中，教師可以整合教科書所給的經典例題，在板書例題的基礎上組織師生對話，通過提問的方式引導學生逐步構建相關知識框架；之后展示具體的解題過程，組織學生總結解題經驗，切實提高學生的問題解決能力。

以人教A版數學必修第一冊“基本不等式”為例，此課涉及的數學問題類型多樣，如最值問題、應用題、證明題等。課上，教師可以圍繞此課的例題進行說明。

例：已知 |xgt;0 ，求 ? 的最小值。

說明：此為關于基本不等式的最值問題。因為? ”的數值均大于零，所以可用基本不等式 ? ? 解題。從數學抽象角度看，求 ? 的最小值，相當于求一個 ? ，使 ?xgt;0 ，都有 ? 。根據題目信息，可得到x·? ，應用基本不等式可以構建解題模型并得出問題答案。

結合母題說明求最值的核心考點（基本不等式），接著說明審題、解題的基本思路，展示求解的過程，能讓學生了解應用基本不等式求最值的方法。在此期間，教師還可引導學生從多個視角分析問題，在指導學生學習解題方法的同時提升學生的數學抽象、數學建模素養。

（三）滲透思想，豐富解題經驗

數學思想是對數學理論知識的本質認識。在高中數學課程教學中滲透如數形結合思想、整體思想、轉化思想等數學思想，可拓寬學生的數學學習視野，對于學生明確問題解決思路也有著積極意義。教師不僅要讓學生掌握基礎的數學概念，還要豐富學生的數學問題解決經驗。實際教學中，教師可以先說明數學思想是什么，再結合具體案例展示數學思想的應用技巧，由此深化學生認知，提升學生的數學解題能力。

以人教A版數學必修第一冊“三角恒等變換”為例，教師可在此課教學中滲透轉化思想，指導學生學會將未知角化為已知角進行求解，從而提高學生的解題效率。例如，圍繞“已知 ? ， ? ? ，求 ? 的值”這一問題進行解題教學時，教師可告訴學生：“當題目給出的信息不能直接用于求解時，可以應用轉化思想進行推理求解。如在解決這一問題時，可以先將所求角用己知角以及特殊角表示，再運用有關公式進行變形，然后得出答案?！边@樣，學生能明確解決三角恒等變換問題的基本思想。完成教學后，教師可以總結轉化思想的應用步驟。這樣，學生既能開闊自身視野，又能提升自身的推理能力、分析能力。

（四）指導運算，提高解題準確率

如果學生運算速度慢、運算效率低，會影響他們的解題結果。新高考背景下，在培養學生數學解題能力的過程中，教師要注意指導學生進行數學運算，使學生了解算理、算法，從根本上提高學生的運算速度及效率，確保學生能在正確的解題思路的引導下求得準確的答案。為此，教師可以圍繞高中數學運算教學內容設計問題，在實踐時先指導學生應用常規的算法進行求解，再展示簡便算法，讓學生掌握更多的運算知識。在此過程中，教師還要說明運算的注意事項，讓學生養成正確的運算態度與習慣。

以人教A版數學必修第二冊“復數的四則運算”為例，在教學此課介紹的復數的加減運算知識時，教師可展示問題“計算 （1+2i）+（3-4i）-（5+6i）^′ ，組織學生用常規方法運算。但在這一過程中，學生可能會在拆括號時忘記變號，導致后續計算錯誤。對此，在學生解決問題之后，教師可演示應用復數的四則運算規律（如交換律、結合律等）進行計算的過程，讓學生知道如何輕松求出運算結果。接著，教師可繼續提問并組織學生解決復數的乘除運算的問題，引發學生對復數的乘除運算的探究，從而提升學生的運算求解能力。

（五）變式訓練，發展解題思維

新高考背景下，針對學生容易形成思維定式的問題，教師可在課堂教學中組織變式訓練，通過指導學生探究更多解題方法，促進學生解題思維發展。實際教學中，教師可先展示典型問題，組織學生嘗試用常規方法解決；再改變典型問題的條件，組織學生用其他數學方法解決變式題。在這一過程中，學生需要認識到解決特定類型的問題的通性通法，并在此基礎上提高自身的創新能力。

以人教A版數學選擇性必修第一冊“直線的方程”教學為例，為激活學生的思維，教師可展示以下典型問題：1.求經過點A（2，5）且斜率是4的直線的點斜式方程；2.求傾斜角是 60^° 且在y軸上的截距是5的直線的斜截式方程；3.求過點A（-2， ^-2） 、點B（2，2）的直線的兩點式方程；4.求經過點 A（-3，0） 、點 B（0，2） 的直線的截距式方程。通過這四道考查直線方程的多種形式的典型問題，學生可聯想相應的數學公式進行建模求解。在學生解決這四道問題并總結解題方法后，教師可展示變式題，如“過點P（2，1）作直線l與 i_x 軸、y軸正半軸相交于A、 B 兩點，求 ΔAOB 面積的最小值”。與前四道問題相比，這道變式題的難度更高，且涉及的知識點更多，需要學生改變解題視角，根據直線的點斜式方程及已知信息構建模型并進行求解。可見，教師按照“典型問題分析一變式訓練”的思路進行解題教學，能促進學生解題所需的聯想、推理、應用、建模、創新思維的發展。

（六）落實評價，促進能力進階

新高考背景下，基于數學解題能力的培養要求設置教學評價體系，可以提高教學評價的客觀性與全面性，幫助學生認識自身的知識掌握、能力發展與核心素養生成情況，促進學生自我提升。教學中，教師可以從解題態度、解題行為表現及解題結果三個層面出發，落實教學評價，指出學生在審讀問題、梳理解題思路、構建解題模型、運算求解等過程中的不足并幫助學生針對性地進行彌補，實現學生的數學解題能力進階。

以人教A版數學選擇性必修第二冊“等比數列”為例，教學此課時，教師可以關注學生對等比數列定義、通項公式、等比中項、等比數列前n項和公式等理論知識的學習行為，指出學生存在的學習問題，幫助學生查漏補缺。教師在組織學生求解等比數列前 ? 項和、第n項的值時，可判斷學生能否主動聯想相應基礎知識梳理解題思路，能否主動應用相應公式構建解題模型，能否認真運算并在求出結果后進行檢驗，發現學生存在的不足（可能有馬虎大意、推理時出錯等）?？梢姡處熃柚虒W評價，能幫助學生更加客觀、全面地認識自己。

結語

綜上所述，新高考背景下的高中數學試題注重用多樣化的題型檢驗學生對數學知識、思想、方法及解題技巧的應用。針對部分高中學生的數學知識基礎薄弱、運算能力差、解題思維僵化等問題，教師有必要通過說明概念、講解例題、滲透思想、指導運算、變式訓練、落實評價等路徑，引導學生在學、練、評中逐步提高自身的數學解題能力。

【參考文獻】

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[2］王逸敏.淺析新高考背景下學生數學思維能力的培養策略[J」.數學學習與研究，2023（27）：32-34.

[3]裴偉.新高考下化歸思想在高中數學解題中的應用[J].數理天地（高中版），2023（5）：41-43.

[4」黃榕鑫.芻議新高考下“統計與概率”的解題策略［J].試題與研究，2023（6）：25-27.

[5］田江濤.新高考背景下的高中數學教學改革策略探析[J].學周刊，2023（6）：112-114.