基于多分辨率模塊度的約束Louvain社區檢測算法 米

關鍵詞：復雜網絡；社區檢測；Louvain算法；多分辨率模塊度；約束條件中圖分類號：TP399 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2025）08-012-2335-06doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2024.12.0533

Constrained Louvain community detection algorithm based on multi-resolution modularity

Zhang Zhen’，Jin Jinshuai1，Chen Kexin2，Tian Hongpeng1 （1.SchoolofEecricalamp;foatoEging，egzUersitZeno450ohi;.ZuiUnio Co.，Ltd.，Zhuhai Guangdong ，China）

Abstract：Aimingat theproblemthattheresolutionoftheLouvainalgorithmis lmited，thispaperproposedLouvain communitydetection algorithm basedonmulti-resolution modularity（MRQ）.Itadded avariableresolution module MRQto the Louvainalgorithm toefectivelysolvetheproblemoftheresolutionlimitoftheLouvainalgorithm.Onthisbasis，tosolvetheproblemthattheLouvainalgorithmcouldobtain divisionresults thatdidnotmeetthecommunityconditions，theconstraintsof communitydivisionwereadded，andtheaccuracyofthecommunitydivisionwasimproved.Finally，itexperimentallyverifiedthe algorithmonrealdatasetsandcomputer-generated networks.Theexperimentalresultsshowthattheconstrained Louvainalgorithm with MRQ outperforms mainstream communitydetection algorithmssuch as the Louvain algorithm，label propagationalgorithm（LPA），Kernighan-Lin（KL）algorithmand greedymodularityalgorithm intermsofmodularity，coverageandmodulation index.

Key words：complex network；community detection；Louvain algorithm；multi-resolution modularity；constraints

0 引言

現實生活中大部分的系統都可以視為復雜網絡[1]。在復雜網絡中，除了小世界特性[2]和度分布的冪律特性[3]之外，社區的結構也是一個比較重要的特性[4]。例如萬維網中有相關性的各種網頁的集合[5]，在購買關系中[6]對某一類物品有相同興趣的客戶集合，以及在科研論文中的合作作者集合[7]。社區檢測的任務是找到這些特定的結構，并深人解釋復雜網絡上的動態行為[8]。因此，社區檢測算法具有重要的意義。

社區檢測是一個NP-hard問題，計算復雜性高、算法效率低、需要依賴啟發式或近似方法、可擴展性問題以及結果穩定性和準確性難以保證。因此，劃分真正的社區是一個很大的挑戰。目前，已經出現了許多的社區檢測方法，例如分裂算法[9]、Infomap方法[10，11]、標簽傳播[12～14]算法，以及最優化方法[15]。其中，最優化方法因存在高效性、并行化和易于實現的優勢，受到了廣泛關注。這類方法將社區檢測定義為一個目標函數的優化問題。兩種比較流行的最優化方法是Newman快速算法[16]和Louvain算法[17]。Newman快速算法在成對社區合并過程中使模塊度 Q^[18] 最大化，認為具有最大Q的社區劃分是很好的劃分結果，其復雜度為 O（m（m+n） ）， m_?n 為網絡的節點數和邊數。與Newman相比，Louvain算法的復雜度是線性的，其算法花費時間比Newman要小，該算法的目標是實現社區劃分的模塊度Q的最大化。因為當一個節點從一個社區移到另一個社區時，模塊度增加的計算只與節點和兩個相應的社區相關，所以Louvain算法的計算效率明顯優于Newman快速算法。此外，Louvain算法能夠并行化計算以有效提高計算速度[19]

Louvain算法已經應用在較大網絡的社區檢測中。如果不考慮網絡結構的處理[20]，Louvain算法的精度可以簡單地從兩個主要方面來提高。首先，可以選擇一個更好的目標函數作為優化目標。因為模塊度Q的分辨率存在極限問題：當某個社區規模低于某一閾值時，該社區就無法被檢測到。這個閾值并不依賴于特定的網絡結構，它是網絡中社區的鏈路數與網絡的總鏈路數比較得出的結果。相反，在某些情況下，最大化Q往往會將一個大社區分裂成更小的社區。此外，一些沒有明顯社區結構的隨機網絡可能會有不合理的最優Q值。因此，需要設計一個質量更好的函數作為優化函數。其次，對于Louvain算法的結果，可以結合真實社區的特征來獲得更好的社區結構。目前，描述社區特征的兩種定義是弱社區[2]和強社區。從介觀的角度來看，弱社區為內部度大于外部度的社區。這是因為社區結構是一種介觀結構，并不是一個算法發現的所有社區都符合弱社區的定義。因此，可以考慮定義弱社區來約束Louvain算法得到的社區。

本文的貢獻和算法的創新性如下：a）提出了一個多分辨率模塊度MRQ（multi-resolutionmodularity）作為目標函數，克服了網絡上的分辨率極限問題，并且不會將緊密連接的網絡劃分為幾個小社區;b）結合弱社區的定義，提出了一種約束Louvain算法。一般情況下，算法得到的社區包含一些小社區和不滿足弱社區定義的社區。因此，有必要對Louvain算法得到的社區進行約束。在真實網絡和LFR基準網絡上的實驗結果表明，具有MRQ的約束Louvain算法優于Louvain算法。

1方法分析

1.1 評價指標

目前，主要是用模塊度Q目標函數作為社區劃分的評價指標，它的公式是

其中： m 為社區數量； lin（C_i） 為社區 C_i 中連接所有節點的邊數； d（C_i） 為 C_i 中所有節點的總度數； L 是網絡中所有邊的總數。

還存在著其他評價指標比如覆蓋度（coverage）和調制度P ，它們的定義分別為

其中： mn_i 為第 i 個社區的內邊數。

其中： E_in（C_i） 和 E_out（C_i） 分別表示內部邊和外部邊的個數

這三個評價指標值均在 0～1 ，且指標值越大說明分類效果越好。

1.2主流優化算法

目前，比較流行的優化算法為Newman快速算法和Louvain算法，下面對這兩種算法作簡單的介紹：

a）Newman快速算法。2004年，Newman提出了一種快速檢測社區結構的算法。該算法從每個節點都是單個社區的狀態開始。然后，在每一步將社區成對地連接在一起，使Q的增量最大。這個過程可以用“樹突圖”來表示。一般來說，能夠通過檢索Q的最大值來選擇最佳的社區分類。

b）Louvain算法。Louvain算法是一種基于模塊度Q的優化算法，它通過將節點移到相鄰的社區來劃分社區，從而最大化模塊度Q。

Louvain算法包括兩個階段。第一階段通過迭代去除節點來優化模塊度。a）網絡中的每個節點都被分配到一個社區。對于每個節點i，通過將其移到其鄰居 j 的社區中來計算模塊度增益 ΔQ 。然后找到模塊度的最大增益 ΔQ_max 。如果 ΔQ_maxgt; 0，則將節點 i 移至具有 ΔQ_max 的鄰居社區。b）重復步驟a），直到移動任意一個節點都不能增加整個網絡的模塊度。第二階段是構建一個新的網絡，該網絡的節點結構是在第一階段得到的社區。通過將兩個對應社區的節點之間的權重相加，得到鏈路的新權重。此外，一個節點的自環是通過對對應社區內的鏈路權重求和得到的。算法通過重復迭代地執行第一和第二階段，直到模塊度不再增加。

Louvain算法具有很高的效率，該算法運行時網絡中的社區數量急劇下降，并且算法的模塊度增益計算比較簡單。但是，由于模塊度Q的分辨率有極限，比較小的社區可能會劃分不出來，被較大的社區覆蓋。

1.3一種新的目標函數

傳統模塊度Q的局限性源于其全局分辨率參數固定（通常為1），導致對小社區檢測的敏感性不足。為克服這一問題，本研究引入可變分辨率參數 λ ，提出一個多分辨率模塊度MRQ，其定義如下：

其中： E_in（C_i） 為內部邊數，即為社區 C_i 一個社區內的邊數；E_out（C_i） 外部邊邊數，即為上述社區與該整個網絡其余部分相連的邊數； λ 為分辨率調節參數。MRQ通過調節分辨率參數λ ，能夠有效檢測不同規模的社區。

根據Reichardt等人[22]的多分辨率框架，當 λgt;1 時，模塊度傾向于檢測小規模社區，而 λlt;1 時更關注大規模結構。本文通過動態調整 λ ，使算法能夠自適應識別不同規模的社區。此外，MRQ的優化可視為最大化社區內邊權重與跨社區邊權重之比，其數學形式受譜聚類理論的啟發[23]，其中目標函數優化等價于最大化社區間分離性。

社區整體的MRQ值如下：

其中： m 為社區個數。

對于已有的目標函數和本文提出的MRQ，正確劃分社區都對應著各個目標函數的最大值。

1.4約束Louvain算法

1）約束條件的必要性

基于弱社區理論和網絡結構穩定性要求，提出以下約束：

a）弱社區定義驗證：社區 C_i 需滿足 E_in（C_i）gt;E_out（C_i） （內部邊數 gt; 外部邊數），否則視為噪聲社區。

b）最小節點數限制：若 ∣C_i∣lt;4 ，網絡結構易受隨機擾動影響（small community instability theorem[24]），需重新分配。

2）算法流程介紹

從上述分析可知，本文提出了一種約束Louvain算法，以MRQ為目標函數，引入約束Louvain算法。這個算法分為兩個階段，算法的流程如圖1所示。

在第一階段，運行最傳統的Louvain算法。a）各個節點都代表著各自的社區。b）對于節點 i 的計算，將 i 從原始社區中移除并放置在其鄰居 j 的社區時，目標函數的增量為 ΔMRQ_j 找出所有鄰居的最大增量 ΔMRQ_max 。若 ΔMRQ_maxgt;0 ，則將節點 i 移至 ΔMRQ_max 增長最大的社區；否則，保持 i 在原有的社區不變。對于網絡中的所有節點，該算法都依次計算。c）重復步驟b），直到網絡中的任意幾點移動都不能增加目標函數的增量，保持所有的社區不變。d）把每個社區等效成為一個節點，構建一個新的網絡，然后將每個社區內的邊權之和轉換為新節點的自環權值，并且，將每對社區的節點之間的權值之和轉換為兩個新節點之間的權值。e）重復步驟a）～d），直到社區的MRQ值不再增加，在這個階段，步驟a） ～c ）在算法1中表示，步驟d）在算法2中表示。

圖1改進Louvain算法流程

算法1優化目標函數MRQ輸入：網絡 G（V，E） 。輸出：臨時劃分的社區 C={C_i，i=1：m} 。1.計算目標函數MRQ：根據公式計算整個網絡MRQ值（204號 2.MRQ₀MRQ-0.8 ：設置閾值，防止過早收斂3. while MRQgt;MRQ₀ do/／迭代優化直至增益低于閾值4. MRQ₀MRQ 11 記錄當前MRQ值5. 將節點隨機劃為： {v_i，i=1，…，N} 6. C_i← 節點 v_i /／每個節點抽象為獨立社區7. for i=1?N do 11 遍歷所有節點8. 找到 v_i 的鄰集 （2號9. fo do 11 計算移人每個鄰接社區的增益10. 計算△MRQ并將 v_i 移至 C_j 11. end for12. （204 ΔMRQ_maxmax（ΔMRQ₁，ΔMRQ₂，…，ΔMRQ_{∣T（vi）∣}） 11 查找最大增益13. 證 ΔMRQ_maxgt;0then/ ／僅接受正向增益14. 將 v_i 移動到對應社區 C_i （2015. MRQMRQ+ΔMRQ_max// 更新MRQ16. end if17．end for18.end while19. return C={C_i，i=1：m} 算法2構建一個新網絡輸入：網絡 G（V，E） 和臨時劃分的社區 C={C_i，i=1：m} 。輸出：一個新網絡 G^′（V^′，E^′） 。1. for i=1?m-1 do 11 遍歷所有社區2. forj=i+1?m do 11 計算社區間所有邊權重之和3. （204 E（C_i，C_j）E（v_k，v_kk） v_k∈C_i，v_kk∈C_j 之和4. end for5. 節點 v^′_iC_i （206. 節點 v^′_jC_j /／新網絡節點：每個社區映射為一個超節點7. （20號 E（v_i^′，v_j^′）E（C_i，C_j） /／自環邊權重為社區內部邊權重之和8.end for9. return G^′（V^′，E^′） （204

在第二階段，只要發現社區不滿足弱社區的定義以及節點數小于4的社區。就把這些社區中的節點拆散，得到一組殘差節點。其他的社區都是準社區。然后，將每個殘差節點分配給準社區。從殘差節點集中隨機選擇一個節點，計算當該節點被移到其鄰居 j 的社區 C_i 時目標函數 ΔMRQ_j 的增加量。

最后，將節點分配給相鄰的最大增加 ΔMRQ_max 的社區。重復該步驟，直到所有被拆散的節點都被分配到社區中。這個階段如算法3所示。

算法3加入約束

輸人：網絡 G（V，E） 和臨時劃分的社區 C={C_i，i=1：m} 。

輸出：網絡最終社區劃分 C^′ 。

1.S={} //殘差節點集合

2. for i=1?m 11 遍歷所有社區

3.if ∣C_i∣lt;4 或者 E_in（C_i）gt;E_out（C_i）th en//約束條件判斷

4. S=SU {v_j，v_j∈C_i} / * 將不滿足條件的社區拆分為殘差

節點 /

5. 從 C 中移除 C_i （204號

6. end if

7. end for

8.while ∣S∣gt;0 do 11 重新分配殘差節點

9. for每個節點 v_j∈S do

10. for每個社區 C_k∈C do

11. 計算 v_j 移至 C_k 后的 ΔMRQ_k

12. end for

13. if max（ΔMRQ_k）gt;0 then

14. 將 v_j 移入增益最大社區 C_max （204

15. 從S中移除vj

14. else

15. 將 v_j 移入相鄰度最高的社區／*無增益時，按拓撲臨

近分配*/

16. end if

17. end for

18.end while

19. return C^′ （202

2 實驗分析

2.1 數據集

本文使用了兩種網絡。一種是公認的真實社區結構的網絡。另一種是用計算機生成的LFR基準網絡。這些網絡的結構參數和社區數量均在表1中，其中 Ω_n 表示網絡中節點數量，l表示邊的數量， m 表示社區數量， k 表示網絡的平均度。詳細描述如下：

a）Karate網絡：TheZachary’s空手道俱樂部網絡是美國某大學空手道俱樂部中的一個友誼網絡。在教練和財務主管發生爭執后，俱樂部一分為二。

b）Dolphins網絡：據Lusseau報道，海豚網包含生活在新西蘭某個海灣的62只海豚。如果在1994—2001年，兩只海豚在一起被觀察到的次數比偶然預期的要多，那么它們在網絡中就等效為被一條邊連接在一起。

c）Football網絡：足球網絡是2000年秋季常規賽期間美國甲級聯賽大學之間的足球比賽網絡。節點表示115支球隊，邊表示一年中進行的613場比賽。這些球隊被分成12個賽區，每個賽區有8～12支球隊。同一賽區成員之間的比賽比不同賽區成員之間的比賽更頻繁。

d）PollBooks網絡：該數據集是一個用于社會網絡分析的標準數據集，它代表了美國國會議員之間的合作關系。這個數據集通常被用來研究政治網絡、社區檢測以及其他社會網絡分析任務。數據集中的節點代表國會議員，邊則代表兩位議員之間的合作關系，這種關系可能是通過共同提案或其他形式的政治互動體現出來的。

e）Facebook網絡：該數據集是一個著名的社交網絡數據集，它包含了數千個用戶的社交關系信息。這些數據最初是由斯坦福大學的SNAP項目收集的，數據集中的每個節點代表一個用戶，而邊則代表用戶之間的友誼關系。

f）LFR網絡：與上述網絡不同，LFR網絡是由計算機生成的經典網絡。對于節點數為 N ，平均度為 k 的LFR網絡，節點度服從指數為 1lt;γlt;3 的冪律分布，社區規模也服從指數為1lt;βlt;2 的冪律分布。此外，社區規模 s 和節點度 k 滿足約束s_mingt;k_min 和 s_maxgt;k_max ?；旌蠀?μ 表示節點相對于其社區的外部度與節點的總度之間的比率。當 μ 的值變大時，網絡的社區結構變得模糊。

表1數據集參數描述

2.2 對比算法介紹

本文分別在真實網絡數據集和LFR網絡上進行對比實驗，除了上文Louvain算法在兩種數據集上均進行實驗，其他對比算法介紹如下：

a）真實網絡數據集上的對比算法。

（a）KL算法：是一種基于圖分割策略的多步搜索貪心算法，核心目標是將圖中的節點劃分成兩個相對較小的子集，以此實現模塊度Q的最大化。其時間復雜度較高，通常用于小規模網絡的社區檢測。

（b）貪心模塊度算法：通過迭代合并社區，使模塊度Q最大化，其時間復雜度較低，但存在分辨率極限問題。

（c）標簽傳播算法：這是一種聚焦于局部信息的社區檢測算法，其核心機制是通過不斷迭代地傳播標簽，從而挖掘出網絡中的社區結構。其適用于大規模網絡，但結果的穩定性較差。

b）LFR網絡數據集上的對比算法。

（a）Leiden算法[25]：該算法旨在改進Louvain算法無法找到最優劃分等問題，通常用于優化Louvain算法，先得到初步社區，再進一步優化，最后可以得出更優的社區劃分，但其穩定性欠佳。

（b）H-Louvain算法[26]：是一種基于社交網絡的冪律分布特性，合并低影響力的節點（如度 =1/2 的“橋節點”），構建壓縮圖降低計算復雜度的算法。

（c）Louvain-FTAS算法[27]：是一種基于結構影響度和信息熵雙指標篩選有效屬性的算法。

2.3實驗結果

在本節中，對不同的社區檢測算法進行了實驗，并計算了這些算法的模塊度、覆蓋度和調制度。模塊度、覆蓋度和調制度的值越高，算法的社區劃分效果越好。

首先，在真實的社區網絡和LFR基準網絡上運行了本文所采用的社區檢測算法，并進行了比較。

2.3.1真實網絡上的對比實驗

對于真實社區網絡，社區劃分結果的模塊度、覆蓋度和調制度分別如表2～4所示。

從表2可以看出，對于模塊度指標，結果表明采用MRQ的約束Louvain算法對各個真實網絡的劃分效果均為最好。

表2不同檢測算法下各個數據集的社區劃分結果的模塊度

Tab.2Modularity of communitypartition results for each dataset underdifferentdetectionalgorithms

從表3可以看出，對于覆蓋度指標，除了在Football數據集上改進的Louvain算法的效果略低于KL算法和貪心模塊度算法，其余的都為效果最好。

表3不同檢測算法下各個數據集的社區劃分結果的覆蓋度

Tab.3Coverage of community partition results for each datasel underdifferent detectionalgorithms

從表4中可以看出，對于調制度指標，在Facebook數據集上，改進Louvain算法劃分效果略低于Louvain算法，其余的效果均為最好。綜上所述，改進Louvain算法對各個數據集的劃分的綜合效果最優。

此外，在各個數據上運行各個算法得到的社區分類數量如表5所示。結果中可以看出，對于Facebook，普通Louvain算法只識別出了16個社區，而帶MRQ的約束Louvain算法檢測到了59個社區。顯然，普通Louvain算法具有分辨率極限的問題，而本文作出的改進解決了這個問題。

表5不同檢測算法下各個數據集的社區劃分數量

Tab.5Number of community partition for each dataset under differentdetectionalgorithms

2.3.2 LFR網絡上的對比實驗

本文還在LFR基準網絡上運行了改進的Louvain算法，并與上文中提到的各種算法作對比，對比實驗結果如圖2～5所示。

從圖2可以看出，當 μlt;0.4 時，改進Louvain算法的模塊度值最高。隨著 μ 的增加，社區結構變得更加模糊，識別社區較難，所有算法的模塊度值都減小，且本文改進的Louvain值在 0lt;μlt;0.4 均為最大。這表明帶有MRQ的約束Louvain算法對于社區結構模糊的網絡具有最優的性能。本文中不需要計算 μgt;0.5 的情況，因為在這個條件下生成的LFR網絡不滿足弱社區的定義。

圖2LFR網絡模塊度值與參數 μ 的關系 Fig.2RelationshipfortheLFRnetworkmoduledegree value versus the parameter μ （204

從圖3可以看出， γ 的值變化對改進的Louvain算法的影響不是很大，而且其性能也是最好的，說明網絡的異質性變強并不影響該算法的性能。

圖3LFR網絡模塊度值與參數 γ 的關系Fig.3Relationship for theLFR network module degreevalueversus the parameter γ

從圖4可以看出，對于參數 β ，改進的Louvain算法模塊度的值基本都處于最高值。隨著 β 值的增大，社區大小的分布變得異質化，但對算法的影響效果較小。由于MRQ的優勢，改進Louvain算法的性能最優。

從圖5可以看出，無論 k 值如何，具有MRQ的約束Louvain算法的模塊度值都是最高的。

綜上所述，本文算法綜合效果最優。

2.3.3 算法優勢分析

在真實網絡與LFR網絡的對比實驗中，本文算法在模塊度、覆蓋度和調制度三個核心指標上均展現出優勢。這種優勢來源于MRQ目標函數與約束機制的雙重創新，具體體現為以下三個層面：

圖5LFR網絡模塊度值與參數 k 的關系Fig.5RelationshipfortheLFRnetwork moduledegreevalueversus the parameter k

a）分辨率自適應優勢。傳統Louvain算法受固定分辨率限制，當社區內部邊權重 E_in 與規模滿足 時，模塊度Q無法有效識別社區。本文引入的MRQ函數通過動態調整 λ 參數，在檢測小社區時提升 λ 值放大 E_in 信號，使社區識別精度提升；而當網絡存在松散大社區時降低 λ 值，避免KL算法因過分割導致的覆蓋度下降。此機制克服了標簽傳播算法分辨率固定導致的隨機劃分問題。

b）結構穩定性約束優勢。實驗表明，無約束條件下劃分結果存在4節點以下的小社區，這些社區易受隨機擾動影響。本文引入弱社區約束及最小4節點限制，對初始劃分進行二次優化。如表4所示，通過殘差節點重分配機制，PollBooks網絡的調制度指標從0.693提升至0.746，同時維持模塊度增長。該特性解決了H-Louvain算法在壓縮橋節點時可能破壞社區連通性的缺陷。

c）多參數魯棒性優勢。LFR網絡實驗表明，當混合參數μgt;0.3 時，對比算法的模塊度值下降速率顯著高于本算法。這是因為MRQ在社區邊界模糊時，通過調節可變分辨率參數 λ 可知補償結構信息損失。同時冪律系數γ（度分布異質性）和β （社區規模異質性）的變化對本算法影響較小，驗證了MRQ對復雜網絡拓撲多樣性更強的適應性。

3結束語

Louvain算法通過迭代優化網絡的模塊度來發現社區結構，能夠比較準確地識別網絡的社區結構。此外，Louvain算法具有較高的效率。然而，經典的Louvain算法得到的網絡社區結構并不是真實的。本文提出了一個多分辨率模塊度模塊MRQ作為Louvain算法迭代優化的目標。MRQ可以克服Louvain算法分辨率極限問題，并且不會將連接較好的網絡分裂劃分為小社區。實驗表明，加入了MRQ的Louvain算法比其他算法能更好地識別社區，因此，在Louvain算法中加入MRQ是比較有效果的。然后，在Louvain算法中加人每個社區的節點數大于3的限制條件，提出了約束Louvain算法。這是因為在Louvain算法得到的社區中存在一些小的社區和一些不滿足弱社區定義的社區，所以，加入約束是有必要的。最后，實驗結果表明，改進算法在大多數真實網絡和LFR基準網絡上均表現出優異的性能。然而，該算法仍存在一些局限性：

a）MRQ的計算復雜度較高，在大規模網絡上的運行效率有待優化。

b）對于網絡結構的動態變化，算法的適應性尚需進一步提高。

未來研究將致力于優化目標函數的設計，提升算法效率，并探索其在動態網絡中的應用。

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