基于稀疏貝葉斯學習和LU分解的波達方向估計算法

摘要：針對傳統的波達方向（DOA） 估計方法存在著低信噪比、小快拍環境下的性能下降問題，提出了一種基于稀疏貝葉斯學習和降維 LU 分解相結合的 DOA 估計算法，實驗表明該算法在低信噪比及小快拍環境下具有較好的效果，同時大幅提高了算法的運算速度。該算法首先利用稀疏貝葉斯學習獲取 DOA 的初始估計。為解決壓縮感知中因目標偏離預設柵格點而產生的離格問題，算法進一步結合了降維 LU 分解與多項式求根技術，通過迭代更新參數來逐步優化 DOA 估計值。

關鍵詞：陣列信號處理；波達方向估計；稀疏貝葉斯學習；壓縮感知；LU 分解；離格估計

中圖分類號：TP311" " " 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2025）23-0081-03

開放科學（資源服務） 標識碼（OSID）

0 引言

陣列信號處理是近幾十年來信號處理的重要分支之一，而波達方向（DOA） 估計也是陣列信號處理中的核心問題，在軍事和民用雷達等領域具有廣泛的應用價值[1]。傳統的 DOA 估計方法屬于空間譜估計類，代表算法有多重信號分類（MUSIC） 算法 [2] 以及旋轉不變子空間（ESPRIT） 算法。然而，當面臨信噪比和快拍數過低的情況時，這類算法的性能會急劇下降[3]。

近年來，壓縮感知理論的提出促進了與DOA估計相關技術的飛速發展。基于壓縮感知理論的 DOA 估計算法通常將角度空間離散化為有限個柵格點，并通過估計這些柵格點上的信號能量來確定信源方向。該理論下的DOA估計算法大致可分為兩大類：[Lp]范數和稀疏貝葉斯學習。[Lp]范數的代表算法為[L1]范數奇異值分解法（[L1 ]norm singular value decomposition，[L1]-SVD） ，該算法采用[L1]范數構造稀疏模型，通過奇異值分解對接收信號降維，從而降低計算復雜度。文獻指出，相對于[Lp]范數類算法，基于稀疏貝葉斯學習（Sparse Bayesian Learning，SBL） 的方法通常表現出更好的收斂性能”。SBL 類算法通過設置先驗概率構造稀疏概率模型，在貝葉斯概率框架下求解，從而有望獲得更精確的估計結果。然而，基于壓縮感知理論的方法需要假設目標準確地落在預設的柵格點上，若信號偏離柵格點，則會造成系統誤差，該問題被稱為離格 （off-grid） 問題。為了減小系統誤差，解決離格問題，廣大學者開展了諸多積極研究。文獻提出了一種稀疏貝葉斯離格 DOA 估計算法（Off-grid direction of arrival estimation using sparse bayesian inference， OGSBI） ，將由偏離柵格點所造成的離格誤差用一階泰勒展開近似表示，但該算法依然無法徹底消除離格誤差。文獻[4]提出的 RootSBL 算法，通過構建與 DOA 相關的多項式并求解其根，直接估計離格 DOA，但其性能仍受限于參數選擇和計算負擔。在實際應用中，若相關參數選擇不當，會導致估計精度降低以及算法收斂速度慢的問題；并且，計算過程中的運算量也會隨著問題規模的增加而顯著增大。

為解決傳統 DOA 估計算法在低信噪比下性能不佳的問題，并針對標準 SBL 算法迭代過程中高維矩陣求逆運算帶來的高計算復雜度，本文提出了一種基于稀疏貝葉斯學習和降維 LU 分解相結合的 DOA 估計算法。首先通過SBL求得DOA的粗略估計值，隨后通過降維手段以及LU分解對DOA的估計值進行優化。仿真結果表明，本文方法具有更好的噪聲魯棒性，同時也降低了運算時間。

1 陣列信號模型

假設有[K]個遠場窄帶信號表示為[skt，k=1，...，K]，入射至陣元數為[M]的均勻線性陣上，陣元間距設置為半波長，則陣列的接收信號可以表示為

[[yt=A（θ）st+nt，t=1， 2，...， T] [（1）] ]

式中[T]為快拍數，陣列接收信號表示為[yt=y1t，y2t，...，yMtT]，陣列流型矩陣表示為[A（θ）=aθ1，aθ2，...，aθK]，入射方向的DOA表示為[θ=θ1，θ2，...，θKT]，[aθk=1，e-jπsinθk，...，e-jπ（M-1）sinθkT]為第[k]個目標的導向矢量，入射信號表示為[st=s1t， s2t， ...， sKtT]，[nt=n1t，n2t，...，nMtT]為噪聲。定義多快拍形式下[Y=y1，y2，...，yT]，[S=s1，s2，...，sT]以及[N=n1，n2，...，nT]，則多快拍形式下的陣列接收信號可以表示為

[[Y=A（θ）S+N] [（2）] ]

DOA估計的目標即是從陣列接收信號[Y]中恢復得到入射信號的角度信息[θ]。基于壓縮感知理論可以在角度域預先設立[N]個柵格點[θ=θ1，θ2，...，θNT]，對整個空域進行稀疏化，并假設目標準確地落在這些柵格點上，則DOA估計的問題可以轉化為壓縮感知框架下稀疏信號的恢復問題，即

[[Y=D（θ）S+N] [（3）] ]

式中[D=aθ1，aθ2，...，aθN]為字典矩陣，[aθn]為柵格點[θn]所對應的導向矢量。[S=s1，s2，...，sT]為列稀疏的入射信號矩陣，且第[i]行表示在柵格點[θi]中的信號源。因為[N?K]，所以在[st]中只有[K]個非零值，對應著[K]個真實目標。

2 基于降維LU分解的DOA估計算法

現實情況下目標基本不可能準確地落在預設的柵格點上，如何解決離格誤差是壓縮感知框架下DOA估計的核心問題。本節首先通過引入傳統 SBL 的方法對 DOA 進行粗略估計，即初始估計值對應于預設的柵格點上，隨后通過降維操作降低計算復雜度。在低維度下，利用LU分解得到信號的更新值，隨后基于更新的信號幅值，采用多項式求根法進一步優化DOA估計，直至算法收斂。

2.1 基于稀疏貝葉斯學習的DOA初始估計

根據稀疏貝葉斯學習的框架，假設稀疏信號[st]服從均值為0，協方差矩陣為[Δ=diag（γ-1）]的復高斯分布，即

[[pS|γ=t=1TCNst;0，Δ] [（4）] ]

式中信號精度表示為[γ=[γ1，γ2，...，γN]T]，服從伽馬分布，即

[[pγ=n=1NΓγn;1，ρ] [（5）] ]

假設噪聲為復高斯白噪聲，即服從均值為0，方差為[λ-1]的復高斯分布，即

[[pN|λ=t=1TCNnt;0，λ-1I] [（6）] ]

則陣列接收信號的似然函數可以表示為

[[pY|S，γ，λ=t=1TCNyt;D（θ）st，λ-1I] [（7）] ]

因此，根據貝葉斯定理，相關隨機變量的聯合后驗分布可以表示為

[[pS，γ，λ|Y=pY|S，γ，λpS|γpγp（λ）p（Y）] [（8）] ]

然而[（8）]中準確的后驗分布難以直接進行計算，所以通過貝葉斯推斷和相關向量機可知，稀疏信號[st]的后驗分布同樣為復高斯分布，其均值和協方差矩陣分別為[μt]和[Σ]，即

[[pS|Y，γ，λ=t=1TCNst;μt，Σ] [（9）] ]

式中

[[μt=λΣDH（θ）yt] [（10）] [Σ=Δ+λDH（θ）D（θ）-1] [（11）] ]

則DOA的初始估計可以通過[10-（11）]逐步迭代得到。

2.2 基于降維LU分解的信號優化

根據2.1中SBL算法迭代后的結果，可以得到稀疏信號初始估計值以及對應的DOA初始估計值。為了解決離格問題和減小計算復雜度，考慮到[μt]大部分元素趨近于零，僅有有限個大值，所以本文根據其大值，通過降維的手段，得到如下模型，即

[[yt=Φxt+n（t）] [（12）] ]

式中[Φ]的維度為[M×K]，[xt]的維度為[K×1]，分別由[D（θ）]和[μt]降維得到。為了降低離格誤差，本文采用雙層更新的手段，即[X=[x1，x2，...，xT]]和[Φ]分別逐步迭代優化，在本小節通過多項式LU分解的方法對[X]進行更新。

首先使當前[Φ]的估計值保持不變，則[xt]的最小二乘解可以表示為

[[qt=Wxt+ΦHn（t）] [（13）] ]

式中[qt=ΦHyt]，[W=ΦHΦ]。對矩陣[W]進行LU分解可得[W=LU]，經過LU分解可得，式[（13）]可以轉化為兩個三角形方程組，分別為[qt=LΞ（t）]和[Ξt=Uxt]，其中[Ξ（t）]表示未知的中間向量。信號的更新優化值[xt]可以通過閉式解快速求得。

2.3 基于多項式求根法的DOA估計優化

根據2.2小節輸出的信號更新優化值[xt]，在本小節固定其不變，可以通過求最小代價函數的方法，逐步逼近真實接收信號，從而對DOA估計值[θ]進行更新優化，隨后從[θ]中通過計算得到[Φ]。

DOA估計優化的代價函數可以表示為

[[R=12×t=1Tyt-Φxt22] [（14）] ]

參考文獻[5]的方法，求導為零時，代價函數R最小，因此可以得到關于hk?的多項式方程。考慮到該多項式在復平面上有M?1個根，且未知變量hk?的模值為1，需選取模值最接近1的根作為最優解。因此 DOA 的估計更新值為

[[θk=arcsin-anglehkπ] [（15）] ]

隨后通過[θk]更新得到[Φ]，固定[Φ]回到2.2小節更新信號估計值[xt]，如此循環往復，直至算法收斂。

需要指出的是，本文提出的基于降維LU分解的信號優化方法并不依賴于在2.1小節中稀疏貝葉斯學習所提供的初始值的估計精度，也就是稀疏貝葉斯學習算法的終止準則可以設置相對寬松的參數。只需要經過一定數量次的迭代，便可作為初始估計值進入隨后的2.2和2.3的迭代循環，這是由于LU分解是多項式閉式解更新算法，并不像多項式迭代算法中需要對初始值有一定要求，通過迭代從而加快算法收斂。相比傳統的稀疏貝葉斯學習方法，本文提出的方法在2.1中可以減小迭代次數，進而減小每次迭代所涉及的高維度矩陣求逆運算，其計算復雜度可達[ON3]，從而降低整個算法的運算時間。

3 結束語

本文提出了一種新穎的離格 DOA 估計算法，該算法有機融合了稀疏貝葉斯學習（SBL） 、降維處理、LU 分解以及多項式求根技術。首先，借助 SBL 獲取 DOA 的初步格點估計，此步驟為后續精確估計奠定基礎。然后，針對傳統算法在高維度計算上的難題，通過精心選取關鍵信號分量進行降維處理，大幅降低計算復雜度，同時保留信號關鍵特征。接著，利用 LU 分解高效更新信號幅值，進一步優化信號估計。最后，采用多項式求根法精準估計離格 DOA，有效提升估計精度。

這種分階段優化的策略，旨在解決基于壓縮感知框架下 DOA 估計面臨的離格問題，同時提升算法性能。從實驗結果來看，該算法在低信噪比和小快拍條件下展現出良好的魯棒性，能夠有效處理離格目標，相比傳統算法，在估計精度上有顯著提升。此外，通過減少 SBL 迭代次數以及在降維空間進行優化，算法的計算效率也得到了極大提高，為實際應用中的實時處理提供了有力支持 。

參考文獻：

[1] KRIM H，VIBERG M.Two decades of array signal processing research：the parametric approach[J].IEEE Signal Processing Magazine，1996，13（4）：67-94.

[2] SCHMIDT R.Multiple emitter location and signal parameter estimation[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1986，34（3）：276-280.

[3] STOICA P，NEHORAI A.MUSIC，maximum likelihood，and Cramer-Rao bound[J].IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1989，37（5）：720-741.

[4] MALIOUTOV D，CETIN M，WILLSKY A S.A sparse signal reconstruction perspective for source localization with sensor arrays[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2005，53（8）：3010-3022.

[5] DAI J S，BAO X，XU W C，et al.Root sparse Bayesian learning for off-grid DOA estimation[J].IEEE Signal Processing Letters，2017，24（1）：46-50.

【通聯編輯：光文玲】