基于矩陣優化的前景提取數學建模教學案例設計

摘要：文章基于研究生數學建模競賽題目，圍繞提供的問題背景和數據，從矩陣優化角度設計具有合適難度的教學案例，對靜態背景采用魯棒主成分分析建模，對動態背景引入全變分魯棒主成分分析以提高精度，而對攝像頭抖動情況則使用穩像技術與全變分魯棒主成分分析相結合提升模型穩定性。該教學案例有效激發了學生的探索熱情，促進了以賽促教的教學改革實踐，培養了學生的創新意識與解決實際問題的能力。

關鍵詞：前景提?。粩祵W建模；教學改革；創新能力培養；教學案例

中圖分類號：G642" " " 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2025）23-0101-03

開放科學（資源服務） 標識碼（OSID）

0 引言

中國研究生數學建模競賽作為我國研究生創新實踐系列賽事的核心組成部分，是專為在校研究生打造的高水平學術競賽平臺。該賽事題目由各領域科研專家精心設計，既聚焦科學研究前沿課題，又緊扣國民經濟發展與企業生產中的現實需求，具有鮮明的時代特征。題目設置涵蓋多學科領域，學術深度與實踐價值并重，通過系統化的解題過程，全方位培養研究生的創新思維與科研能力。

本文基于2017年賽題提供的問題和數據，從矩陣優化的角度設計監控視頻前景提取教學案例。其中，對靜態背景采用魯棒主成分分析建模，對動態背景采用全變分魯棒主成分分析建模，對攝像頭抖動情形則采用穩像技術+全變分魯棒主成分分析建模。該案例被引入數學建模與數學實驗研究生課程，幫助研究生深刻理解矩陣優化建模、算法設計及數據處理等過程，提升研究生的數學應用能力和創新思維，更好地適應未來學術研究和實際工作的需求。

1 問題提出

隨著攝像頭的大范圍安裝，監控數據隨之大規模增加，視頻數據的處理與預測在信息科學、計算機視覺、機器學習和模式識別等領域受到廣泛關注，在智能交通管理、智能視頻監控等領域有著重要的應用價值。其中，視頻前景提取是計算機視覺中的重要研究課題，也是智能監控系統的核心技術之一，廣泛應用于動作行為識別和交通車輛跟蹤等領域[1-3]。

一個黑白視頻可以看作一個三維數據[X∈Rw×h×t]，其中[w]、[h]代表視頻幀的長與寬，[t]代表視頻幀的幀數。數據中的每個元素為0到255之間的某一個值，代表這個像素的明暗程度，越接近0，像素越黑暗；越接近255，像素越明亮。

問題 1：對一個不包含動態背景、攝像頭穩定拍攝時間大約5秒的監控視頻，構造提取前景目標（如人、車、動物等） 的數學模型，并對該模型設計有效的求解方法。

問題 2：對包含動態背景信息的監控視頻，設計有效的前景目標提取方案。

問題3：在監控視頻中，當監控攝像頭發生晃動或偏移時，視頻也會發生短暫的抖動現象（該類視頻變換在短時間內可近似視為一種線性仿射變換，如旋轉、平移、尺度變化等） 。對這種類型的視頻，如何有效地提取前景目標？

2 案例設計

對視頻進行建模時，首先將每一幀拉成向量，并按順序組成視頻矩陣，從而從矩陣優化的角度處理已知數據。魯棒主成分分析（RPCA，Robust Principal Component Analysis） 模型可以有效考慮視頻圖像中的結構信息，從而對背景成分進行良好建模。RPCA模型已經得到不斷改進，許多基于RPCA模型的目標檢測算法也已被提出。

2.1 靜態背景建模

每幀圖像可視為背景和前景的疊加，因此視頻矩陣可以視為背景矩陣與前景矩陣之和。其中，背景矩陣的每一列對應原有視頻每一幀的背景，由于背景是靜態的，這些背景全部相同，所以矩陣具有低秩性；前景矩陣的每一列對應原有視頻每一幀的前景，當前景占有的空間較少時矩陣則具有稀疏性。于是，靜態背景建模可以采用RPCA模型[4]：

[minL，S‖L‖*+τ‖S‖1， s.t. M=L+S]

這里[M]是已知的視頻矩陣；[L]代表背景矩陣， [‖L‖*]為[L]的核范數，即矩陣[L]的所有奇異值之和；[S]代表前景矩陣，[‖S‖1]為[S]的[l1]范數，即矩陣[S]所有元素絕對值之和，常被用于表示稀疏性；[τgt;0]是常量。

求解RPCA模型有多種方法，主流的方法就是交替方向乘子法ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers） [5]。交替方向乘子法是一種求解帶有等式約束條件的優化問題的常用算法，求解RPCA問題時需要先構造增廣拉格朗日函數：

[Lβ（L，S，Y）=‖L‖*+τ‖S‖1+lt;Y，L+S-Mgt;+12β‖L+S-M‖2F]

這里，[βgt;0]是懲罰因子，[Y]是拉格朗日乘子。然后，對增廣拉格朗日函數極小化，先固定[S]和[Y]求解[L]，再固定[L]和求解[S]，最后根據求得的變量[L]和[S]更新[Y]，其迭代格式可表示為：

[Lk+1=argminLLβL，Sk，YkSk+1=argminSLβLk+1，S，YkYk+1=Yk+βLk+1+Sk+1-M]

通過上述迭代求解，可以從視頻矩陣[M]中分離出低秩背景矩陣[L]和稀疏前景矩陣[S]，進而實現前景目標的提取。

2.2 動態背景的前景目標提取

在動態背景中，每幀的背景不同，可視為靜態背景與變動增量的疊加。同時，視頻中的前景在視頻每幀中是連貫出現，可以考慮在模型中用正則項表示前景的空間相關性和時間平滑性。TVRPCA模型[6]就是在RPCA模型的基礎上加入了關于前景的全變分正則化項，有效地提取出數據中的邊緣和紋理信息，更好地處理具有空間結構的數據。

TVRPCA模型為：

[minL，N，S，E‖L‖*+λ1‖N‖1+λ2‖E‖1+λ3‖S‖TV s.t. M=L+N， N=S+E]

其中[λ1]、[λ2]和[λ3]是大于零的正則參數，[‖S‖TV]是關于前景的TV正則項。該模型也可以采用ADMM算法求解。

2.3 攝像頭抖動偏移下的前景提取

攝像頭抖動是錄制視頻時攝像頭移動或不穩引起的畫面晃動。此時無法采用連續優化模型，需要先對視頻進行穩像處理，消除或減輕攝像頭抖動的影響，然后采用動態背景下前景目標提取的TVRPCA建模。

視頻穩像處理是一種通過對視頻每幀進行平移、旋轉、縮放等變換來抵消攝像頭抖動的方法，從而使視頻畫面穩定的技術。它能夠有效地降低視頻抖動的幅度，提高視頻前景提取的準確率和效果。視頻穩像處理的原理主要分為兩個步驟：運動估計和運動補償。首先，運動估計是指對視頻幀之間的運動進行估計，以確定攝像頭的抖動情況，可以分為全局運動估計和局部運動估計。其中，全局運動估計是通過計算視頻幀之間的全局運動來進行估計，而局部運動估計是通過對視頻幀的局部區域進行運動估計。然后，根據運動估計的結果，進行運動補償，即對視頻每幀進行平移、旋轉、縮放等變換，以抵消攝像頭的抖動。[7]

3 案例結果可視化

對靜態背景數據使用 RPCA 模型測試視頻 Hall 數據集，共 24 幀，每幀大小為[176×144]，部分幀的前景提取效果圖見圖1。

對于動態背景建模，測試視頻WaterSurface數據集，背景為波動的水面，需要提取的前景為路過的行人。該視頻共包含48幀，每幀的大小為[160×128]。分別測試了RPCA和TVRPCA兩種模型的提取效果，見圖2?？梢?，TVRPCA模型有效消除了動態背景的影響。

對于攝像頭抖動偏移下的前景提取，測試視頻沒有提供前景真實解。視頻Car6數據集共有30幀，每幀的大小為[320×240]，前景提取效果則見圖3，穩像TVRPCA模型的處理效果更好。

4 教學實踐與效果

在課堂教學中，引導學生觀察不同場景下數據特點及其對前景提取結果的影響。例如，對于動態背景建?？梢杂肦PCA與TVRPCA處理，從圖2可以看出直觀的效果，如何量化評估模型的效果。這時，自然而然地介紹常用的視頻前景提取評價指標，如總體正確率（TR） 、F-Measure（F值） 、準確率（P） 、召回率（Re） 、特指度（Sp） 、假正率（FPR） 、假負率（FNR） 和錯誤分類率（PWC） 等。詳細講解每個指標的含義和計算方法，讓學生理解如何通過這些量化指標客觀地評估前景提取模型的性能。

表1給出了不同模型對視頻WaterSurface的評價指標結果。對于動態背景，TVRPCA模型顯著優于RPCA模型。在處理攝像頭抖動偏移的視頻時，讓學生觀察抖動的程度和方式如何影響前景提取的準確性。通過對實驗數據的深入分析，培養學生的數據處理和分析能力。通過對不同場景下模型結果的對比分析，引導學生思考如何進一步改進模型，提高前景提取的精度和穩定性，培養學生的批判性思維和創新能力。

在課堂研討與實踐環節中，學生充分展現了活躍的創新思維。他們不僅提出了包括優化模型參數調整策略、創新正則化方法等在內的多種模型改進方案，更有部分學生勇于突破常規，將前景提取模型拓展應用到新興領域。這種積極探索的學術態度，充分反映出學生們在面對復雜實際問題時，已具備運用數學方法進行系統性分析和求解的能力，其數學建模素養獲得了實質性提升。

5 結束語

前景提取教學案例為數學建模課程注入了創新活力，有效彌補了傳統教學模式在實踐性方面的不足，顯著提升了學生的綜合能力素養。該案例通過整合真實場景問題、理論解析、實踐操作與結果評估等教學環節，系統性地培養了學生的數學建模能力、編程實現能力與創新思維能力。展望未來教學發展，可進一步融合深度學習等前沿技術手段，持續優化前景提取的方法體系，同步引導學生追蹤學科發展動態，從而有效激發學習興趣并培養科研探索精神。

參考文獻：

[1] 何偉，齊琦，吳健輝，等.基于全變分-核回歸的RPCA運動目標檢測方法[J].小型微型計算機系統，2017，38（8）：1916-1920.

[2] 韓樂，魏蔚，高麗.基于PTV-TV張量建模的壓縮視頻背景前景恢復與分離[J].華南理工大學學報（自然科學版），2019，47（2）：59-67.

[3] 郎洪，丁朔，陸鍵，等.復雜場景下的交通視頻顯著性前景目標提取[J].中國圖象圖形學報，2019，24（1）：50-63.

[4] CANDèS E J，LI X D，MA Y，et al.Robust principal component analysis？[J].Journal of the ACM，2011，58（3）：1-37.

[5] SUN D F，TOH K C，YANG L Q.A convergent 3-block SemiProximal alternating direction method of multipliers for conic programming with 4-type constraints[J].SIAM Journal on Optimization，2015，25（2）：882-915.

[6] CAO X C，YANG L，GUO X J.Total variation regularized RPCA for irregularly moving object detection under dynamic background[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2016，46（4）：1014-1027.

[7] 李棱銥.基于塊匹配和局部子空間的視頻穩像方法研究[D].大連：大連理工大學，2015.

【通聯編輯：王 力】