特殊的乘法

暑假一到，我家成了學習聚集地，其成員上至僅僅小我20天的表弟，下至仍在幼兒啟蒙期的小妹，可謂是兄弟姐妹齊上陣，為了學習，拼了！每天我的耳邊不是刷刷刷寫暑假作業的聲音，就是“表哥，表哥，這個應該填什么“的疑問……

今天，小表弟又拿著一串數字來問我“489²=_________，這可難不倒我，不就是乘方運算嗎！我由淺入深地從”平方數”講到”完全平方數“再到”乘方運算“給他講解，一會兒問題就迎刀而解了。

說起乘方，就不得不先提到平方。什么是平方呢？其實平方就是一種特殊的乘法，如 1²=1×1=1， 2²=2×2=4 ， 3²= 3×3=9… 很多數的平方算法都是有規律的，在掌握這些規律并且記住一些常用的平方結果后，把普通的乘法轉換成乘方運算就能大大簡化計算過程。

常用的平方公式

自然數n次方尾數的變化規律

① 2\"的乘方尾數每4個數為一個周期，分別為2、4、8、6。

② 3\"的乘方尾數每4個數為一個周期，分別為3、9、7、1。

③ 4的乘方尾數每2個數為一個周期，分別為4、6。

④ 7\"的乘方尾數每4個數為一個周期，分別為7、9、3、1。

⑤ 8\"的乘方尾數每4個數為一個周期，分別為8、4、2、6。

⑥9ⁿ 的乘方尾數每2個數為一個周期，分別為9、1。

⑦ 0、1、5、6的乘方尾數不變，分別為0、1、5、6。

1 用基準數法計算三位數平方

【計算步驟】

（1）以100的整數倍為基準數，計算出要求的數與基準數的差，并將差的平方的后兩位作為結果的后兩位，如果超出兩位則記下這個進位。

（2）將要求的數與差相加，再乘這個整數倍。如果第（1）步有進位，則加上進位，與第（1）步的后兩位合在一起作為結果。

（3）斜線只作區分用，后面只能有1位數字，超出部分進位到斜線前面。

例子：計算 489²=_________

解：基準數為500。

489-500=-11

（-11）²=121

489-11=478

478×5=2390

所以，結果為 2390/121 。

進位后得到：239121。

所以， 489²=239121 。

2 用基準數法計算兩位數立方

【計算步驟】

（1）以10的整數倍為基準數，計算出要求的數與基準數的差。

（2）將要求的數與差的2倍相加。

（3）將第（2）步的結果乘基準數的平方。

（4）將第（2）步的結果減基準數，乘差，再乘基準數。

（5）計算出差的立方。

（6）將步驟（3） ～ （5）的結果相加即可。例子：計算 37³=_______

解：基準數為40。

37-40=- 3

37+（-3）×2=31

31×402=49600

（31-40）×（-3）×40=1080

（-3）³=-27

結果為 49600+1080-27=50653 。

所以， 37³=50653 。

3 用因式分解法計算兩位數平方

【計算步驟】

（1）把 a² 寫成 a²-b²+a²的形式（其中，b為a個位上的數）。

（2）分別算出 a²-b²=（a+b）（a-b） 和 b² 的值，相加即可。

例子：計算 57²=______.

解： 57²=（57+7） （57-7） +7²=3200+49=3249

所以， 57²=3249 。

注意：該方法也適用于求三位數平方。如5972=（597 +3）（597- 3） +32= 356400 + 9O= 356409。

4 用因式分解法計算兩位數立方

【計算步驟】

（1）把 a³ 寫成 a³-ab²+ab²的形式（其中，b為a個位上的數）。

（2）因為 a³-ab²=a（a+b）（a-b） ，所以分別算出 a（a+b）（a-b）和 ab² 的值，相加即可。

例子：計算27³_{__________。}

解： 27³=27×（27+3）×（27-3）+ 27×3²=27×30×24+27×9=19440+243=19683

所以， 27³=19683 。