探究初中代數推理教學路徑

在初中數學教學中，代數推理能力的培養是提升學生邏輯思維與問題解決能力的關鍵環節.其中，“完全平方公式”作為代數領域的基礎知識點，不僅被廣泛應用于各種數學問題中，而且其推導過程中蘊含著豐富的推理思維與數學邏輯.本文旨在通過深入探究初中代數推理教學路徑分析如何在課堂教學中有效引導學生理解公式背后的推理邏輯，掌握從具體到抽象、從直觀到形式的推理方法.

1準確把握代數推理教學的“度”，增強學生對代數推理的認識

代數推理能力的培養是一個長期且循序漸進的教育過程，它對于學生深入理解數學知識體系、熟練掌握數學研究方法、發展理性思維能力以及提升數學核心素養具有不可忽視的重要價值.在數學教學過程中，教育者應當強化代數推理教學的意識，充分利用各類教學資源，將代數推理教學置于數學教學核心地位，確保其在數學教育體系中的應有地位.然而，代數推理教學并非一蹴而就，教育者需精準把握教學的“度”，避免陷人“為推理而推理”的誤區，從而確保教學過程的科學性和有效性.這要求教育者全面而深入地理解“數與代數”領域的教學內容，精準識別代數推理能力在教學過程中的孕育點和增長點.以此為基礎，循序漸進地展開數學表達和推理論證的教學.代數推理能力的發展是以數學知識為載體，在數學活動的實踐中逐步實現的.課堂作為育人的主要場所，應高度重視過程教學，適當放緩教學節奏，設計具有啟發性的推理任務，使學生能夠親身體驗數學概念的推導過程，以及公式、定理、法則和性質的發現和推導過程.在此過程中，教育者應給予學生充分的時間進行動手操作、體驗探索、思考質疑和辨析闡述等數學活動，將代數推理能力的培養有機地融人這些過程之中，鼓勵學生通過自主學習和深度思考，自主領悟數學的原理、規律以及思考方法.

2發掘教學資源，構建代數推理情境

深入挖掘多種教學資源，精心構建一個富有啟發性的代數推理情境，旨在激發學生的思維活力，培養他們的邏輯推理能力和數學素養.一方面，教師可以尋找或創造一些與完全平方公式相關的日常生活實例，如花園設計（正方形花壇內種植不同花卉形成的圖案面積計算）、建筑設計（利用完全平方公式計算房間地毯或瓷磚鋪設所需數量）等，以此作為教學導人，讓學生感受到數學與生活的緊密聯系.另一方面，再充分利用多媒體課件、動畫或互動軟件來展示完全平方公式的推導過程，以動態變化的圖形幫助學生直觀理解公式的形成，并合理設置引導問題，這樣便能夠讓學生在不斷觀察和思考的過程中建立起良好的代數推理能力.

例如 針對觀察下列運算及其運算結果，你有什么發現？

（m+3）²=（m+3）（m+3）=; （2+3x）²=（2+3x）（2+3x）=.

再列舉兩例驗證你的發現，并用幾何圖形來解釋完全平方公式.

依據之前的分析，為了著重提升學生的代數推理能力，我們精心策劃了一系列情境與問題.這些設計旨在引導學生通過觀察與類比的方式，深入探索并理解相關數學公式.

任務1發現“完全平方公式”，計算下列各式：

（1） ）（x+y）（m-n）

（ 2）（a-b）（x-y）

（3） （m+1）（m+1） （4） （a+3）² . （5） （2a+5）²

問題1觀察上面5個運算后的式子，式子的左邊和右邊分別有什么特點？

問題2 觀察式子（3）（4）（5），有什么共同特征？

問題3 你能用一個一般化的式子表示這個特征嗎？

數學家莫雷主張，數學是一門高度抽象的科學，其各個組成部分均基于演繹推理展開.在提升代數推理能力的過程中，深入理解抽象概念至關重要.教師應深刻認識到代數推理在培養學生核心素養和關鍵能力方面的重要作用，并善于利用教材等教育資源來開展代數推理教學，以便能夠有效鍛煉學生的演繹推理能力.

3設定代數推理任務，加深對代數推理的認知

當學生結束對“完全平方公式”的初步探索后，教師應順勢而為，引導學生深人展開該公式的代數推導，以此強化他們的代數推理能力.此外，通過解析該公式的語言描述和構建其背后的幾何意義，可以進一步加深學生對“完全平方公式”的理解．為此，可進行如下設計，旨在將學習活動推向更深層次.

任務1要求學生回顧完全平方公式的推導過程，理解公式中各項的來源和意義.通過小組討論或個體思考，學生需要能夠清晰地解釋為什么 （a+ b）² 會展開為 a²+2ab+b² ，并嘗試自行推導 （a- b）² 的展開形式.

任務2給出一些包含完全平方公式的代數式，要求學生通過觀察和推理，將其化簡為最簡形式.例如，給定代數式 4x²+12xy+9y² ，學生需要識別出這是 （2x+3y）² 的展開形式，并據此進行化簡.

任務3設計一些實際問題或方程，要求學生利用完全平方公式進行求解.例如，給定方程 x²+ 6x+9=16 ，學生需要識別出左側是 （x+3）² 的展開形式，并據此進行方程的求解.

任務4鼓勵學生思考完全平方公式在更廣泛的數學領域中的應用，如二次函數的頂點式、幾何圖形的面積計算等，以進一步加深對公式的理解和掌握.

通過這一系列推理任務的設定和實施，學生不僅能夠加深對完全平方公式的理解和記憶，更重要的是，他們將在推理過程中鍛煉和提升代數思維能力，學會如何運用數學工具和邏輯方法解決問題，這對于他們未來的數學學習和生活都將產生積極的影響.

4關注推理過程，培養代數推理技能

在教授“完全平方公式”時，教師不應僅滿足于公式的直接呈現和記憶，而是將重心放在引導學生通過一系列邏輯推理來發現和理解這一公式.可從簡單的平方和與平方差公式出發，通過類比和擴展，逐步引導學生探索 （a+b）² 和 （a-b）² 的展開形式.在這個過程中，鼓勵學生提出問題、進行猜想，并通過具體的數值代入和驗證來檢驗他們的猜想.

為了加強推理的深度和廣度，可設計多種形式的練習和探究活動.例如，要求學生嘗試用不同的方法推導完全平方公式，如通過圖形面積的計算來直觀展示公式的幾何意義，或者通過代數式的恒等變形來驗證公式的正確性.這些活動不僅能讓學生掌握公式的具體形式，更關鍵的是促使他們領悟公式所蘊含的數學本質及其背后的推理機制.此外，還應該注重學生的批判性思維技巧與解決實際問題的能力提升.在探究過程中，鼓勵學生質疑、反思和修正自己的推理過程，學會從多個角度審視問題，并嘗試用不同的方法解決問題.這種思維方式的培養，不僅有助于學生在代數學習中取得更好的成績，更能夠為他們的終身學習打下堅實的基礎.

例如問題1，讓學生使用不同的方法去探究公式 （a-b）² ；問題2，通過使用完全平方公式進行計算公式 （5+3p）² 、 （2x-7y）² ！ （-2a-5）² ；問題3，計算公式 （a+b+c）²

這一流程本質上是運用完全平方公式解決具體問題的過程，同時也蘊含了深刻的推理.鼓勵學生進行自主探索 （a-b）² ，他們可以依據多項式相乘的法則得出、可以是幾何圖形直觀呈現、更可以從減法是加法的逆運算考慮，將 （a-b）² 看成[a+（-b）]² ，從而在兩個公式間建立起本質的聯系，進而促進代數推理能力的提升.在引導學生應用公式進行計算時，不能僅將其簡化為代入公式進行數值計算的過程，這樣的簡化處理會讓學生難以領悟到運算背后的推理本質.在筆者的教學實踐中，當學生正確利用公式完成計算后，筆者會進一步追問：“為什么要這樣計算？”這不僅是在詢問計算的步驟，更是在要求學生深入理解計算背后的原理.事實上，這一流程遵循了標準的演繹推理模式，與（a+b+c）² 的推理過程相吻合，只是在實際操作中往往被省略.

5把握教學契機，優化代理推理過程

現實初中數學教學中，很多公式、法則的學習探究都是通過歸納、類比得到的，但僅停留在合情推理層面，缺少嚴密的演繹過程.盡管部分運算法則、規律（如有理數、實數的運算法則和運算律）的嚴格證明確實超出了初中數學的知識范疇，教學中可以適度簡化.但是，也有不少法則、規律的探究可以引導學生進行相關演繹推理活動.

例如在教學“去括號”時，不能僅通過填表操作、觀察發現，得到“去括號法則”.這樣的學習，思考層次明顯欠缺深度，不利于代數推理能力的培養.可以設計問題：“你能說明發現的結論是正確的嗎？”讓學生思考，引導學生經歷由合情推理到演繹推理的全過程，了解“去括號法則”與“乘法分配律”的本質聯系，即“去括號法則”是依據“乘法分配律”演繹推理的結果.再如二次根式中的分配律演繹推理的結果.再如，將二次根式中 發展學生的推理能力貫穿數學教學的全過程.再例如，在二次函數教學時，研究\"函數 y=（x+3）² 的圖象與函數 y=-x² 的圖象之間有什么關系”等問題的過程中，便可進行如下設計：由于圖象是由點構成的，圖象的平移歸根到底是點的平移，怎么體現所有點的平移，只要任取一點即可，所以在函數 y=-x² 的圖象上面任取一點 P（x，y） ，點 P（x，y） 向左平移3個單位得到P^′（x-3，y） ，這樣只需要講明 p^′ 在函數 y=- （x+3）² 的圖象上即可.

6鼓勵反思總結，促進數學思維的深化

反思不應僅限于學習結束時的總結，而應貫穿于整個數學活動過程中，實現持續的自我監控.這意味著在參與數學活動的各個環節，如操作、觀察、計算、思考時，都應適時地進行檢驗、調整、評估與反思.這是一個深人自我剖析、細致思考及提升推理能力的過程.

例如在教授\"完全平方公式”這一數學概念時，我們著重于對整個課程內容的系統歸納與深度剖析，旨在通過整理研究流程及策略，引領學生深入洞察數學研究方法的核心邏輯，并真切體會到數學推理所承載的關鍵價值.具體而言，可設置具有反思性質的提問環節，如：請學生整理并概述本節課所探討的主題及探索路徑；其次，鼓勵學生主動思考，提出更多值得探究的問題.反思不僅是思維進步的表現，更是促進學生推理能力、批判性思維及創造性思維等高階認知能力發展的源泉.《美國州共同核心數學標準》與PISA評估體系均強調了數學推理能力中反思的重要性.本節課，引導學生回望完全平方公式的探索之旅，回顧從符號抽象、運算操作到推理思維的形成過程，包括體驗、總結、應用、拓展及知識間關聯的建立，從而在多項式與完全平方公式之間架起知識與思維方法的橋梁，強化了學生代數推理技能，從而有效提升學生的數學抽象能力、運算技巧、推理能力等綜合數學素養及解決實際問題的能力.

7結語

通過對初中代數推理教學路徑的深人探究，并進行實證分析，可知通過合理采用循序漸進、由具體到抽象的教學策略，結合生活實例與圖形輔助，能夠有效提升學生的代數推理能力.因此，在初中代數教學中，重視推理路徑的構建與優化，切實增強學生的代數推理教學意識，合理應用教學資源，這樣便能夠將代數推理教學提升到應有的高度，以便能夠最大限度地提升初中學生的數學核心素養和綜合能力.

參考文獻：

[1]汪雪梅，李勇.善用素材有序推進——例談初中代數推理教學的基本路徑[J].中小學數學（初中版），2024（9）：49-51.

[2]吳琨.初中代數推理的解題思路與教學反思[J].中學數學教學參考，2024（12）：35-37.

[3]陳潔.指向核心素養的初中代數推理教學探究——以“二次函數”為例[J].初中數學教與學，2024（6）：13—16.

[4]楊克玉.整體觀下初中代數單元復習課的探索—以“實數”為例[J].中學數學教學參考，2023（23）：18—20.