從密碼到數學思維，從知識到核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，數學課程應致力于培養學生的核心素養，體現學科的育人價值，主要涵蓋三方面：用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界[1].因此，在核心素養的“三會”目標指導下，筆者開展了“密碼中的數學”學習實踐.首先，引導學生用數學的眼光看密碼，建立字母和數學之間的聯系，發展數學直觀思維；在探討密碼形成規則時，感受不同密碼工具的生成是由背后的不同的數學思維決定的[2].從不同的實際情境中抽象密碼系統，從數量的變化視角看密碼，建立明文和密文的對應關系，形成數學建模思想，提升邏輯推理素養；在加密和解密的過程中，提升用代數式表示“對應”的能力，學會用數學的語言來表達所發現的規律，并在加密和解密的過程中，發展數學運算與代數推理能力，提升數學逆向思維和算法意識，培養學生的代數思維和解決問題的能力，增長數學活動經驗，提升數學的應用意識[3]

1 從“密碼”到“對應”

師今天我們一起研究密碼中的數學，首先我們玩一個小游戲：請同學們嘗試用分發到的不同直徑的木棒和寫有無序字母的矩形紙條，通過無縫纏繞的方式看看矩形紙中條隱藏的秘密.

生通過纏繞2號木棒，我發現了紙條上的字母寫有“I love China\".

師很好，那么纏繞其他直徑的木棒能夠得到信息嗎？

生不能.

師為什么？

生文字和小棒直徑有唯一的對應關系.

師這個“唯一”用得很妙，揭示了這兩者之間 的內在聯系.

師小明酷愛詩詞，他也藏了些信息，“我寄愁心與明月，最愛湖東行不足，畢竟西湖六月中，茍利國家生死以”.小明給出提示（1，1）、（2，2）、（3，7）、（4，3），你能破譯其內涵嗎？

生有序數對 （a，b） 表示第 a 行第 b 列，找到相應的文字，所以小明想說“我愛中國”

師同學們都很棒，其實在以上實際情境中都有一個密碼系統，它的構成要素：明文、密文、密碼規則.密碼和人們的生活密不可分，那么其中蘊含了怎樣的數學秘密呢？讓我們繼續探索.

2 從“密碼”到“循環，余數”

師古羅馬著名的軍事統帥愷撒在軍事通信中發明了一種簡單的加密技術，傳遞信息時，每個字母都向右平移3個字母，我們也稱密鑰為3，如圖1所示：你能破譯密文：\"LORYHFKLQD”嗎？

圖1

圖2

生1我們可以通過表格呈現字母和字母之間的對應關系，從而翻譯出明文：“ILOVECHINA”，解密時找第二行密文所對應的第一行的明文，加密時找第一行明文所對應的第二行的密文.

生2這樣的表格觀察不夠方便，我有更好的密碼工具，把26個字母放在有公共原點的輪盤中（如圖3所示），若偏移量為3，將內盤逆時針旋轉3格（如圖4所示），加密時，找到明文字母在外盤的位置，對應的內盤字母即為密文.解密時，找到密文字母在內盤的位置，對應的外盤字母即為明文.

圖3

圖4

圖5

圖6

師兩位同學都很有想法，不僅僅看到了明文和密文之間的對應，甚至研究出了便于操作的工具，非常厲害.

師我們在此基礎上再來研究密鑰對明文和密文的影響：設密鑰為 k ，當 k=32 時，請給字母“I”加密.

生當 k=32 時，內盤多轉一圈，再轉6格得到密文： ? ”

師如果明文“CHINA”對應的密文為“INOTG”密鑰是多少呢？

生1通過輪盤發現是 k=7

生2不一定，可以是多轉 n（n） 為整數）圈， k= 7+26n ：

師同學們的數學思維更進一步了，能發現小小輪盤下藏著的循環規律.那么能用數學的語言來表達你發現的規律嗎？

生其實很類似我們數軸上的平移，將字母向后平移三格，如果設初始數是 x ，那么對應到的數即為 x+3

師你能利用你的發現，創建更好的密碼輪盤工具嗎？

生可以升級輪盤，建立字母和數字之間的對應關系.設字母 A 的值為1，B的值為2，那么即可用1～26 分別代替字母 A～Z ，如圖5：不妨將數字標注在外盤上.此時我們建立了一種數字和字母替換的密碼規則.

師很棒，那么能用數學的語言解釋愷撒密碼的規則嗎？

生設明文所代表的數是 Ψ_x ，用代數式 x+3 表示密文所對應的數；如明文“ L ”對應的數字是 x =12 ，密鑰為3，則 x+3=15 ，加密對應的字母為“ O ”

師 以上規律適用于所有字母嗎？

生明文為“Z”時，對應的數字為 26，x+3 數字為29，沒有對應的數字；密文為“A”時，對應的數字 _1，x-3 數字為一2，沒有對應的數字.

師 還能如何升級你的工具呢？

生類比以上字母輪盤規律 29÷26=1…3 ，所以用“ c ”來表示，那么輪盤上表示 C 所對應的數就可以是3，也可以是29，也可以是任意除26余3的數，同理字母 A 可以表示任意除26余1的數， B 表示任意除26余2的數.

師能用數學的式子表達字母和數字之間的對應關系嗎？

生 A：1+26n：B：2+26n：… 師 請升級你的輪盤.

生如圖6所示.

3 從“密碼”到“代數式”

師太厲害了，同學們不僅發現了輪盤密碼的余數規律，并且創建了非常獨特的輪盤

師請利用你的新密碼系統，給明文\"CHINA”加密.

生1 3 8 9 14 1.

生229 3435 40 27.

師 請給密文“33 15 41 4”解密.

生 GOOD.

師 通過以上嘗試，明文和密文之間有怎樣的對應？

生加密時，明文可以得到不同的密文，解密時，密文只能得到唯一的明文.

師請你更深人地用數學的語言表達輪盤密碼的規律.

生加密時，明文字母對應的數設為 Ψ_x ，密文字母所對應的數是 y ：

例如明文 ?_Y^′ x=25+26n ，密鑰為3時， x +3=28+26n=26（n+1）+2 ，除以26余數為2， 則 y=2 ，則密文為“ B^′′

解密：密文字母對應的數設為 x ，明文字母所對應的數是 y

例如密文“ B ”： x=25+26n ，密鑰為3時， x -3=2+26n-3=25+26（n-1） ，除以26余數為2，則 y=2 ，則密文為“Y”.

師太為你驕傲了，總結得非常精確，用代數式和代數式的運算揭示循環規律，也將余數表示得非常清楚.這也是數學模型的強大和代表性.

師老師這里也有一種加密解密工具，同學們可以任意設置密文，明文，以及密鑰（教師現場通過程序展示編程完成愷撒密碼加密過程），如圖7所示.

圖7

生非常感興趣，躍躍欲試.

師大家知道我是如何實現加密解密的嗎？其實正是剛剛同學們發現的輪盤密碼規則，只不過老師再次轉換成了程序語言，利用信息軟件Python完成了整個過程.

用程序語言加密表達如圖8所示.

圖8

用程序語言解密表達如圖9.

圖9

師剛剛我們在實踐中從斯巴達棒、到表格，到輪盤、到“Python”，這些工具都承載了數學的算法；從“對應”到“循環，余數”再到“代數式”，這些是數學思維發展的痕跡（如圖10所示）；從“感受”到“理解”再到“創造”是我們人類發展的必經過程，數學一直藏于其中.每一個密碼工具的升級，人們都經過了漫長的嘗試，人們的數學思維也得到了不同的發展，也希望同學們能用數學的眼光審視現實世界中的工具，并能用所學的數學知識解釋“工具”.現代科技日新月異，但背后的數學原理才是真正支撐技術的基石.越是呈現簡單便利的工具背后往往隱藏著更深刻的數學內核.

圖10

4 從“密碼”到\"演練”

師每位同學利用所給的輪盤模具（如圖11），設計自己的密碼系統，并展示，如圖12、圖13所示.

生1如圖12所示，每個字符所對應的數為： +29

生2如圖13所示，每個字符所對應的數為： x +58 （多展示一些特別的代數式表達：如 3x+1…）

師我們來兩人一小組，老師給出指定密文，在對方的密碼系統中， ?_?k 破譯時間，以及成功破譯的字符數量，小組派代表匯報破譯結果和過程，分享破譯方法以及破譯過程中遇到的挑戰.

5 60 61 303132 62 33 63 86 57 58 29 ABCDE i 主 4 5 3464 35 85 56 28空格 61 36 65

84 55 127 F Gt 7 37+66 8

83-54-25 Y 士 38-67

82 53 24 X F3968 -23 V

81 52 22 UTSRQPON M 40/69 5 21 3 41 80 208 42 70 799 48474645 4 71 77 76 75 74 73 119 121 123 125 616365 127 67 35 7 6129 173 9 15 59 ABCD 1714113/ 57 空格 L73 131

1670951 1691153 55 NYX fi 19+77-135 75133

16507 21+79+137 H0545 25 139 163 83 161K 十 85 ‘141 1599593 4 143 89 155 147 153151149

圖11

圖12

生1輪盤密碼加密簡單，可操作強，但還是很容易破譯的，因為字母或者字符的第一圈都是有限的，只要足夠耐心就能通過枚舉法破譯完成，密碼安全性可能不夠.

生2我也同意，為了加強密碼安全是不是可以二次加密，比如將輪盤密碼和開始的數對結合起來.

生3但是這樣也加重了解密的難度，是否可以將密鑰長度加長或者升級算法？

師同學們說得都很有道理，可以嘗試實踐一下，很欣慰同學們能有如此的批判性思維能力.

師最后老師還想和大家分享一段二戰期間圖靈團隊破譯密碼的影片，了解圖靈和波蘭數學家在二戰期間破解Enigma密碼機的歷史故事.

師密碼和我們的生活密切相關，密碼學在戰爭中有著重要作用，其對戰爭結果也有著直接的影響，希望先進的技術是為了造福后代，為人類文明添磚加瓦.

5 教學思考

（1）從密碼到數學：通過經歷現實情境的數學化，探索明文與密文之間的對應關系，使學生能夠用數學的視角識別問題；構建輪盤密碼模型，運用數學思維分析其知識內核；通過設置教學支架，幫助學生進行建模，從無到有，從特殊案例推廣到一般規律，旨在培養學生嚴謹的推理能力和規范的表達能力.更重要形成解決問題的一般路徑，形成用數學研究各類問題.的研究方法.

（2）從項目到活動：與傳統教學方法相比，本課程采用任務驅動的方式，涵蓋了微項目學習的全流程.從問題的提出到建模解密，再到攻防對抗，將三個主要任務細分為十個小活動，涉及不同層次和多個步驟，循序漸進，由易到難地推進整個項目學習的實施[4].在此過程中，從多個角度對活動任務進行設計與調整，最終逐步深入，接近密碼的核心數學原理.

（3）從知識到素養：培養學生的數學核心素養并非一蹴而就，而是需要教師在日常教學中逐步滲透.教師應在真實情境中幫助學生直觀地抽象出數學問題，本課內容從周期運算到模運算，重視提高學生運算能力[5]；通過明文與密文之間的相互轉化，促進學生的數學推理能力的發展；在“密碼”大對戰活動中，學生的數學應用能力和創新意識得以增強.

6 結語

數學是技術發展的基礎，構建了技術背后的底層邏輯，萬物發展都離不開數學，因此學會用數學的思維思考，用數學的語言表達至關重要.本課程還強調引導學生思考技術對社會的影響，重視引導學生形成正確的世界觀和價值觀，技術要用于支持社會發展，促進人類文明進步.

【本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃課題考試專項“基于核心素養的初中數學評價體系研究” （K-c/2021/12）I

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]桑國元，葉碧欣，王翔.項目式學習：教師手冊[M].北京：北京師范大學出版社，2023：31.

[3]孫國春.《義務教育數學課程標準（2022年版）》的改革意涵探析—以核心素養為邏輯基點[J].課程.教材.教法，2022，42（12）：39-46.

[4]徐玲玲，劉徽.真實性學習理念下的學校課程構建：加拿大上游學院的經驗與啟示[J].世界教育信息，2019，32（7）：66-73.

[5]王素云，代建軍.真實性學習：一種隱喻“具身實踐”的學習樣態[J」.中國教育科學，2021（4）：58-66.