等腰三角存在探索，方法模型教學指導

1引言

等腰三角形存在性問題在函數綜合中十分常見，解析該類問題的關鍵是探尋或構建其中的“等角”或“等線段”條件，再結合函數知識準確“定位”教學中建議教師設置探究專題講解模型方法，指導學生掌握構建思路，并能靈活運用.下面以“兩圓一線”定等腰的方法為例，開展方法探究.

2 方法講解

“兩圓一線”定等腰是求解等腰三角形存在性問題的常用方法，該方法借助幾何中圓和垂直平分線的特殊性質，提取等線段關系，從而建立等腰三角形模型.教學中建議教師結合圖形講解方法，引導學生深刻理解.

問題在平面有 A 和 B 兩點，找一點 c ，使得ΔABC 為等腰三角形.

分析要使 ΔABC 為等腰三角形，有三種情形： ① 點 A 為頂點，則 AB=AC ： ② 點 B 為頂點，則BA=BC ·③ 點 c 為頂點，則 CA=CB

模型可以點 A 和 B 為圓心、 AB 長為半徑作圓，設兩圓的交點為 P 和 Q ，與 A 和 B 所在直線的交點分別為 M 和 N ，則線段 PQ 為 AB 的垂直平分線，如圖1所示.

討論分別以點 A 和 B 為圓心， AB 長為半徑作了 ?A 和 ?B ，根據圓的特性“圓上任意一點到圓心的距離相等”垂直平行線的特性，可提取眾多等線段長，從而可確定不同情形中點 C 的軌跡.具體討論如下.

情形1點 A 為頂點，需要滿足 AB=AC ，則點c 只需在 ?A 上即可（不與點 B 和 M 重合）；

圖1

情形2點 B 為頂點，需要滿足 BA=BC ，則點c 只需在 ?B 上即可（不與點 A 和 N 重合）；

情形3點 C 為頂點，需要滿足則 CA=CB ，則點 c 只需在 AB 的垂直平分線 PQ 上即可（不與點 E 重合）.

總結上述基于“兩圓一線”進行了等腰三角形第三頂點的定位，在具體操作時注意需要剔除其中無法構成三角形的點.后續利用“兩圓一線”模型方法探究與函數相關的等腰三角形存在性問題時，可按照如下三步進行.

第1步，以已知線段的端點為圓心、線段長為半徑分別作圓，然后作線段的垂直平分線，構建“兩圓一線”模型；

第2步，展開分類討論，構建相應的等腰三角形模型，結合距離公式、幾何特性等推導線段長度；

第3步，結合題設條件與線段相等構建方程，求解得出結論.

3 應用指導

問題在圖2所示的平面直角坐標系中，已知點 A（- 1，4），B（3，0） ，拋物線 C 的解析式為 =-x²+2x+c ，且經過點 B ，試回答下列問題.

（1）求拋物線 c 的解析式；

（2）探究在坐標的 軸上，是否存在一點 P ，使得 ΔPAB 為等腰三角形？若存在，求出其坐標；若不存在，請概述理由.

思路分析 本題目為二次函數綜合題，題設兩問，第一問為基礎之問，求解析式采用待定系數法即可.第二問則為等腰三角形存在性問題，需要分三種情形討論，建議采用“兩圓一線”模型方法，直接定位點 P 的位置，再解析計算坐標.