“教一學一評”一體化初中幾何推理中的錯誤類型診斷研究

隨著教學改革的不斷推進，課堂上教師對學生推理過程的關注逐漸加強，單純關注結論的教學方式已無法滿足學生素養提升的需求.“教一學—評”一體化理念強調在教學活動中同步滲透學習與評價，促使學生在推理實踐中不斷反思、修正與完善思維路徑，為幾何推理能力的提升提供了更為有效的支撐.

1“教一學一評”一體化下中學幾何推理錯 誤類型診斷原則

1. 1 目標協同診斷原則

“教—學—評”一體化理念強調教學目標、學習目標與評價目標之間的高度一致[1.在幾何推理教學中，目標協同診斷原則要求教師在設計教學活動、組織學習任務與實施錯誤診斷時，始終以推理能力的培養為核心方向.推理訓練不僅是結果導向的習題訓練，更是學生理解幾何概念、建構邏輯鏈條的重要過程.教師需要根據課程標準，明確不同階段學生應掌握的推理要求，確保教學活動、學習表現與診斷評價在目標指向上緊密統一.

1.2 過程銜接診斷原則

幾何推理能力的形成是學生與問題持續互動的結果，過程銜接診斷原則強調在教學全過程中動態跟蹤學生的推理發展.教師需要關注學生推理思路的生成過程，及時捕捉推理鏈條中的斷點、偏差與薄弱環節，診斷不僅停留在最終結果的正確與否上，更重視推理過程的邏輯性、完整性與條理性.在教學中，教師應通過課堂提問、學生展示、作業分析等多種方式，持續觀察和分析學生的推理路徑，及時發現認知障礙，形成針對性的教學調整策略.通過緊密銜接教學與學習過程，診斷活動能夠更加精準地支持學生推理水平的提升，使思維訓練真正融入課堂細節之中.

1. 3 反饋一致診斷原則

有效的錯誤診斷不僅是問題的識別，更在于后續反饋的及時性與針對性，反饋一致診斷原則要求教師在評價中提供具有指導意義的反饋，幫助學生理解錯誤本質并優化推理路徑[2].反饋內容要緊扣教學自標，注重引導學生在思考中發現問題源頭，在修正中完善邏輯鏈條.教師需要根據學生具體的幾何推理錯誤類型，提出清晰、具體的改進建議，既指出其推理過程中的邏輯漏洞，又指導其在原有認知基礎上進行合理重構.

2“教一學一評”一體化下中學幾何推理錯誤類型診斷策略

2.1 問題驅動推理診斷

問題導向、目標明確，學生在解決此類問題時能夠有跡可循，找到解決問題的一般規律，激發學習熱情，將已知信息中角相關的特殊數量關系標注在圖中，如果圖形本身具有特殊的位置關系，容易推出兩線垂直或平行等特殊的位置關系[3].教師需要聚焦于學生思維過程中的典型錯誤類型，及時識別推理鏈條中的斷點、偏差與混淆現象.通過層層遞進的問題鏈，教師能夠在學生的推理表達中捕捉推理概念理解錯誤、推理步驟缺失、位置關系判斷失誤等常見錯誤，進而有針對性地進行教學干預.在“教一學—評”一體化理念下，問題設計不僅是思維訓練的重要手段，更是實時診斷學生推理質量的重要工具.

例1如圖1，四邊形 ABCD 中， AB⊥AC ，若∠1+∠B=90^° ，求證 AD//BC

圖1

問題1 已知條件中“ ∠1+∠B=90^° 你是如何理解的？

問題2 ∠1 與 ∠B 在圖中是否有特殊的位置關系？能否進一步推出其他幾何信息？

問題3圖中是否存在角與其他兩個角有特殊位置或數量關系的情況？

解答1由和為 90^° 的數量關系可得 ∠1 與 ∠B 為互余關系.

學生錯誤推理：誤以為 ∠1 和 ∠B 直接構成直角三角形，忽略兩角位置關系.

教師推理思路引導：理解為數量互余關系，而非直接推斷角度位置特征.

解答2讀題標量，觀察幾何圖形，二者并無特殊位置關系，無法進一步推理.

學生錯誤推理：僅憑互余數量關系推斷二者構成直角，無視實際圖形位置，導致推理鏈斷裂.

教師推理思路引導：仔細觀察圖形，發現 ∠1 和∠B 無直接的空間位置關系，需尋找新的角度關系.

解答3由 AB⊥AC ，再根據三角形內角和定理—三個內角和等于 180^° ，可以進一步推理得出∠B 和 ∠ACB 互為余角，基于圖1，我們可以得到∠1 和 ∠ACB 互為內錯角.

學生錯誤推理 學生在此步容易遺漏內錯角關系的判定，導致無法正確推出平行結論.

教師推理思路引導基于 AB⊥AC ，運用三角形內角和定理 ——三個內角和等于 180^° 推理出∠B 和 ∠ACB 互為余角，進一步推理出 ∠1 和∠ACB 互為內錯角且兩角相等，從而完成平行關系證明.

分析通過問題鏈的設置，教師能夠有效暴露學生在數量關系理解、空間位置判斷及邏輯推理銜接方面的典型性錯誤，實時記錄錯誤類型，針對性指導學生修正推理路徑，逐步完善邏輯思維.問題驅動的推理診斷不僅能促進學生自主思考，更在動態交互中實現精準的推理錯誤類型診斷與干預，提升“教—學—評”一體化環境下的教學效能.

2.2 易錯示例引導學生辨析

在初中階段培養學生幾何推理能力時，“教一學—評”一體化理念要求教師在了解學生認知現狀的基礎上，利用典型易錯示例引導學生辨析推理過程中的常見錯誤類型，提升思維的準確性與嚴密性[4].通過設置具有代表性的易錯情境，教師能夠引導學生主動識別推理鏈條中的斷裂點、概念誤用或邏輯跳躍現象，在對比分析中實現認知矯正.易錯示例的設計不僅有助于暴露學生潛在的推理偏誤，也使教師能夠在教學過程中實時進行錯誤類型診斷，針對不同錯誤類型采取個性化的干預措施，促進學生推理思維的持續優化與完善.

圖2

例2如圖2所示，已知 ?AB // CD ，甲、乙兩人分別沿著的夾角的平分線BE、CF運動，小智認為甲、乙兩人的運動路線BE、CF平行.結合題干信息，請試想小智的想法是否正確，并說明你的理由.

學生常見推理錯誤：（1）學生往往根據“平分線”這一概念，錯誤推斷平分線方向必然平行，忽略了夾角大小及圖形整體結構的分析；（2）未能基于題目條件推導出角度關系變化，直接跳步推斷運動軌跡的平行性，缺乏中間推理步驟支撐.

教師錯誤推理指導：結合圖 _2，BE 與 CF 分別是不同夾角的平分線，雖然 AB//CD ，但因夾角本身大小不同，平分線方向未必一致，無法直接推出BE//CF .因此，教師需要引導學生基于角平分線的定義——從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫作這個角的角平分線一—分析角度結構，再判斷運動軌跡是否具備平行條件.

分析通過易錯示例的引導，教師可以觀察學生在理解角平分線、判斷平行關系時是否存在知識遷移錯誤、推理步驟跳躍或概念誤用等問題，及時分類記錄推理錯誤類型，并在后續教學中針對性講解，幫助學生在辨析與反思中逐步構建清晰、規范的推理鏈條.

2.3借助典型問題開展錯誤追溯

幾何推理的準確性首先依賴于對題設條件的完整把握和合理使用.若忽視題干條件，易導致推理斷裂或無從下手[5].教師需引導學生回到題目文本，如圖3、圖4中射線 AN?AM 及線段BC旋轉形成BD的過程，要求學生在圖上逐一標注已知條件，并用輔助線（如 CD ）理清角度關系.對于遺漏條件的學生，教師應追問：“旋轉角度與直線關系是什么？”“垂線的意義是什么？”幫助學生梳理完整推理起點，防止推理方向偏離.在推理過程中，若步驟跳躍或推導依據模糊，極易產生邏輯漏洞，影響整體證明的嚴密性.

圖3

圖4

例3如圖3和圖4所示，已知 ∠MAN=a(0^° °) 點 _B，C 分別在射線 AN，AM 上，將線段BC 繞點 B 順時針旋轉 180^°-2a 得到線段 BD ，過點D 作 AN 的垂線交射線 AM 于點 E

問題1如圖3，當點 D 在射線 AN 上時，求證：c 是 AE 的中點.

問題2如圖4，當點 D 在 ∠MAN 內部時，作DF//AN ，交射線 AM 于點 F ，求線段 EF 與 AC 的數量關系，并證明.

解答1連接 CD ，根據題意可以推理出 BC= BD ∠CBD=180^°-2a . ∠BDC=∠BCD ，設∠BDC=∠BCD=x ，由三角形內角和得 2x+ (180^°-2a)=180^° ，解得 x=a ， ∠BDC=a .又由題設知 ∠MAN=a ，記 ∠1，∠CDB 記做 ∠2，∠1= ∠2=a .進一步根據圖中 DE⊥AN，CA=CD ，結合等角對等邊關系可得 AE 被 C 平分，即 C 為 AE 的中點.

分析教師應引導學生逐步寫出： BC=BD ，∠CBD=180^°-2a ，繼而推導出 ∠BDC=a ，直至得出 ∠BDC=∠A . CA=CD ，最后證明 C 為 AE 中點.對于步驟跳躍的現象，教師可要求學生在草稿紙上詳細列出每一步推理及所依據的定理、定義，并在圖中同步標記角度變化，強化推理鏈條的可視性和連貫性.

解答2教師可以鼓勵學生在射線 AM 上取點H ，使得 BH=BA ，取 EF 的中點 G ，連接 DG .根據解答1得到的結果，證明推理得到 EF=2AC 的結果.

分析在證明過程中，若學生未能正確取輔助點 H，G 或忽視中點條件，教師可設置引導性問題：“為什么要取 H 點使 BH=BA^′ ？”“為什么要取 EF 中點 G ？”\" EF 與 AC 的數量關系如何推導？”幫助學生意識到輔助構造與推理結果之間的聯系.對于推導方向錯誤的學生，教師應引導其通過逆推法從結論出發，倒查條件鏈條，直至定位出推理斷點.

3結語

綜上所述，在\"教—學—評”一體化理念引領下，幾何推理錯誤的診斷與追溯不僅是提升學生思維嚴謹性的關鍵途徑，更是促進其邏輯素養與自主學習能力培養的重要手段.通過精準識別錯誤類型、追溯推理鏈條、深化課后鞏固與反思整理，教師能夠有效引導學生在不斷修正中完善推理過程，增強問題意識與自我監督能力，從而實現幾何推理能力的系統提升，助力其數學核心素養的深度發展.

【本文系福州市教育科學研究“十四五”規劃2023年度課題“基于教一學一評一體化的初中生幾何推理能力培養行動研究\"（項目編號：FZ2023GH051）】

參考文獻：

[1]孫軍波.“教—學一評”一體化的實踐困境及優化策略—以初中數學學科為例[J].數學通報，2024，63（02)：30-34+55

[2]徐煜聲.核心素養背景下初中數學教學評一體化課堂教學策略[J].數理天地（初中版），2025(02)：146-148.

[3]趙慶林.淺談初中數學教學“教—學—評”一體化研究LJ].吉林省教育學院學報，2025，41(01)：39-43.

[4]李君.初中數學幾何直觀教學的“失度”與“適度”[J].教學與管理，2025(07）：45-49

[5]林文權.淺談初中幾何教學中邏輯推理素養的培育[J].福建中學數學，2020(12)：24—27.