建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，明晰數(shù)量關(guān)系

“倍數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要基礎(chǔ)概念，也是日常生活中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)概念。“倍”表示的是一種數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)倍的關(guān)系之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)量之間的相差關(guān)系。而倍的概念和倍數(shù)關(guān)系比較抽象，學(xué)生對(duì)其的掌握具有一定的難度。學(xué)習(xí)倍的概念和建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，可以幫助學(xué)生更深入地理解乘法的含義，厘清倍當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系，從而可以熟練運(yùn)用倍的數(shù)量關(guān)系，拓寬在解決實(shí)際問題上的范圍。“倍的認(rèn)識(shí)”也起著重要的承接作用，倍的數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)也為今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分比、比等相關(guān)知識(shí)打下基礎(chǔ)。

一、單元目標(biāo)分析

（一）單元教材闡述

研讀教材發(fā)現(xiàn)，本單元主要包括“建立倍的概念”和“解決與倍有關(guān)的實(shí)際問題”兩個(gè)板塊，主要內(nèi)容包括：倍的意義、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍和求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，共4個(gè)課時(shí)。其中，“倍的意義”的學(xué)習(xí)為第一課時(shí)，解決問題“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”為第二課時(shí)，解決問題“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”為第三課時(shí)，第四課時(shí)是練習(xí)課。

“倍的意義”的學(xué)習(xí)，是讓學(xué)生建立對(duì)倍的概念的認(rèn)知，以及初步理解倍的意義。教學(xué)中，教師通過數(shù)一數(shù)、圈一圈蘿卜等活動(dòng)，讓學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)不同蘿卜之間的數(shù)量關(guān)系，再利用“幾個(gè)幾”讓學(xué)生理解倍的概念，學(xué)會(huì)用有關(guān)倍的關(guān)系來描述數(shù)量關(guān)系，初步感知倍的意義。

“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”，主要是利用倍數(shù)關(guān)系來解決問題。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用小圓片來表征信息中的數(shù)量關(guān)系，理解求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，其實(shí)就是求一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)幾，明確求倍數(shù)用除法的計(jì)算思路。

“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”，也是利用倍數(shù)關(guān)系來解決簡(jiǎn)單的問題。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖來表征數(shù)量關(guān)系，表明求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少就是求幾個(gè)幾是多少，用乘法解決。

練習(xí)課是將前三個(gè)課時(shí)的知識(shí)進(jìn)行穿插串聯(lián)，讓學(xué)生綜合應(yīng)用倍數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題，從而深化對(duì)倍的意義的感知與理解。

根據(jù)教材的編排以及結(jié)合實(shí)際的教學(xué)，筆者發(fā)現(xiàn)，三節(jié)新授課和一節(jié)練習(xí)課的編排，雖有知識(shí)性的逐步遞增，但存在重復(fù)性，使得學(xué)生對(duì)倍的意義難以建立概念感知。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生雖然在不斷地感知、理解倍的意義，但是并不能清晰地辨識(shí)“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”“倍數(shù)”這三個(gè)量。

此外，教材中設(shè)計(jì)了求“比較量”和“倍數(shù)”兩個(gè)量的解決問題的例題，但是并沒有設(shè)計(jì)“一倍數(shù)”的求解方法，而一倍數(shù)是倍數(shù)關(guān)系中的“標(biāo)準(zhǔn)量”，找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)量是解決倍數(shù)關(guān)系問題中的重要步驟。在研究?jī)蓚€(gè)量之間的關(guān)系時(shí)，教材中的設(shè)計(jì)基本基于倍數(shù)關(guān)系中部分與部分的關(guān)系，沒有涉及部分與整體的關(guān)系。

（二）核心目標(biāo)的確立

基于對(duì)教材的分析與思考，筆者以模型意識(shí)為素養(yǎng)目標(biāo)，以“學(xué)、教、評(píng)”一致性為原則，確定本單元的核心目標(biāo)為建立倍的概念，從倍的概念出發(fā)，借助多元表征理解并明確“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”“倍數(shù)”三個(gè)量之間的關(guān)系，以及借助倍的數(shù)學(xué)模型，熟練運(yùn)用倍的數(shù)量關(guān)系求解有關(guān)倍的實(shí)際問題。

（三）核心目標(biāo)的分解

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本方法。它不僅可以為數(shù)學(xué)表達(dá)和交流提供有效途徑，也可以幫助學(xué)生更加清晰地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的意義。因此，在倍的教學(xué)中，教師可以借助具體情境，利用建立的倍數(shù)關(guān)系的模型來表示數(shù)量之間的關(guān)系，讓學(xué)生更加深入地理解模型中數(shù)量的意義。筆者將核心目標(biāo)細(xì)分為以下三點(diǎn)：

1.理解倍的概念

在圈一圈、擺一擺、畫一畫等操作活動(dòng)中，獲取關(guān)于倍的直觀體驗(yàn)，在具體的情境中聯(lián)系“幾倍”與“幾個(gè)幾”的關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行表述，從而建立倍的概念。

2.掌握倍的數(shù)量關(guān)系

借助實(shí)物、線段圖等表征數(shù)量關(guān)系，理解并能準(zhǔn)確分辨標(biāo)準(zhǔn)量、比較量、倍數(shù)，構(gòu)建三個(gè)量之間的關(guān)系，能根據(jù)已知的兩個(gè)量求另一個(gè)量。

3.應(yīng)用倍的意義

根據(jù)構(gòu)建的倍的數(shù)學(xué)模型，能進(jìn)行實(shí)際運(yùn)用。進(jìn)一步感知倍數(shù)關(guān)系中部分與部分的關(guān)系，以及感受部分與整體的關(guān)系，深化對(duì)倍的數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)，更深刻地理解倍的意義。

二、學(xué)生學(xué)情分析

為使后續(xù)教學(xué)活動(dòng)和評(píng)價(jià)的實(shí)施有效進(jìn)行，筆者對(duì)學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行了前期調(diào)查與分析。筆者隨機(jī)抽取本校的100名三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行前置測(cè)試，采用不記名、不提示的形式，要求學(xué)生在6分鐘內(nèi)完成，以了解學(xué)生對(duì)倍數(shù)關(guān)系的認(rèn)知情況。調(diào)查內(nèi)容如圖1。

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)和整理后，得到表1：

表1“倍的認(rèn)識(shí)”單元學(xué)情前測(cè)情況統(tǒng)計(jì)

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以得到，在未學(xué)習(xí)倍的知識(shí)之前， 86% 的學(xué)生用相差關(guān)系來表述兩行圓片的數(shù)量關(guān)系，其中更多的學(xué)生更傾向于用誰比誰多的方式來表述相差關(guān)系； 8% 的學(xué)生把兩行圓片的數(shù)量相加，用總數(shù)來表述； 6% 的學(xué)生用倍數(shù)關(guān)系來表述兩行圓片之間的數(shù)量關(guān)系。

從學(xué)生的前測(cè)情況可以明顯看到，學(xué)生對(duì)相差關(guān)系最熟悉，且首選用“誰比誰多”的方式來表述；少部分學(xué)生會(huì)想到總和關(guān)系，因?yàn)椤跋嗉印币彩菍W(xué)生較為熟悉和常用的計(jì)算方法；極個(gè)別學(xué)生用倍數(shù)關(guān)系來描述。經(jīng)后續(xù)訪談得知，這幾個(gè)學(xué)生有提前預(yù)習(xí)倍的知識(shí)。

可見，相差關(guān)系已經(jīng)是學(xué)生深刻的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。在第一學(xué)段中，學(xué)生接觸到的數(shù)量關(guān)系僅為相差關(guān)系和部分與整體關(guān)系，是通過構(gòu)建加減法模型來運(yùn)用的。而從“倍的認(rèn)識(shí)”這一單元開始，學(xué)生即將開啟另一種數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)。理解和構(gòu)建一個(gè)新的數(shù)量關(guān)系，對(duì)學(xué)生來說有一定的難度。而倍數(shù)關(guān)系不同于相差關(guān)系和總和關(guān)系，需要基于乘除法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。雖然，乘除法是復(fù)雜加減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，但在理解方面更具抽象性。

三、單元教學(xué)思路

經(jīng)過對(duì)教材的分析和前置測(cè)試，筆者以為，在倍概念的建立過程中，需要在具體的情境中讓學(xué)生去經(jīng)歷、感知、理解倍的形成過程。教師創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活實(shí)際的情境，開展多種操作活動(dòng)，再讓學(xué)生進(jìn)行多次表述來認(rèn)識(shí)并理解“倍”，清晰地分辨倍數(shù)關(guān)系中的三個(gè)量的意義及感知其中的數(shù)量關(guān)系。

（一）基于整體教學(xué)，劃分單元課時(shí)

基于上述分析，筆者對(duì)“倍的認(rèn)識(shí)”單元的教學(xué)內(nèi)容課時(shí)安排進(jìn)行了一些調(diào)整，具體見表2。

表2“倍的認(rèn)識(shí)”單元課時(shí)安排

其中調(diào)整后設(shè)計(jì)的第一課時(shí)與教材編排內(nèi)容基本一致，需要著重引導(dǎo)學(xué)生用“幾個(gè)幾”來表述倍數(shù)關(guān)系，以此來感知倍數(shù)關(guān)系的本質(zhì)就是“幾個(gè)幾”。第二課時(shí)為解決問題“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”，用不同方式來表征倍的數(shù)量關(guān)系。第三課時(shí)是解決問題“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”，并加入求一倍數(shù)的教學(xué)。第四課時(shí)為倍的復(fù)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生深化倍的理解，更加熟練地應(yīng)用倍的數(shù)量關(guān)系來解決問題。

（二）深化數(shù)學(xué)模型，理解數(shù)量關(guān)系

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類數(shù)學(xué)問題，而“倍”不僅是表達(dá)兩個(gè)量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，還是一個(gè)表征數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生可以借助“倍”的模型的建構(gòu)，理解其中的數(shù)量關(guān)系，正確解決倍的有關(guān)問題。

1.倍的認(rèn)識(shí)—經(jīng)歷不同數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步感知倍數(shù)關(guān)系

教材先用不同蘿卜的數(shù)量來引出倍的概念，讓學(xué)生不斷表述“幾個(gè)幾”來初步感知倍的概念，再由實(shí)物抽象到小圓片的表征，通過圈一圈的方式顯化其中的倍數(shù)關(guān)系，以幫助學(xué)生在簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)圖形表征中也能觀察到“幾個(gè)幾”，進(jìn)而表述出倍數(shù)關(guān)系、感知“倍”。學(xué)生從給出的信息中感知“倍”，再根據(jù)給出的倍數(shù)關(guān)系畫一畫“倍”，以及自主創(chuàng)造不同的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)會(huì)從不同的角度去感受“倍”和理解倍的意義。

學(xué)習(xí)任務(wù)：能夠在信息中發(fā)現(xiàn)并正確表述誰是誰的幾倍，并明確知道誰是倍數(shù)關(guān)系中的標(biāo)準(zhǔn)量、比較量。

2.解決問題1（求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍）一借助多種表征，進(jìn)階掌握數(shù)量關(guān)系

根據(jù)給出的情境，用圖示畫出其中的倍數(shù)關(guān)系，采用線段圖等多種表征方式，使信息中的倍數(shù)關(guān)系清晰地呈現(xiàn)。求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，實(shí)則就是求一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)，可以用除法來解決。教師在教學(xué)中可滲透“比較量 ÷ 標(biāo)準(zhǔn)量 Σ=Σ 倍數(shù)”的數(shù)學(xué)模型。教師再讓學(xué)生編一道“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”的應(yīng)用題，使其進(jìn)一步感知、鞏固比較量和標(biāo)準(zhǔn)量之間的關(guān)系，以及掌握“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”的求解方法。

教師再借助線段圖，讓學(xué)生尋找不同的3倍，可以有三種情況（圖2）：一是一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的3倍;二是兩數(shù)總和是一個(gè)數(shù)的3倍，為和倍關(guān)系；三是兩數(shù)之差是一個(gè)數(shù)的3倍，為差倍關(guān)系。

圖2

學(xué)習(xí)任務(wù)：能用圖示表示信息中的倍數(shù)關(guān)系，掌握“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”實(shí)則就是求一個(gè)數(shù)中有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)，用除法來解決，建立和倍、差倍關(guān)系。

3.解決問題2（求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少和求一倍）——比較分析求三個(gè)量的三類問題，深入理解數(shù)量關(guān)系

教師首先出示三個(gè)信息，讓學(xué)生自主選擇信息來提出有關(guān)倍數(shù)的問題（圖3）。

再借助線段圖知道求一個(gè)數(shù)的幾倍，其實(shí)就是求幾個(gè)這樣的數(shù)是多少，即求幾個(gè)幾是多少，用乘法，建構(gòu)“標(biāo)準(zhǔn)量 × 倍數(shù) Σ=Σ 比較量”的模型。同時(shí)，借助同一情境來探究標(biāo)準(zhǔn)量的求解，就是求一個(gè)數(shù)當(dāng)中有幾個(gè)幾，可以用除法來解決，建立模型“比較量 ÷ 倍數(shù) Σ=Σ 標(biāo)準(zhǔn)量”。

學(xué)生分析比較三個(gè)類型的倍數(shù)問題，進(jìn)一步應(yīng)用“求倍數(shù)”“求比較量”“求標(biāo)準(zhǔn)量”的方法，鞏固對(duì)“倍”的三個(gè)模型的掌握，強(qiáng)調(diào)需要明確分辨三個(gè)量，找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)量，再借助模型來求解。

學(xué)習(xí)任務(wù)：借助線段圖掌握“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”和“求一倍”的方法，在應(yīng)用中鞏固三個(gè)量的有關(guān)知識(shí)，感知三類倍數(shù)問題模型之間的聯(lián)系和不同。

4.倍的復(fù)習(xí)一分層運(yùn)用解決倍的問題，靈活運(yùn)用倍數(shù)關(guān)系

通過低起點(diǎn)進(jìn)入、高思維出來的教學(xué)路徑進(jìn)行倍的復(fù)習(xí)。教師先是組織學(xué)生涂一涂、圈一圈、填一填，然后讓學(xué)生用兩種關(guān)系描述及用兩種不同的方法列出算式，運(yùn)用多種表征加深對(duì)倍的意義的理解。學(xué)生進(jìn)行多維度的觀察，深刻理解不同量之間的關(guān)系。教師再出示三個(gè)類型的題目，讓學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)圖示編題的過程，從而深層次地理解倍的意義和量之間的關(guān)系，鞏固三個(gè)類型的倍的數(shù)學(xué)模型。

學(xué)習(xí)任務(wù)：鞏固“求倍數(shù)”“求比較量”“求標(biāo)準(zhǔn)量”的方法，深度理解“比較量 ÷ 標(biāo)準(zhǔn)量 倍數(shù)”“標(biāo)準(zhǔn)量 × 倍數(shù) Σ=Σ 比較量”“比較量 ÷ 倍數(shù) Σ=Σ 標(biāo)準(zhǔn)量\"三個(gè)模型，并能在不同情境中明確要求的量，靈活運(yùn)用倍數(shù)關(guān)系求解問題。

本文通過對(duì)教材的分析，確定“倍的認(rèn)識(shí)”單元的核心目標(biāo)，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行目標(biāo)的分解，并結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，讓學(xué)生明晰倍數(shù)關(guān)系中三個(gè)量之間的聯(lián)系，能靈活運(yùn)用三個(gè)類型的模型，從而落實(shí)模型思想這一核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“倍的認(rèn)識(shí)”單元的結(jié)構(gòu)化教學(xué)。