概周期激勵Lozi系統的奇異非混沌吸引子分析

摘要：

采用數值模擬方法，探討Lozi系統在概周期驅動下的奇異非混沌吸引子及其動力學特性。研究結果表明，隨著系統參數的變化，系統從非光滑環面逐漸演變為具有分形結構的奇異非混沌吸引子，通過計算最大李雅普諾夫指數和相敏感指數得以驗證其存在；結合功率譜、局部李雅普諾夫指數分布和遞歸圖等方法，詳細分析了奇異非混沌吸引子的特性；利用斐波那契數列的有理近似揭示了其形成過程。

關鍵詞：

奇異非混沌吸引子；功率譜；有理近似

中圖分類號：O415.6

文獻標志碼：A

奇異非混沌吸引子（Strange Nonchaotic Attractors， SNA）[1]是一種特殊的動力學吸引子，具有非混沌性質，但與傳統的穩定吸引子略有不同。奇異是指狀態變量構成一些分形依賴于相位變量的變化，非混沌意味著系統對初始條件的變化不敏感。定量來講，系統的最大李雅普諾夫（Lyapunov）指數小于零。SNA已經成為國內外非線性動力學領域一個備受關注的焦點，在理論、實驗兩方面均取得許多顯著的突破和成果。SNA的產生機制相對復雜，例如I型間歇路徑[2]、III型間歇路徑[3]、非光滑分岔路徑[4]、Wada域上的SNA以及多個吸引子組成的多穩態[5]等。近年來，一些學者開始研究各種系統中的SNA，通過理論和數學仿真實驗研究了非光滑系統、概周期驅動分段光滑系統、概周期驅動Ricker族（種群模型）、振動碰撞系統、周期驅動分段線性系統等的奇異非混沌吸引子及其產生機理[610]，具有Farey Tree性質的分段光滑系統以及泊塔模型中存在SNA，后者由于皺褶環面的分形特性出現了SNA[1112]。也有研究探討了SNA的產生途徑，發現產生SNA的新途徑為邊界碰撞分岔，并且SNA的有限時間Lyapunov指數分布具有新的特點[13]。在Farey Tree特性的系統中，由于Farey Tree分岔，不同的環面通過一系列非光滑鞍結分岔轉化為間歇SNA[14]。最近研究表明，多個吸引子出現在概周期激勵Lozi系統，并從吸引域的角度對其進行分析[15]。與以往局限于整數階系統的研究不同，SNA同樣存在于分數階系統中[16]，這一發現首次將SNA的研究范疇拓展至分數階領域，為非線性動力學研究開辟了新的方向。目前對非光滑系統中的奇異非混沌行為研究較為有限，仍需要研究其他類型的非光滑系統中是否存在SNA；盡管關于Lozi系統的動力學行為的相關研究較多，但概周期激勵作用下的奇異非混沌行為的相關研究仍然較少。因此，本文在概周期激勵Lozi系統中，應用數值實驗的方法探討SNA及其動力學特性。

青島大學學報（自然科學版）第38卷

第2期"" 國紅冉等：概周期激勵Lozi系統的奇異非混沌吸引子分析

1 系統模型

Lozi系統[17]的迭代方程為

xn+1=fxn，yn=1+yn-axnyn+1=gxn，yn=bxn（1）

其中，a和b是實的非零參數，xn和yn分別表示系統在時間步n時的狀態變量，xn+1和yn+1分別表示系統在時間步n+1時的狀態變量。

將概周期激勵加入Lozi系統的參數a中，系統1變為

xn+1=fxn，yn，θn=1+yn-α+βcos2πθnxn，xn≥01+yn+α+βcos2πθnxn，xnlt;0yn+1=gxn，yn，θn=bxnθn+1=θn+ω）（mod 1）（2）

其中，α是系統的控制參數，β是概周期激勵的振幅，θn是系統在時間步n時的相位，ω是系統頻率，通常取ω= 5-1/2，mod是求余函數。

為了驗證系統2中的SNA，使用兩種指標：最大Lyapunov指數和相敏感指數，SNA最大Lyapunov指數小于零和相敏感指數大于零。對于系統2，在x軸方向上的Lyapunov指數為

λx=limn→SymboleB@1n∑n-1k=0lnfxk，yk，θkxk（3）

當Lyapunov指數λx小于零時，意味著當初始值發生微小改變時，系統對此變化不敏感，最終趨于穩定狀態，吸引子非混沌，而當λx大于零時，為混沌吸引子。

相敏感指數可以通過相敏感函數Γn得到。對于SNA，通常有Γn～nμ，μ稱為相敏感指數。對于光滑環面，Γn不增長并且μ=0。相敏感函數為

Γnα，β=minx0，y0，θ0max0≤k≤nxkθ（4）

xkθ=-α+βcos2πθk-1xk-1θ+yk-1θ+2πβsin2πθk-1xk-1，xk-1≥0α+βcos2πθk-1xk-1θ+yk-1θ-2πβsin2πθk-1xk-1，xk-1lt;0ykθ=bxk-1θ（5）

其中，x0，y0為系統狀態變量的初始值，θ0為系統的初始相位。

2 系統的奇異非混沌吸引子

圖1、圖2為系統不同參數下的相軌跡圖，圖3、圖4為系統不同參數下的最大Lyapunov指數圖。通過改變參數α的值來形成SNA，其中固定參數b=01，概周期激勵的振幅β=1。當α=1172 4，圖1（a）顯示的系統相圖為非光滑環面。隨著α增加到1262 8，非光滑環面表現出分形結構，并出現了一些不連續點，如圖1（b）所示。當α增加到1274 6，λx經計算約為0015 9（混沌），如圖3（b）所示，此時吸引子轉變為混沌吸引子，如圖1（c）所示。

圖1 （θ，x）平面內的相圖，β=1，b=01

（a）α=1172 4，非光滑環面；（b）α=1262 8，奇異非混沌吸引子；（c）α=1274 6，混沌吸引子

為驗證圖1（b）中的吸引子是否為SNA，分析相敏感指數，并計算最大Lyapunov指數（圖3，圖4）。在SNA的情況下，相敏感函數Γn～nμ，意味著n足夠大時，Γn的增長趨勢類似于nμ的增長趨勢。觀察相敏

圖2 （θ，x）平面內的相圖，β=05，b=01

（a）α=095，光滑環面；（b）α=0974，非光滑環面；（c）α=0995，奇異非混沌吸引子；（d）α=103，混沌吸引子

感函數的增長趨勢是否符合冪律關系，當α=1262 8時，Γn隨著μ≈0602 1（奇異）的冪律關系無限增長（圖4（a）），之后計算最大Lyapunov指數λx≈-0001 5（非混沌）（圖3（a））。因此，確認在該參數下這是一個SNA。

分析本文的第二個SNA，固定參數b=01，概周期激勵的振幅β=05。當α=095，圖2（a）顯示了系統的相圖為光滑環面。隨著α增加到0974，系統從光滑環面轉變為非光滑環面，如圖2（b）所示。當α增加到0995，非光滑環面表現出分形結構，并出現了一些不連續點。最大Lyapunov指數經計算約為-0002 3（非混沌），如圖3（c）所示。繼續增大α的值為103，最大Lyapunov指數經計算約為0017 1（混沌），系統此時由非混沌吸引子轉變為混沌吸引子，如圖2（d）所示。

圖3 最大Lyapunov指數

（a）奇異非混沌吸引子，α=1262 8，β=1；（b）混沌吸引子，α=1274 6，β=1；

（c）奇異非混沌吸引子，α=0995，β=05；（d）混沌吸引子，α=103，β=05

在圖2（c）所示參數下，已確認吸引子為非混沌吸引子。為驗證該吸引子的奇異特性，分析相敏感指數。對于SNA而言，滿足Γn～nμ，即當n足夠大時，Γn的增長趨勢接近于nμ的冪律關系。通過觀察Γn的增長趨勢，發現當α=0995，β=05時，Γn以冪指數μ≈0331 9（奇異）的關系無限增長，表明其增長趨勢符合冪律關系（圖4（b）），由此確認在此參數條件下吸引子為SNA。

3 奇異非混沌吸引子特性分析

3.1 功率譜

使用功率譜分析SNA，功率譜呈現出奇異連續的譜線，表現在不同的頻率區間內具有相似的譜線結構，而不像周期吸引子那樣具有清晰的基頻和諧波結構，表明系統振動具有連續的頻率分布和尺度不變性。由傅里葉變換

Xωp，T=∑Tn=1xnei2πnωp（6）

得到功率譜

Pωp=limT→SymboleB@1TXωp，T2（7）

其中，Xωp，T是傅里葉級數，·是模運算，ωp是功率譜頻率。圖5（a）為參數α=1262 8，β=1時SNA的功率譜，圖5（b）為參數α=0995，β=05時SNA的功率譜，可知功率譜在不同頻率范圍內具有相似的譜線結構，即奇異連續性。圖5（c）為參數α=11724，β=1時非光滑環面的功率譜，具有一定的分形特性。相比之下，圖5（d）為參數α=095，β=05時光滑環面的功率譜，未表現出分形特性。

3.2 局部Lyapunov指數分布

局部Lyapunov指數分布Pt，λ描述了在系統中觀察到的Lyapunov指數在有限時間范圍內的分布情況。在有限時間間隔內，SNA通常具有正的Lyapunov指數，盡管漸進指數為負[18]。不妨取t=50，計算分布Pt，λ。當α=1262 8，β=1時，如圖6（a）所示，分布會出現一條延伸到局部Lyapunov指數λgt;0的尾部，當α=0995，β=05時，分布中的尾部幅度較小，影響范圍有限（圖6（b））。

3.3 遞歸圖

遞歸圖展示了系統狀態在時間上的重現情況，通過觀察遞歸矩陣中的不同結構來區分系統底層軌跡的各種狀態。圖7（a）和（b）呈現出一種連續而均勻的結構，沒有出現任何中斷。相反，在SNA的條件下，遞歸圖中出現了中斷，形成了一些短線段，表明系統潛在過程復雜，如圖7（c）和（d）所示。

3.4 有理近似

概周期激勵Lozi系統的頻率ω為黃金分割的倒數，根據Fibonacci數列的性質對ω進行有理近似，ωk=Fk/Fk+1，其中，Fk=1，1，2，3，5，8，13，21，…，遞推關系：Fk= Fk-1+Fk-2。使用有理近似方法分析SNA第25次近似ω25=75 025/121 393時，有理近似圖與相圖非常相似（圖8（a）與圖1（b）、圖8（b）與圖2（c））。因此，隨著k→+SymboleB@，可以近似生成在概周期激勵下的Lozi統中的SNA。

4 結論

本文利用數值實驗證實了在一定參數下概周期激勵Lozi系統中存在SNA，通過最大Lyapunov指數和相敏感指數，確認了吸引子的奇異非混沌性質。功率譜的奇異連續性、局部Lyapunov指數的分布以及遞歸圖中的復雜動態行為揭示了該系統的復雜性和奇異特征，斐波那契數列的有理近似證實了SNA的形成機制。未來的研究可以擴展至更廣泛的參數空間，以進一步探索SNA的生成機制及其潛在應用。

參考文獻

[1]GREBOGI C， OTT E， PRLIKAN S， et al. Strange attractors that are not chaotic[J]. Physica D： Nonlinear Phenomena， 1984， 13（12）： 261268.

[2]PRASAD A， MEHRA V， RAMASWAMY R. Intermittency route to strange nonchaotic attractors[J]. Physical Review Letters， 1997， 79（21）： 41274130.

[3]VENKATESAN A， MURALI K， LAKSHMANAN M. Birth of strange nonchaotic attractors through type III intermittency[J]. Physics Letters A， 1999， 259（34）： 246253.

[4]WEN G L， YIN S， XU H D， et al. Analysis of grazing bifurcation from periodic motion to quasiperiodic motion in impactdamper systems[J]. Chaos Solitons amp; Fractals， 2016， 83： 112118.

[5]ZHANG Y X. Strange nonchaotic attractors with Wada basins[J]. Physica D： Nonlinear Phenomena， 2013， 259： 2636.

[6]LI G L， YUE Y， XIE J H， et al. Strange nonchaotic attractors in a nonsmooth dynamical system[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2019， 78： 104858.

[7]LI G L， YUE Y， XIE J H， et al. Multistability in a quasiperiodically forced piecewise smooth dynamical system[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2020， 84： 105165.

[8]LI G L， YUE Y， LI D H， et al. The existence of strange nonchaotic attractors in the quasiperiodically forced ricker family[J]. Chaos： An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science， 2020， 30（5）： 053124.

[9]LI G L， YUE Y， GREBOGI C， et al. Strange nonchaotic attractors and multistability in a twodegreeoffreedom quasiperiodically forced vibroimpact system[J]. Fractals， 2021， 29（4）： 2150103.

[10] LI G L， YUE Y， GREBOGI C， et al. Strange nonchaotic attractors in a periodically forced piecewise linear system with noise[J]. Fractals， 2022， 30（1）： 2250003.

[11] SHEN Y Z， ZHANG Y X. Strange nonchaotic attractors in a quasiperiodicallyforced piecewise smooth system with farey tree[J]. Fractals， 2019， 27（7）： 1950118.

[12] SHEN Y Z， ZHANG Y X， XU H D. Strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced articulated mooring tower model[J]. Fractals， 2021， 29（8）： 2150265.

[13] ZHAO Y F， ZHANG Y X. Bordercollision bifurcation route to strange nonchaotic attractors in the piecewise linear normal form map[J]. Chaos， Solitons amp; Fractals， 2023， 171： 113491.

[14] ZHAO Y F， ZHANG Y X， DU C B. Coexistence of attractors in a quasiperiodically forced Lozi map[J]. Chaos， Solitons amp; Fractals， 2024， 187： 115381.

[15] ZHAO Y F， ZHANG Y X. Multiple tori intermittency routes to strange nonchaotic attractors in a quasiperiodicallyforced piecewise smooth system[J]. Nonlinear Dynamics， 2024， 112（8）： 63296338.

[16] SUBRAMANIAN R K， AHAMED M W， PALLAVI V， et al. Birth of strange nonchaotic attractors in fractionalorder systems[J]. Journal of Nonlinear Mathematical Physics， 2024， 31（1）： 66.

[17] BOTELLASOLER V， CASTELO J M， OTEO J A， et al. Bifurcations in the Lozi map[J]. Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical， 2011， 44（30）： 305101.

[18] VENKATESAN A， LAKSHMANAN M. Interruption of torus doubling bifurcation and genesis of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced map： Mechanisms and their characterizations[J]. Physical Review E， 2001， 63（2）： 026219.