基于頻域誤差分析的寬帶校正均衡器設計方法

中圖分類號：TN958.92 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2025）16-0019-05

Abstract： Channel amplitude and phase eror correction ensures the high-precision beamforming and signal processing of PhasedArrayRadar （PAR）systems，significantlyimprovingradar performance.Channelamplitudeandphaseerorcorrection is achieved through equalizers.Thecore issueof errorcoectionishow todesign theequalizer effcientlyandaccurately.To addressthe problemof determining theorderof the equalizer，this paper proposes asimple frequency-domainequalizererror evaluationmethodByestimatingtheerrorbetweena givenequalizerandtheideal equalizer，the methodquicklyapproximates thecorrectionerrorsforequalizersofdiferentorders，allowingfortheevaluationoftheirperformance.Basedontherequired corrctin eror，the appropriate equalizer ordercanbe selected.Furthermore，this paper presents anequalizer design method basedon frequency-domain error minimizationcriteria，which isusedtodesigntheresponseofanequalizer withagivenlength. Simulation experiments show thatthe proposed equalizer design methodcan eficiently determinethe equalizer order and outperforms traditional frequency-domain design methods.

Keywords：channel amplitude and phase error; multi-channel correction; equalizer; Phased Array Radar （PAR）

0 引言

相控陣雷達作為一種先進的雷達體制，在預警探測、目標識別等領域應用廣泛[。傳統機械掃描雷達信號的發射和接收通常依賴機械旋轉來實現對目標的探測，這種方式雖然簡單，但存在靈活性不足、機動性弱、反應遲緩等缺點，相比之下，相控陣雷達則采用了先進的電子掃描技術，能夠直接控制電磁波的照射方位，其反應速度和靈活性均優于傳統雷達，所以相控陣雷達較傳統機械掃描雷達有著不可比擬的優越性[2]。

相控陣雷達具備先進的技術性能[3]，雷達通道幅相誤差校正是保障雷達系統性能的核心環節。通道間幅相不一致性主要由器件公差、環境溫漂、饋電網絡損耗以及硬件老化等因素引起，其中，相控陣系統中硬件導致的通道幅相誤差校準與校正，是過去數十年研究的核心課題之一[4]。通道間幅相不一致導致波束形成時主瓣畸變、副瓣電平抬升、指向偏移等問題[5]。當相控陣雷達通道幅相誤差不一致時，波束合成增益顯著下降，甚至出現多峰現象，嚴重影響目標檢測與跟蹤精度[；寬帶系統中通道頻率響應失配會加劇旁瓣惡化，降低分辨能力[。此外，強調數字相控陣的多通道協同特性對幅相一致性提出了更高的要求[]。因此，通過高效校準抑制幅相誤差不一致已成為提升雷達探測性能、保障波束賦形精度的關鍵技術需求。

通道幅相誤差不一致校正過程包括兩個部分，首先要確定濾波器階數。雖然均衡器的性能隨著階數增加而變好，理論上實現無誤差校正需要無限階數的均衡器，但校正精度也與均衡器權值的選取有關，階數越大，調節誤差積累起來反而會影響校正精度[。為此，本文提出了一種新的方法，用于評估不同均衡器長度的性能，并選擇合適的均衡器階數。

另一方面，在選定均衡器階數的情況下，如何設計均衡器響應也是至關重要的問題。傳統的頻域校正方法，時域校正方法和快速傅里葉變換（FastFourierTransform）校正方法都只是逼近理想濾波器，但是逼近理想濾波器不代表校正的效果好。本文以誤差校正后的效果為優化目標，給出了階數確定的均衡器響應設計方法。

本文第1章為雷達通道幅相誤差綜述，第2章對通道幅相誤差進行建模，第3章內容是基于頻域逼近的均衡器長度分析方法，第4章為期望均衡器的設計方法，第5章是實驗與仿真結果，第6章給出結論。

1雷達通道幅相誤差綜述

雷達技術廣泛應用于氣象預警、航空航天、電子對抗及交通運輸等領域[]，針對相控陣雷達通道幅相誤差校正問題，學術界已發展出時域、頻域兩大類均衡算法，其核心在于通過不同維度的信號處理實現誤差補償。近年來，隨著雷達系統復雜度的提升，相關研究呈現出模型精細化與算法智能化的發展趨勢。

時域校正通過直接分析信號波形特征實現誤差補償。吳莉莉等人[]文獻提出基于變步長LMS（LeastMeanSquares）算法的自適應通道均衡技術，通過FPGA實現，可在寬頻帶內校正通道幅相失配，提升抗干擾性能。優點為采用變步長策略兼顧收斂速度與精度，FPGA方案計算高效，缺點是未考慮動態環境下的實時更新能力；彭小亮等人[12]針對自適應旁瓣相消系統中饋線與接收機相位失配問題，提出參考通道修正法和整體失配修正法，可同時校正兩者幅相誤差，提升干擾對消性能。優點是通過理論修正解決了饋線相位失配難題，缺點是依賴饋線相位精確測量，且實際應用中硬件差異較大時可能影響均衡精度。

頻域校正針對寬帶系統通道頻率響應失配問題，通過頻域均衡提升帶內一致性。張小龍等人[13]構建了結合剩余失配特性、脈壓及波束形成方向圖的綜合評價體系，可更加全面地評價均衡效果，還提出矩形窗加權均衡算法，仿真和實測數據說明了該算法對均衡效果有提升。陳剛等人[14]針對寬帶數字陣列雷達的通道失配問題，提出一種參考通道幅度響應加權的頻域均衡算法，通過加權最小二乘擬合優化均衡濾波器設計。仿真表明，相比傳統算法，該方法顯著提升了幅相一致性，逼近理想均衡效果，并降低了帶外誤差影響。但未考慮實際參考通道的非理想特性，且加權矩陣設計依賴先驗信息，可能影響復雜場景下的魯棒性。

FFT校正技術通過快速頻譜分析優化校準效率。Tang等人[15]提出基于多探頭FFT聯合測量的快速校準框架，通過構造低條件數系數矩陣降低噪聲敏感度，在信噪比高于 18dB 時可將幅相誤差分別控制在0.5dB 與 20^° 以內。FFT方法兼顧計算效率與校準精度，但需解決頻譜泄漏與柵欄效應帶來的誤差。

上述方法雖取得顯著進展，但仍存在兩個共性瓶頸：其一，均衡器階數選擇多依賴經驗準則，缺乏與誤差譜特征的定量關聯；其二，傳統頻域逼近準則與最終校正效果存在目標函數失配。

傳統的頻域校正方法主要通過分析不同通道的頻譜特性來進行校正，在低信噪比情況下，頻域校正方法容易受到噪聲的干擾，難以準確提取信號的真實誤差，而且計算量較大。本文在頻域分析要設計的均衡器對理想均衡器的逼近程度，可以得到不同均衡器長度的殘留誤差與均衡器階數的關系，將此關系作為均衡器校正結果的評價指標，從而選取合適的均衡器階數；在此基礎上，即選定了均衡器階數后，以校正后誤差最小化為目標進行優化，獲得最好性能。

2通道幅相誤差信號模型

設共有 N 個接收通道，用于校正的信號輸入的持續時間為 T ，帶寬為 B 。以參考通道（下標0）和第 i 個接收通道（下標i）為例進行分析，如圖1所示。

圖1校正原理示意圖

由圖1可知，信號通過待校正通道與參考通道后的頻譜分別為 C_i（ω） 、 C₀（ω） 。需要設計具有頻域響應H_i（ω） 的均衡器，使之盡量讓失配通道校正后的信號頻譜 C_i（ω） 與參考通道相同 C₀（ω） ，即：

由于發射信號的時寬 T 限制了頻率分辨率為 1/T 所以只需要根據帶寬 B 內的 BT 個間隔 1/T 的離散頻點來計算期望均衡器頻率響應。離散化后的期望均衡

器響應可以表示為：

如果不約束均衡器的長度，那么對瀕域期望均衡器 H_i=[H_i（0），H_i（1），…，H_i（BT-1）]^H 做傅里葉反變換可得長度為 BT 時域期望均衡器響應 h_i 。它的性能在使用持續時間為 T 的參考信號時是最優的，可將待校正通道完美地校正得和參考通道相同。然而，現實中雷達使用具有較大時寬帶寬積 BT 的信號，而用于校正的硬件資源有限，無法提供 BT 長度的均衡器。縮短均衡器長度必將導致校正性能下降，增加校正后通道響應和參考通道的差距，即增大校正剩余誤差。如何權衡均衡器長度和校正性能，在給定期望的校正剩余誤差前提下設計最優的濾波器，是亟須解決的問題。

3基于頻域逼近的均衡器長度分析方法

為了選擇合適的均衡器長度，首先必須評估不同長度均衡器的性能。但如果為每種不同的長度都設計相應的濾波器，計算過程將非常煩瑣。本節意在尋求一種簡單的均衡器性能的評估方法，以便在具體地設計均衡器響應之前確定均衡器長度。

首先，以理想均衡器 h_i 為參考，欲使減小長度后的期望均衡器 的校正誤差盡量小，最簡單的方法就是讓 的頻譜 盡可能地逼近式（2）中理想均衡器的頻譜 H_i° 定義 與 H_i 逼近程度為頻譜中 BT 個頻點之差的平方和：

其中 分別為 h_i 和 的第 l 個元素。由于傅里葉變換是線性的，因此二者頻譜之差的平方和，亦即能量，等于二者在時域之差的平方和。公式中對于長度不足 BT 的 ，當 l 大于 的長度時，令 以保證式中求和項數量相同。

從式中可見，若想要誤差最小，應當保證 中所有非零元素與 h_i 相同。也就是說，長度小于 BT 的均衡器若要盡可能地逼近理想均衡器，則其時域響應 應該被設計為理想均衡器 h_i 的前 L 個元素，即：

其中 L 為第 i 個通道的實際均衡器長度，相當于截取了理想均衡器的前 L 部分。

更重要的一點是，根據上式中的逼近程度定義和基于截斷理想濾波器的設計準則，定義為頻譜上的BT 個頻點之差的平方和就是理想濾波器的后 BT-L

個元素的平方和：

即 的后 BT-L 個元素占的能量。也就是說，通過截斷理想均衡器的準則來設計均衡器時，被截掉的部分就是校正后的殘余誤差。雖然逼近方法是在頻域上設計的，校正誤差也由頻域上的各頻點誤差確定，但式（4）成功地將頻域問題的計算轉化到了時域，而且避免了反復計算的問題：如果在頻域計算，那么針對每個不同的 L_i 取值，都需要求其對應的 并分別計算其傅里葉變換 ；而使用本章所提出的方法，只需要通過校正通道計算一次理想均衡器，再截取其不同長度計算殘余誤差，可以迅速地評估不同長度均衡器的性能。

對于多通道幅相誤差不一致校正，應選定使大部分通道誤差足夠小的均衡器長度 L 。統計所有 N 個通道在不同均衡器長度 L 下的誤差 ，給出評價指標：

根據事先給出的誤差上限 P ，選擇令 的最小的 L 為均衡器長度。

4基于頻域誤差最小化的均衡器設計

第三節在設計均衡器性能評估方法的同時，也給出了一種均衡器設計方法，即截取理想均衡器。但這種以盡可能逼近理想均衡器為目的的設計方法并非最優，因為與理想均衡器的逼近程度和均衡器的性能并沒有直接關系。針對這一問題，本節提出了一種基于直接對校正誤差最小化的均衡器設計準則，以實現更高的校正精度。

仍然從頻域入手，取通道響應與參考通道響應在BT個頻點的差的均方根來表示該通道的失配程度，并選擇令誤差最小的均衡器頻譜 對應的響應 為設計結果：

其中第二個等號是將求和形式重寫為矩陣形式。為取向量所有元素絕對值的平方和。其中 F 為一個 BT×L 的矩陣，用于對 做傅里葉變換，計算其頻譜中的 BT 個頻點：

其中 C_i 為以待校正通道信號頻譜為對角元素的對角陣，其表達式為：

其中 為均衡器的頻域響應：

C₀ 為以參考通道信號頻譜中 BT 個頻點，其表達式為：

綜上，根據最小二乘原理[]，可得：

也就是說，選定均衡器長度后，根據校正信號經過通道的 i 后的頻譜 C_i 和經過參考通道后的頻譜C₀ ，可以直接計算出均衡器響應

5 仿真結果

5.1不同長度均衡器的逼近誤差

仿真在給定通道失配和信噪比情況下，采用多種方法設計的不同長度均衡器的性能。除了所提出的方法外，來自其他研究的FFT校正、時域校正被用于對比[17]。

仿真使用的校正信號是帶寬 B=10MHz ， T=10μs 的線性調頻信號。參考通道的幅頻響應為1，而待校正通道的幅頻響應由帶寬內的 BT 個頻點確定，各頻點有以方差為0.5的高斯分布的擾動，且BT個頻點的擾動獨立。進行1000次蒙特卡洛仿真，每次隨機產生不同的幅度相位擾動，并每次在待校正通道的輸出信號上添加信噪比為 30dB 的高斯白噪聲。校正后誤差被定義為校正后該通道的 BT 個頻點與參考通道幅頻響應之差的均方根。

的校正誤差仿真結果。圖中還畫出了根據第三章所提出方法計算的不同長度均衡器對理想均衡器的逼近誤差。結果表明，所提出的方法優于其他兩種傳統方法。在任意長度的均衡器條件下，所提出方法校正的殘余誤差都是最小的。另一方面，根據第三章計算的逼近誤差在變化趨勢上和校正誤差非常接近，可以較好地反映校正誤差隨著均衡器長度的變化趨勢，可用于參考選擇均衡器長度。

5.2不同信噪比下均衡器的校正誤差

仿真了不同信噪比下所提出方法和傳統FFT校正的誤差。仿真使用的校正信號和上一節的仿真相同，同樣進行1000次蒙特卡洛仿真。本次仿真固定均衡器長度為30，并向待校正通道的輸出信號添加不同幅度的噪聲。

圖3中的仿真結果表明，和仿真1一樣，所提出的方法的誤差始終小于其他方法，在所有相同長度的均衡器中具有最優性能。值得注意的是，本方法在低信噪比性能更好，而傳統方法的誤差隨著信噪比降低迅速升高。這是因為本方法以最終校正誤差最小為目標設計均衡器，相當于考慮了噪聲、濾波器長度等所有因素對性能的影響。反之，FFT校正本質上也是對理想濾波器的逼近，只關心對理想均衡器的逼近程度而不考慮信號中可能包含的噪聲，因此在低信噪比時效果不佳。

圖3不同信噪比下三種設計方法的校正后誤差

6結論

本文提出了一種基于頻域誤差分析的均衡器設計方法，可用于校正雷達等設備的多通道射頻系統。所提出的方法主要由兩部分組成：首先基于逼近理想均衡器的頻譜，提出了一種不同長度均衡器性能的快速評估方法，可用于在設計均衡器之前選定均衡器長度。然后，本文基于校正后誤差最小化準則提出了一種均衡器設計方法，可以獲得給定長度下令校正后誤差最小的均衡器。實驗證明，本文所提出的方法可以有效校正失配通道，且校正性能優于傳統方法。

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作者簡介：李逸杰（1999.11—），男，漢族，內蒙

古巴彥淖爾人，碩士在讀，研究方向：機載相控陣雷達。

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