回歸教材，注重聯系，考查思維

1學業要求

教材是知識外顯的重要載體，也是實現數學課程目標、發展核心素養的重要教學資源.數學教材為“教\"與“學\"活動提供了學習主題、基本線索和具體學習內容.人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第二冊安排的學習內容為函數，包含“數列”和“一元函數的導數及其應用”兩章.數列作為一類特殊的函數，是數學重要的研究對象，也是研究其他類型函數的重要工具，在購房貸款、放射性物質衰變、人口增長等實際場景中有著廣泛的應用，

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）明確要求，幫助學生通過對日常生活中實際問題的分析，了解數列的概念；探索并掌握等差數列和等比數列的變化規律，建立通項公式和前 n 項和公式；能運用等差數列、等比數列解決簡單的實際問題和數學問題，感受數學模型的現實意義與應用；了解等差數列與一元一次函數、等比數列與指數函數的聯系，感受數列與函數的共性與差異，體會數學的整體性.

2高考試題的命題分析

2025年高考數學試卷整體設計層次分明，聚焦基本概念、公式、定理，檢測學業自標的達成程度；立足教材例題進行整合、改編與延伸，深化對基礎知識的考查，拓展思維的深度與廣度.與往年高考相比，試題的綜合性、開放性、靈活性顯著增強；創新設問方式，強化試題的探究性，激勵學生運用創造性思維、發散性思維多角度解決問題；摒棄細分試題類型，反對機械的解題套路，激發學生自主思考、主動探究，引導復習備考從關注知識轉向關注學生，既體現高考的育人功能，又發揮高考數學的選拔功能.下面分析2023—2025年數學新高考I卷、新高考Ⅱ卷、北京卷、天津卷數列試題考點，如表1所示.

表1

2.1聚焦基本變量，檢驗學科基礎

等差數列與等比數列的五個基本量 a₁ d （或 q ）， 是構建兩類數列模型的核心要素.在等差數列中，公差 d 決定了數列的單調性（ ，數列單調遞增； dlt;0 ，數列單調遞減； d=0，{a_n} 為常數列）；在等比數列中，公比 q 決定了數列的變化特性（如增減性、收斂性）.已知三個基本量，可利用通項公式與前 n 項和公式求解其余兩個量.對基本量的深入研究和分析是探究數列周期性、最值等性質的基礎，

例1 （2025年北京卷5）已知 {a_n} 是公差不為0的等差數列， a₁=-2 ，若 a₃，a₄，a₆ 成等比數列，則 ：

A. -20 B. ^-18 C.16 D. 18

0 解析

設等差數列 {a_n} 的公差為 d ，則

由 a₃，a₄，a₆ 成等比數列可知 a_?4^?2=a_?3a_?6 ，即

（-2+3d）²=（-2+2d）（-2+5d），

解得 d=0 或2.因為 d≠0 ，所以 d=2 ，則 a₁₀=a₁+ 9d=-2+9×2=16 ，故選C.

利用基本量 a_i，d，q，n 建立方程或方程組聯立求解是解決問題的基本思想方法.

例2（2025年新高考Ⅱ卷9，多選題）記 S_n 為等比數列 {a_n} 的前 n 項和， q 為 {a_n} 的公比， qgt;0. 若S₃=7，a₃=1 ，則（ ）.

C .S₅=8D.a_n+S_n=8

對于A，由于 S₃=a₁+a₂+a₃=a₁（1+q+ q²）=7，a₃=a₁q²=1 ，則 解得 （舍）或 ，故A正確.

對于B，由 ，解得 a₁=4 ，則 故B錯誤.

對于C，因為 ，a=4，所以

故C錯誤.

對于D，由于

則 a_n+S_n=8 ，故D正確.

綜上，選AD.

本題改編自人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第二冊第37頁練習第1題，要求學生結合題意建立方程組，并運用消元思想求解首項和公比.解答與等差數列有關的方程組，通常采用加減消元法；解答與等比數列有關的方程組，通常采用乘除消元法，同時要注意防止出現增解和漏解的情況.

2.2立足教材題源，考查發散思維

題源是指試題與教材的本源關聯.習題作為教材的重要組成部分，是課堂教學內容的鞏固與深化，具有一定的應用性、開放性和探究性，它的價值是助力學生理解知識本質與結構聯系，夯實基礎知識與熟練基本技能；引導學生感悟數學思想方法，在探究中積累數學學習的活動經驗；提升學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.因此，教材例題成為高考命題的重要素材庫.

例3（2025年新高考 I 卷7）記 S_n 為等差數列{a_n} 的前 n 項和，若 S₃=6，S₅=-5 ，則 ：

A. -20 B.-15 C.-10 D.-5

方法1 設等差數列 {a_n} 的公差為 d ，則 解得 則 S₆= （204 ，故選B.

方法2由 ，解得 a₂= 2.由 ，得 a₃=-1 ，則 d= （204號 a₃-a₂=- 3 ， a₄=a₃+d=-4 ，所以 S₆= ，故選B.

方法3因為 {a_n} 為等差數列，設 S_n=An²+Bn （A，B 為常數），所以 S₃=9A+3B=6 S₅=25A+

5B=-5 ，解得 則 2，所以S ，故選B.

方法4因為 {a_n} 為等差數列，所以 為等差數列.如圖1所示，在平面直角坐標系中，設 A（3 ，則 A，B，C 三點共線， k_AB= S5 S3 S6 S3（20 k_AC ，即 解得 S₆=-15 ，故選B.

圖1

本題改編自人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第二冊第23頁練習第3題，從多種解題視角切入，通過靈活運用等差數列的性質、前 n 項和公式的不同形式及其性質進行求解與探究，深入考查學生對等差數列的性質、前 n 項和公式及其性質的深層理解與應用.

例4 （2025年新高考I卷13）若一個正項等比數列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數列的公比為

設該等比數列的公比為 q

方法1當 q=1 時， S₄=4a₁=4 ，解得 a₁= 1，此時 S₈=8a₁=8 ，與 S₈=68 矛盾，故不成立.當 故 ，解得 q=2

方法2 由題意可知 S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈ 為等比數列，故 ，解得 q=2

方法3當 q=1 時， S₄=4a₁=4 ，解得 a₁=1 ，此時 S₈=8a₁=8 ，與 S₈=68 矛盾，故不成立.

當 q≠1 時，設 S_n=kqⁿ-k ，則 S₄=kq⁴-k ，S₈=kq⁸-k ，故 ，解得 q=2

本題改編自人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第二冊第37頁練習第5題，體現了等比數列前 n 項和公式的常用性質在解題中的應用.方法1要求準確記憶公式、精確計算，同時注重分類討論 q=1，q≠1 的情況，確保嚴謹性；方法2和方法3則考查學生對等比數列前 n 項和公式、性質的靈活運用能力，凸顯對基礎知識綜合運用能力的考查.

2.3強化知識整合，突顯知識價值

由表1可見，隨著高考改革的深入推進，新高考卷打破了固定的考查內容與形式，更加注重綜合運用知識解決問題，如2025年數學新高考Ⅰ卷第16題將數列與導數相結合，新高考Ⅱ卷第19題將二項分布與數列相結合，天津卷第19題則綜合考查集合與數列.因此，在復習備考中學生應將數學知識融會貫通，提升不同模塊知識的整合應用能力，深刻理解基礎知識的本質與應用場景，避免知識的“負遷移”.

例5 （2025年新高考Ⅰ卷16）已知數列 {a_n} 中，

（1）證明：數列 {na_n} 為等差數列；

（2）給定正整數 Ψ_m ，設函數 f（x）=a₁x+a₂x²+ a₃x³+…+a_mx^m ，求 f^′（-2）

（1）由題意可知 （n+1）a_n+1=na_n+1 ，則（n+1）a_n+1-na_n=1. 又 a₁=3 ，所以 {na_n} 首項為3、公差為1的等差數列.

（2）方法1由（1）知 na_n=3+1×（n-1）=n+ 2.由 f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nx^m ，可知！ '（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+ma_mx^m-1 ，所以 f^′（-2）=3+4×（-2）+5×（-2）²+…+（m+ 2）×（-2）^m-1 .記 S=f^′（-2） ，則

所以

解得 ，即

方法2 由題意可知

f^′（x）=3+4x+5x²+…+（m+2）x^m-1= 1+2x+…+mx^m-1+2×（1+x+…+x^m-1）.

記 A（x）=x+x²+…+x^m ，其中 _xgt;0 且 x≠1 易知

本題在數列與導數知識的交會處命制數列求和問題，突出內容的整體性、邏輯的連貫性及知識的應用價值.試題考查了等差數列的定義、錯位相減法及導數的四則運算，要求學生具備知識遷移、整合及運算求解能力.

2.4創設新穎情境，強調探究精神

情境包括現實情境、數學情境、科學情境，每一種情境又可分為熟悉情境、關聯情境、綜合情境.新高考命題通過創新情境設計與內容設計，統籌協調試題的思維量、計算量與閱讀量，著力避免繁雜計算，確保學生有充足時間深入思考壓軸題.試題重點考查學生的學科素養，強調學生主動思考、勇于挑戰自我，突出理性思維與探究精神，引導教學從總結解題技巧轉向培養學生的創新思維.

例6（2025年新高考 I 卷19）甲、乙兩人進行乒乓球練習，每個球勝者得1分，負者得0分.設每個球甲勝的概率為 ，乙勝的概率為 q，p+β q=1 ，且各球的勝負相互獨立.對正整數 k?2 ，記 p_k 為打完 k 個球后甲比乙至少多得2分的概率， q_k 為打完 k 個球后乙比甲至少多得2分的概率.

（1）求 ?₃，?₄ （用 p 表示）；（2）若 =4，求p；（3）證明：對任意正整數 m，p_2m+1-q_2m+1lt; （20

（1）由題意可知 p₃=C₃³p³q⁰=p³ ，且 p₄= （2）由（1）同理可得 q₃=q³，q₄=4q³-3q⁴ ，所以

故 p=2q .又 p+q=1 ，所以

（3）記隨機變量 X_k 表示打第 k 個球后甲的得分，則 X_k～B（k，p） .按照比賽規則有

γ_2m=P（X_2m=m+1）+P（X_2m≥m+2），

L_P2m+1=P（X_2m+1?m+2|X_2m?m+2）P（X_2m?m+2）+

（20

所以

γ_2m+1-γ_2m=（γ-1）P（X_2m=m+1）=

同理可得 ，所以

（p_2m+1-p_2m）-（q_2m+1-q_2m）=

C_2m^m+1q^mp^m（q-p）lt;0，

即 ，故 ρ_2m+1-q_2m+1lt; （204號 ?_2m-q_2m .因為

所以

p²P（X_2m=m）-（1-p）²P（X_2m=m+1）=

?^mq^m（?²C_2m^m-pqC_2m^m+1）.

同理可得 q_2m+2-q_2m=p^mq^m （ q²C_2m^m-pqC_2m^m+1） .由 ，知 p²gt;q² ，則

（?_2m+2-?_2m）-（q_2m+2-q_2m）=p^mq^mC_2m^m（p²-q²）， （2號故 ，所以

p_2m+2-q_2m+2gt;p_2m-q_2m.

綜上， ?p_2m+1-q_2m+12m-q_2m2m+2-q_2m+2.

第（3）問的證明運算量小但思維量大，凸顯理性思維的深度.由 p_2m+2-q_2m+2gt;p_2m- q_2m ，知數列 {p_2m-q_2m} 單調遞增.

2.5創新試題設計，深化抽象推理

創新試題設計旨在實現命題形式的突破，高考命題需服務拔尖創新人才選拔，助力教育強國建設，因此試題設計需彰顯思維價值、強化教育導向.如2025年數學天津卷第19題設問方式由淺人深，思維難度逐步提升，要求學生主動探索、大膽嘗試，在逐步深入的推理過程中展現理性思維和抽象思維，例7（2025年天津卷19）已知數列 {a_n} 是等差數列， {b_n} 是等比數列， a₁=b₁=2 ， a₂=b₂+1 .a₃=b₃

（1）求 {a_n}，{b_n} 的通項公式.

（2） ?n∈N^* ， I={0，1} ，有 T_n={p₁a₁b₁+ P2a2b2+…+ρn-1an-1bn-1+ρnanb|ρ1，P2，…，p_n-1，p_n∈I} ·

（i）求證：對任意實數 Ω_t∈T_Ωn ，均有 tn+1b_n+1 ：（ii）求 T_n 所有元素之和.

（1）設 {a_n} 的公差為 |d，{b_n} 的公比為 q（q≠ 0），則 解得 故 ?_an= 3n-1，b_n=2ⁿ

（2）（i）由 p₁，p₂，…，p_n-1，p_n∈{0，1} ，知

p₁a₁b₁+p₂a₂b₂+…+p_n-1a_n-1b_n-1+p_na_nb_n?

a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n.

記 S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n ，則

S_n=2×2¹+5×2²+…+（3n-1）×2ⁿ，

2S_n=2×2²+5×2³+…+（3n-1）×2ⁿ⁺¹， （2

S_n-2S_n=2×2¹+3×2²+3×2³+…+

（3n-1）2ⁿ⁺¹=（8-6n）2ⁿ-8，

故 S_n=（6n-8）2ⁿ+8. 又 Ω_t∈T_Ωn ，所以 χ_t 的最大值為（2 （6n-8）2ⁿ+8. 由于 t_max-a_n+1b_n+1=（6n-8）2ⁿ+ 8-（6n+4）2ⁿ=8-12×2ⁿlt;0 ，故對任意實數 Ω_t∈T_n ，均有 tn+1b_n+1 恒成立.

（ii）給定正整數 n，p₁，p₂，…，p_n∈{0，1} ，當 /1=1 時， p₂，…，p_n∈（0，1），p₂a₂b₂+…+p_n-1a_n-1 ： b_n-1+p_na_nb_n 共有 2^n-1 種情況， a₁b₁ 出現 2^n-1 次.

同理可得 a₂b₂，…，a_n-1b_n-1，a_nb_n 均出現 2^n-1 次，所以 中所有元素之和為

2^n-1[（6n-8）2ⁿ+8]=（3n-4）4ⁿ+2ⁿ⁺².

本題以等差、等比數列為載體，通過新定義的形式引入集合 T_n ，既體現了集合語言表達的科學性，又彰顯了抽象數學符號表達的簡潔之美，第（1）問聚焦基礎知識，考查通項公式的求解；第（2）問（i）考查錯位相減法的應用；第（2）問（i）隱含組合計數與集合中元素之和的關聯，抽象出元素 a_ib_i 出現的次數 2^n-1 是突破解題難點的核心.

3備考建議

2025年2月，教育部印發了《教育部關于做好2025年普通高校招生工作的通知》（以下簡稱《通知》），對2025年高考命題提出明確要求：加強關鍵能力、學科素養和思維品質考查，引導創新能力培養.注重考查基礎知識、基本技能、基本方法，引導學生融會貫通、靈活運用.教育部考試中心命制的5套高考試卷，均嚴格按照《通知》要求，依據《課程標準》命制，其中數列試題特點與啟示為后續備考提供了明確方向.

3.1 重視新課，夯實學科基礎

2025年高考數列基礎題的占比較2024年高考顯著增加，解答方法更加靈活，覆蓋范圍更加廣泛，包括求數列的通項公式、研究數列的性質、數列求和、數列與導數、數列與概率等綜合問題.試卷中基礎題、中檔題均能在教材中找到對應的例題或習題（如表2）.

表2

注：教材指人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第二冊.

表2中的數據表明，新高考引導教師在高一、高二的新課教學中重視數列的基本概念、公式的生成過程；在習題課上重視對教材案例、問題探究、例題的選用與深度開發.新教材情境的選擇涵蓋天文、地理、金融、文化、生物、生活、生產、科技等方面，保障了學生自主閱讀、獨立思考、動手實踐、合作交流等思維品質培養的階段性與連續性.教學活動應尊重學生的認知規律，根據不同的學習內容，設計多樣化的學習情境，采用靈活的教學方式，確保學生充分參與，讓每位學生都有展示學習成果的機會，從而深刻理解數學本質，熟練掌握數列的三種語言表達（文字、符號、圖形），夯實學科基礎.學生應認真完成課后習題，深入理解教材編制意圖，熟練掌握基本解題技能，培養良好習慣及思維能力，從而有效減輕高三復習階段的學習負擔.

3.2 重視應用，強化模塊聯系

近年來，教育部考試中心持續深化高考改革，顯著減少題目數量，增強試題綜合性，有效拓展知識點的覆蓋廣度，深化基礎知識的考查，促進知識的縱向延伸與橫向拓展.因此，復習備考時應打破知識模塊壁壘，實現不同模塊知識的有機融合與靈活應用.根據學生的認知規律，從高一新課教學到高三總復習，數列練習題的選擇需體現層次性與階段性，遵循“基礎鞏固一能力提升一綜合應用”的遞進路徑，突出知識的應用價值，引導學生從函數的視角理解數列，深刻體會等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的內在聯系.如對于2025年數學新高考Ⅱ卷第7題，可以通過 為等差數列，點 ，\"）在一次函數的圖像上，利用 三點共線，從數與形雙重角度求解.在復習備考階段，教師應引導學生通過一題多解拓寬思路，理解解題方法的多樣性；通過多題歸一提煉通性通法，把握問題本質；聚焦數學核心內容主線間的內在關聯；深人挖掘不同知識所蘊含的通性通法與核心思想方法，實現學科核心知識與關鍵能力、核心素養的深度融合.

3.3重視思維，發展核心素養

理性思維與科學精神是數學核心素養的精髓.數學教育以培養“四基\"和“四能”為核心路徑，以發展學生的理性思維與科學精神為落腳點，最終達成發展核心素養的目標.關鍵是深度挖掘教材資源，充分利用教材中的案例、探究活動、閱讀材料及數學文化等課程資源，激發學生的感性體悟與理性思考，引導學生體會數學思想方法誕生的過程，感悟數學家的探索精神與創新意識.以“事實一概念一性質一應用\"為明線，以“事實一方法一方法論\"為暗線，讓學生親身經歷數列概念的形成、通項公式與求和公式的推導，并掌握研究數學對象的一般過程.此外，教師應引導學生運用數學方法開展探究，學會進行創造性思考，能夠從紛繁復雜的現象中提煉關鍵要素，能夠運用清晰、連貫、富有邏輯性的語言嚴謹地闡述自己的觀點.

本文系四川省教育廳2024年度教育科研課題“三新’背景下四川省高中數學新教材使用現狀和課程資源建設研究”（課題編號：SCJG24B037）階段性研究成果.

（完）