高考導向下一類解三角形問題的復習備考

在解三角形中，涉及中線、三等分線、高線、角平分線的一類解三角形問題（本文稱之為解三角形“背靠背\"模型）是近年高考的熱點，本文聚焦此類問題的復習備考，形成專題.首先，對近幾年高考試題進行系統研究，提煉試題的通性通法和個性化解法；其次，回歸課標及教材，溯源并深研題根，對解三角形“背靠背\"模型進行統一；最后，以2023年數學新高考Ⅱ卷第17題為例，進行問題求解與變式探究，實現知識與方法的鞏固和遷移，并在此基礎上總結提煉高考一輪復習的備考策略.

1洞察高考試題，明確復習方向

如圖1所示，在 ΔABC 中， D 為邊BC上異于端點的一點，連接 AD，AD 為△ABD與 ΔACD 的公共邊，將有這樣特點的解三角形問題稱為解三角形“背靠背\"模型，

圖1

由于點 D 位置的靈活性，便產生了命題視角的多樣性.解決此類模型的一般思路：注意到 ∠ADB+ ∠ADC=π ，則 cos∠ADB+cos∠ADC=0 ，進而可在ΔABD 和 ΔACD 中分別用余弦定理（或注意到∠ABD=∠ABC ，在 ΔABD 和 ΔABC 中分別用余弦定理；注意到 ∠ACD=∠ACB ，在 ΔACD 和ΔABC 中分別用余弦定理），稱這種處理思路為兩次余弦定理.

筆者全面分析近幾年高考試卷解三角形的試題并提煉涉及解三角形“背靠背\"模型，深度剖析此類試題題干的關鍵信息和解題思路（如表1）.

從表1可知，解三角形“背靠背”模型在2023年高考題中最為活躍，主要考查中點、三等分點、高線、角平分線問題，解決問題的主要方向有兩個：一是根據試題的一般性，采用兩次余弦定理或直接解三角形；二是基于試題的特殊性，選取具有針對性的解題策略.

表1

2回歸教材課標，提煉內容本質

解三角形“背靠背”模型是三角形中線、三等分線、高線、角平分線等內容的高度概括，將三角函數、解三角形、平面向量等知識融為一體，綜合考查學生運用知識的能力.追溯人教A版普通高中教科書數學必修第二冊，解三角形“背靠背\"模型多次出現在教材習題中，類比上述高考試題進行梳理與分析，如表2所示.

解三角形“背靠背”模型的高考試題與教材習題的關鍵考點、核心方法高度契合.因此，在高考一輪復習時，需要對教材進行深度的二次開發，探究高考試題，揭示內容本質.通過深入研究解三角形“背靠背”模型，發現該模型可以統一為斯特瓦爾特定理

表2

斯特瓦爾特定理 在 ΔABC 中，若 D 為邊 BC 上異于端點的一點，則

證明在 ΔABD 中，由余弦定理知 AB²= DA²+DB²-2DA?DBcos∠ADB ，兩端同時乘DC ，即

AB²?DC=DA²?DC+DB²?DC-

2DA?DB?DCcos∠ADB.

在 ΔACD 中，由余弦定理知

AC²=DA²+DC²-2DA?DCcos（π-∠ADB）=

DA²+DC²+2DA?DCcos∠ADB，

兩端同時乘 DB ，即

AC²?DB=DA²?DB+DC²?DB+

2DA?DB?DCcos∠ADB.

由 ②+③ 得

AB²?DC+AC²?DB=

DA²?DC+DB²?DC+DA²?DB+DC²?DB=

DA²（DC+DB）+DB?DC（DB+DC）=

DA²?BC+DB?DC?BC，

所以 DA²?BC=AB²?DC+AC²?DB-DB?DC ：BC ，故

上述斯特瓦爾特定理的證明采用的就是兩次余弦定理的方法，體現了一般與特殊的數學思想.若將點特殊化，可運用斯特瓦爾特定理推導出三角形的中線長、高線長、角平分線長公式，具體如下.

若 DA 為邊 BC 上的中線，則 代人式 ① 可得

此即中線長公式.

若 DA 為邊 BC 上的高線，則 DB=AB cos B ，DC=ACcosC.

記 a，b，c 分別為△ABC三個內角 A，B，C 的對 邊.由余弦定理得

則 ，所以

所以 .將上述各式代入式 ① 可得

所以

（a²+b²-c²）（c²+a²-b²）]，

故 c⁴）] ，此即高線長公式.

若 DA 為 ∠BAC 的平分線，由角平分線定理得 AC，所以

代入式 ① 可得

故 DA²=AB?AC-DC?DB ，此即角平分線長公式.

事實上，當 D 是邊 BC 上異于端點的任意一點時，可以由斯特瓦爾特定理推導得到 DA 長度的計算公式，也就是說，斯特瓦爾特定理是解三角形“背靠背\"模型的一般性統一.

3精選例題變式，重視應用遷移

高考試題不僅具有評價功能，還具有示范與導向功能.如果把高考試題視為“導航”，那么高考一輪復習就不會“迷失”方向.下面以2023年數學新高考Ⅱ卷第17題為例，對此題進行問題求解與變式探究，促進學生對解三角形“背靠背”模型的理解、應用與遷移.

例（2023年新高考Ⅱ卷17）記△ABC的內角A，B，C 的對邊分別為 a，b，c ，已知 ΔABC 的面積為 為 BC 的中點，且 AD=1 （1）若∠ADC=π ，求 tan B ：

（2）若 b²+c²=8 ，求 ^b，c

分析該題是典型的解三角形“背靠背\"模型，聚焦三角形中線，綜合考查學生靈活運用平面幾何知識、三角形面積公式、正弦定理、余弦定理的能力，多角度考查學生分析問題和解決問題的能力，在問題思考和解決的過程中考查學生邏輯推理、數學運算等核心素養.

從不同知識點切入，適度拓展，優化通性通法，具體如下.

首先，分析第（1）問的解題思路.已知 ∠ADC= ，，則∠ADB= 2π，根據中線等分三角形面積，從面積視角求出 a 的值，在 ΔACD 和ABD中分別用余弦定理求得 ^b，c 的值，再由余弦定理求得cos B ，進而求得tan B .該思路容易想到，但計算量偏大.若從問題出發進行思考，聯想到構造直角三角形，作出邊BC上的高線，轉化為解直角三角形，迅速解決問題，以此達到優化解法的目的.

其次，分析第（2）問的解題思路.聯想到cos∠ADB+cos∠ADC=0 ，結合已知條件求解；從向量視角出發，利用中線向量公式解決；考慮運用平面幾何知識及倍長中線法解決；如果接觸過斯特瓦爾特定理，則可直接用中線長公式求解.

如圖2所示，根據上述對解法的具體分析，下面呈現具體的解答過程.

圖2

（1）因為

所以 CD=BD=2

解法1兩次余弦定理

在 ΔABD 中， c²=AD²+BD²-2AD?BD ·cOS∠ADB，解得

同理，在 ΔACD 中， b²=AD²+CD²-2AD ：CDcos∠ADC ，解得 ·

在△ABC中，cos 于是tan

解法2 作高轉化

如圖3所示，過點 A 作 AAH ⊥ BC于點 H .在B DH CRtΔADH 中， ， 圖3 在 RtΔABH 中， 故tan

（2）解法1 兩次余弦定理

由 ∠ADB+∠ADC=π ，可得 cos∠ADB+ cos∠ADC=0 在 ΔABD 和 ΔACD 中，由余弦定理可得 ，化簡得 α²=

2（b²+c²-2）=12 ，所以

在 ΔABC 中，由余弦定理得 a²=b²+c²-2bc ：（2 cos∠BAC ，解得 bccos∠BAC=- 2. 由 S_ΔABC= ，可得 ，所以t .由 ∠BAC∈（0，π） ，得 ∠BAC= 所以 bc=4. 又 b²+c²=8 ，所以 （b-c）²=b²+ c²-2bc=0 ，故 b=c=2

解法2中線向量公式

，可得 代入已知數據可得 bccos∠BAC=-2 ，下同解法1.

解法3 倍長中線

如圖4所示，延長 AD 至點 E ，使得 AD=DE ，則四邊形ABEC為平行四邊形.在 ΔABE 中， AE=2 ，BE=b ，由余弦定理得

圖4

b²+c²-2bccos∠ABE=AE²

所以 bccos∠ABE=2. 由于 ∠ABE+∠BAC=π ，所以 cos∠ABE=-cos∠BAC ，即 bccos∠BAC=-2 ，下同解法1.

解法4中線長公式

由中線長公式得 ，代人已知數據得 ，下同解法1.

兩問的解法1都是運用兩次余弦定理，這是解決解三角形“背靠背”模型的通性通法，是一般性思路，適用于各種類型問題的解決.當然，也可以考慮中線的特殊性，結合中線的定義選擇具有針對性的方法，達到簡化運算的目的.

下面筆者精選了幾道具有代表性的變式題，以期實現三角形“背靠背\"模型復習備考的全覆蓋，限于篇幅，每道題只給出一種典型的解法，感興趣的讀者可嘗試探究一題多解.

變式1 在 ΔABC 中， 邊 BC 上的高等于 ，求

如圖5所示，過 點 A 作 AH⊥

BC 于點 H .設 AH=m

0 ，由題意得 BH=

圖5

m ， CH=3m .在 RtΔAHB 中，有 在RtΔAHC 中，有

因為 ∠BAC=∠BAH+∠CAH ，所以

sin∠BAC=sin（∠BAH+∠CAH）=

變式2在 ΔABC 中， ∠BAC 的平分線交 BC 于點 D 且 AD=1 ，求ABC周長的最小值.

記 ΔABC 的內角 A，B，C 所對

的邊分別為 a，b，c. 如圖

6所示，因為 S_ΔABC=

圖6

S_ΔABD+S_ΔACD 州 AD=1 ，所以 ∠BAD= 則

即 bc=b+c .由基本不等式得 ，當且僅當b=c=2 時，等號成立，所以 bc=b+c?4 ，當且僅當b=c=2 時，等號成立.由余弦定理得 a²=b²+c²- 2bccos∠BAC=b²+c²+bc?3bc?12 ，當且僅當b=c=2 時，等號成立.因此，當且僅當 b=c=2 時，ΔABC 的周長取得最小值 ·

變式3 在 ΔABC 中，點 D 滿足 ，且 AD=2 ，求 的最小值及此時 BD 的值.

由題意可知 D 是 BC 上靠近點B 的三等分點，如圖7所示.設 CD=2BD=2mgt; 0.在△ABD中，有

圖7

AB²=BD²+AD²-2BD?ADcos∠ADB=

m²+2m+4.

在△ACD 中，有

所以

當且僅當 即 時，等號成立，故 的最小值為 ，此時

4復習備考建議

數學的高考一輪復習，并不是簡單的知識梳理、題型堆砌、方法羅列.在復習備考時間緊、任務重的情況下，高考導向的一輪復習，學生需要在教師的指導下，全面梳理已做過的高考真題，系統分析高考試題的共性和差異，洞察高考動向，形成備考專題.在專題的指引下，回歸教材，溯源專題內容本質，嘗試改編高考試題，做到舉一反三，觸類旁通，實現知識鞏固向能力提升的躍遷.

一是研究高考導向，明確備考方向.復習初期，學生要嘗試對歷年高考試題分類匯編，從不同的角度對每類試題進行解法探究，分析試題考查的核心內容、思想方法，不同解法的優勢與不足，厘清通性通法與特殊解法的關系，不同解法的知識、能力和素養的要求，預測自己在具體的考試中最有可能選擇的方法和易錯點.例如，對高考解三角形試題進行系統梳理，精準鎖定解三角形的中線、角平分線和高線是高考的常考考點，從解題思路中提煉試題的一般解法、特殊解法和最優解法，

二是回歸課標和教材，溯源試題本源.明確了考什么，還需在教師的引導下，立足課標和教材，弄清楚怎么考、考到什么程度，為復習做好準備.學生需要依據考點，掌握考點必備的基礎知識和基本技能，厘清考點與其他知識之間的聯系，同時聚焦與考點關聯性強的例題和習題，從不同的角度理解例題與習題，提煉這些試題考查的知識和思想方法，揭示試題考查的本質，形成復習的微專題.正如三角形的中線、角平分線問題，課標要求學生運用平面向量解決解三角形問題，在問題解決過程中滲透數形結合、轉化與化歸思想，提高數學運算、邏輯推理等素養，再回歸教材習題，整合零散的知識點，形成易于理解的解三角形“背靠背\"模型的專題復習內容.

三是設計例題變式，發散數學思維.高考復習的關鍵一環是對高考試題和教材進行關聯性研究并形成專題.首先，學生需要結合已有數學知識和數學能力，選擇不同難度的高考試題，在教師點撥下領悟試題考查的數學思想方法.其次，學生可以利用課余時間嘗試從試題的條件或結論出發，結合自身經驗和對試題的理解，從不同的角度改編試題，體會命題者試題命制的心路歷程，全方位把握考點與其他知識的橫向、縱向聯系.在試題改編的過程中，學生能鍛煉逆向思維能力，提高分析問題和解決問題的能力.筆者發現高考導向下的高三復習備考，學生對試題命制的熱情，遠高于試題解法探究，上述變式就是筆者整理學生改編試題的成果.學生的逆向思維是創新思維的主要部分，需要學生在系統掌握知識、思想方法的前提下，創造性地提出問題，試題改編為學生提供了很好的學習平臺，能有效鍛煉學生的思維方式、思維品質，從而提升學生的數學思維.

本文系云南省昆明市五華區“十四五”規劃第二批教育科學規劃2024年度課題——智慧課堂下提升高中生數學運算素養的作業設計研究（課題編號：145022059）階段性研究成果.