基于三次樣條插值的光纖傳感器平面曲線重建模型研究

摘要：光纖傳感器因具有質(zhì)地輕、彎曲性好、靈敏度高、體積小、易于安裝等特點而被廣泛應(yīng)用于諸多行業(yè)。將光纖受刺激后產(chǎn)生形變量化為實時數(shù)據(jù)，基于數(shù)據(jù)利用曲率公式計算各點對應(yīng)曲率，離散曲率點經(jīng)三次樣條插值法擬合出光纖形變曲率函數(shù)，以避免龍格現(xiàn)象。基于該擬合函數(shù)借助微分幾何中Frenet-Serret公式法建立重建曲面函數(shù)，運用MATLAB求解函數(shù)并繪制重建曲面圖像。

關(guān)鍵詞：光纖傳感器" "曲率" "三次樣條插值" "Frenet-Serret公式

Research on Plane Curve Reconstruction Model of Fiber Optic Sensor

Based on Cubic Spline Interpolation[王宇3]

WANG Yu" YUAN Qiaoli" "XIONG Ben

Wuhan Institute of Shipbuilding Technology， Wuhan， Hubei Province， 430050 China

Abstract： Fiber optic sensors are widely used in many industries because of lightweight， good flexibility， high sensitivity， small size and easy installation. The deformation of the fiber optic cable caused by stimulation is quantified into real-time data. The curvature formula is used to calculate the corresponding curvature of each point based on the data. The fiber optic deformation curvature function of discrete curvature points is fitted by cubic spline interpolation to avoid Runge phenomenon. Based on the fitting function， the reconstructed surface function is established by Frenet-Serret formula method in differential geometry. MATLAB was used to solve the function and draw the reconstructed surface image

Key Word： Fiber optic sensor; Curvature; Cubic spline interpolation; Frenet-Serret formula

光纖傳感技術(shù)的主要原理是根據(jù)光纖受刺激的形變獲取實時數(shù)據(jù)，間接求出曲率等信息對曲面進行重構(gòu)。為便于波長測量，生產(chǎn)光纖時已在等間距處布設(shè)好傳感器裝置。此傳感器間距為0.6 m，以光纖水平狀態(tài)時為初始狀態(tài)并測量各傳感器位置處信號的波長，光纖初始狀態(tài)示意圖如圖1所示，光纖在平面內(nèi)受外力作用形變后示意圖如圖2所示，并測量各傳感器處信號的波長。波長與曲線曲率間的關(guān)系如式（1）。初始狀態(tài)與受外力時各傳感器處波長的測量數(shù)據(jù)如表1所示。

1通過三次樣條插值建立曲率與弧長的擬合函數(shù)

1.1求各傳感器處對應(yīng)曲率

假設(shè)初始點坐標(biāo)為原點，初始的水平方[A4] 向為x軸，垂直方向為y軸。基于已知數(shù)據(jù)用式（1）計算出對應(yīng)各點處曲率[1]，詳見表2所示。

式（1）中，已知=4 200，為初始狀態(tài)下的波長；為光纖受到外力后的波長。

1.2建立曲率與弧長的擬合函數(shù)

基于表2離散點處對應(yīng)曲率，求解下述對應(yīng)位置的曲率，詳見表2。分析知題設(shè)將光纖長度設(shè)為區(qū)間[0，3]，并等分為5個小區(qū)間。根據(jù)表2中數(shù)據(jù)可知，光纖在平面內(nèi)受外力各傳感器處對應(yīng)的坐標(biāo)分別為：（0，2.209 5），（0.6，2.216 7），（1.2，2.332 2），（1.8，2.230 5），（2.4，2.235 9），（3.0，2.222 2）。與其他插值法相比，三次樣條插值法[2]因該組點具有樣條插值中型值點特性，可以有效避免龍格現(xiàn)象。

設(shè)此樣條在[0，3]中，型值點的橫坐標(biāo)依次為：。型值點為記滿足條件的曲線為相鄰型值點間函數(shù)為三次多項式，即在中的函數(shù)表達式為式（2）。

式（2）中：表示弧長；、為待求系數(shù)。

可得曲率與弧長間函數(shù)關(guān)系[3]見式（3），并且各系數(shù)均保留至小數(shù)點后四位。

式（3）中，表示弧長。

1.3估算固定點處曲率

由題設(shè)知光纖在平面內(nèi)受力后的初始位置的切線與水平方向的夾角為。可得式（4）和式（5）。

式（4）中：為曲率函數(shù)；為積分變量；切線方向與水平方向的夾角。

式（5）中：為該點切線方向與水平方向的夾角；為積分變量；為題設(shè)已知值；為處的曲率。

因需要估算橫坐標(biāo)軸相應(yīng)位置處曲率，故計算公式轉(zhuǎn)化為式（6）。

式（6）中：為積分變量；切線方向與水平方向的夾角；為弧長；為處曲率。

通過式（6）求解，借助式（3）求解對應(yīng)位置。借助微分方程和MATLAB程序求得結(jié)果如表5。

2 運用Frenet-Serret法對光纖曲面進行重構(gòu)

2.1 Frenet-Serret公式法[4]

依托上述求解式（3）為曲面重構(gòu)模型建立的主要基礎(chǔ)。分析曲率與曲線形狀間關(guān)系特點，選取微分幾何中Frenet-Serret法[5]借助K（s）求出曲面形狀。

Frenet-Serret公式主要刻畫單位切向量、單位法向量和單位副法向量隨弧長的變化關(guān)系，具體公式如下。

式（7）中：為曲線撓率；為曲線曲率；副法向量表示同時垂直于切向量和法向量。因該光纖僅考慮水平狀態(tài)，垂直方向暫不考慮，故撓率，副法向量，故式（7）可化簡為式（8）。

式（8）中：為切向量；為曲線曲率；為法向量。

2.2曲面重建方程的建立與求解

結(jié)合Frenet-Serret公式的方向初值和曲線的位置初值重構(gòu)出原曲線方程[6]為式（9）。

式（9）中：為從原點出發(fā)指向弧長為s處點的徑矢；為切向量；為初始半徑；為處半徑；為積分變量。

以初始點坐標(biāo)為原點，初始水平光纖方向為軸，垂直方向為軸，建立坐標(biāo)系。初始位置時切線與水平方向的夾角為450。初始條件為。借助MATLAB求解并繪制重構(gòu)曲面圖像如圖3所示。

由圖3可知，圖像較光滑且形狀與圓相似，因表2所得等間距點處曲率非常接近，故該圖形符合預(yù)期。

3結(jié)語

本文基于光纖傳感器形變獲取實時數(shù)據(jù)，通過三次樣條插值獲取曲率與弧度的擬合函數(shù)。依托擬合函數(shù)利用Frenet-Serret公式建立光纖曲面重建函數(shù)，借助MATLAB求解并繪制曲面重構(gòu)圖形且圖形符合預(yù)期。

參考文獻

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