深挖評價試題 巧思問題設計

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下述簡稱《標準》）中，結合數學學科特點，情境的選擇要具有真實性、多樣性，貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知加工特點，發揮情境素材的育人功能，使學生深刻體會數學在現實生活中的廣泛應用[1]87.2025年天津市初中學業水平考試數學試卷第23題充分體現了《標準》“堅持素養立意，凸顯育人導向”的命題原則[1]9]，試題以生活中提取的真實情境為載體，綜合考查了一次函數的學業內容.試題的設問以從情境中提出數學問題為起點，引導學生用數學的眼光觀察現實世界，使學生感知利用一次函數模型描述勻速直線運動的基本事實，并將經驗認識轉化為數學建模能力，以創設新情境建立新模型為落點，蘊含了對學生幾何直觀、運算能力、模型觀念、應用意識等核心素養的考查.本文以評價試題為載體，構建“評價導向的真實情境教學法（Evaluation-orientedReal-situationTeachingMethod，簡稱ERTM）”，結合一次函數在勻速直線運動中的應用進行案例分析.

1構建ERTM模型

以《標準》為基，教師的教學活動、學生的學習內容與學習評價三位一體.《標準》要求注重實現“教—學一評”一致性[1]4，已有學者將指導思想與函數的課堂教學有機結合[2-3].通過挖掘評價試題的顯隱性育人價值，以評促教，把握學業要求和命題立意，精選教學內容，全面調研實測數據和答題思路，以學定教，設置合理的教學目標和教學重難點，以發展數學思維和核心素養為根設計教學活動.

真實情境教學是一種以學生在現實世界中的個體經驗為依托，以遷移學生基本活動經驗、綜合運用基礎知識與基本技能為導向組織教學活動的教學方法[4]，是一種具有真實性、情境性、綜合性、開放性的教學方式[5，7].

如圖1，本文結合情境類評價試題，提出了一種融合情境變化與問題設計的評價導向的教學路徑（ERTM）.以簡單的真實情境為起點，激發學生對情境的理解，并掌握使用數學語言描述現實世界的能力.以教學內容為焦點，通過變化情境、設計逐步深人的進階問題，促使學生形成認知沖突，實現認識的螺旋上升與知識的整合，形成新認識.在這樣的過程中培養學生運用數學思維分析現實世界的能力.最終，通過情境的拓展性，提出開放性問題，促進學生將活動經驗與實際生活相聯系，實現自主建構.

2 ERTM模型的應用案例

2.1 試題分析

（2025年天津卷第23題）已知小華的家、書店、公園依次在同一條直線上，書店離家 0.6km ，公園離家1.8km 小華從家出發，先勻速步行了 6min 到書店，在書店停留了 12min ，之后勻速步行了 12min 到公園，在公園停留 25min 后，再用 15min 勻速跑步返回家.圖2中 x 表示時間， y 表示離家的距離.圖象反映了這個過程中小華離家的距離與時間之間的對應關系，

圖2

請根據相關信息，回答下列問題：

（I） ① 填表：

② 填空：小華從公園返回家的速度為 km/min;③ 當 0?x?30 時，請直接寫出小華離家的距離 y 關于時間 x 的函數解析式；（Ⅱ）若小華的媽媽與小華同時從家出發，小華的媽媽以 0.05km/min 的速度散步直接到公園.在從家到公園的過程中，對于同一個 x 的值，小華離家的距離為 y₁ ，小華的媽媽離家的距離為 y₂ ，當 y₁2 時，求x 的取值范圍（直接寫出結果即可）.

本題聚焦數與代數領域，以《標準》為綱，借助日常生活中的現實情境，試題不僅考查了一次函數的核心內容和解題通法，同時發揮數學的應用價值[5]，幫助學生體會和理解數學與現實世界的聯系，提高學習數學的興趣和應用意識[6.第（I）問考查學生在較復雜的運動描述中建立情境與函數圖象對應關系、從實際問題抽象出數學問題的能力，利用函數的基礎知識解決問題的能力.第（Ⅱ）問引入新人物運動情境，考查學生建立合理的數學模型描述情境并進一步求解模型的能力.

2.2 學情分析

抽取本校若干名學生進行試題實測，根據所得數據可知，第（I）小題難度為0.91.學生解決第（I） ① 小問時，可以先將表格中的內容轉化為“已知自變量 x 的取值，求函數值 y ”的數學問題，在圖象中找出對應點，并結合點的坐標定義作出輔助線：如圖3，過點 Q （50，0）作 x 軸的垂線交函數圖象于點 H ，直接讀取當x=50 時， y=1.8. 相似的， x=18 時， y=0.6 ;過點 N（1 0）作 x 軸的垂線交函數圖象于點 F ，在求解點 F 的縱坐標時，可以利用點 A（6，0.6） 構建正比例函數 y_OA= 0. 1x（ 0?x?6） ，算得當 x=1 時， y=0.1 ;還可以觀察圖形特征知 ΔOFN～ΔOAM ，依據相似三角形的性質 算得 FN=0.1 ，進一步推知結論.

圖3

解決第（I） ② 小問時，學生在建立了函數圖象與情境對應關系的基礎上，根據題意確定“小華從公園返回家”（即圖象 DE 段）所走路程為1.8千米，用時15分鐘，借助已經掌握的相關知識算得速度.

對于第（I） ③ 小問，學生首先根據自變量的取值范圍 0?x?30 觀察圖象，根據不同自變量取值范圍內函數的變化趨勢，采用分類討論的策略將其拆分成0?xlt;6，6?xlt;18 和 18?x?30 三部分，分別利用待定系數法求解函數解析式，最終整合為

如表1，學生在解決第（ I ）小題時，通過遷移學習“實際問題與不等式（組）”時積累的活動經驗，建立不等式（組）模型完成求解，獲得最終答案為 12

表1第（Ⅱ）小題的學生解法

在實測數據中，學生的錯誤主要體現在四個方面：其一，學生閱讀大量的文字情境描述后，無法快速、準確地建立情境和函數關系的對應，缺少梳理題目有效信息的通法.其二，學生因運算能力薄弱導致計算結果錯誤.其三，第 ③ 小問中因為學生沒有正確理解函數值與自變量的對應關系，對自變量的取值范圍沒有進行分類討論.其四，在第（ⅡI）小題中，針對勻速運動情境的求解，學生擅于建立 y₂ 關于 x 的代數式，并構建不等式（組）的代數模型，沒有深刻體會到函數在描述變化問題中的優越性，欠缺在變化的實際問題中借助一次函數描述、分析并解決勻速直線運動問題的應用意識與能力.

2.3 教學活動設計

本節以函數的觀點統領，應用ERTM模型，以“一次函數的實際應用”為主題設計專題教學活動

2.3.1 創設起始情境，激活基礎知識

開展以情境問題為背景的應用教學時，需要以學生深刻理解情境與數學元素的對應關系為起點.教師創設起始情境并提出問題1及追問，引導學生拆解情境，建立函數圖象中的線段、點與運動情境的聯系.教師借助GeoGebra軟件幫助學生理解，將抽象的數學知識形象化，提升情境理解能力，學生經歷探索歷程，積累審題的通法，加深對函數的理解，發展幾何直觀

問題1已知小華的家、書店、公園依次在同一條直線上.小華從家出發，先勻速步行到書店，在書店停留了一段時間，之后勻速步行到公園，在公園停留了一段時間后勻速跑步返回家.圖4中 x 表示時間， y 表示離家的距離.圖象反映了這個過程中小華離家的距離與時間之間的對應關系.根據圖象回答問題：在圖5的橫線上填寫具體數值，在方框中填寫場所名稱

圖4

追問 小華從公園返回家的速度為 km/min

圍繞函數的不同表示法，學生在完成問題1后，通過問題2，3使學生感知利用平面直角坐標系中的點與線段可以分別描述簡單實際情境中的運動與位置，感悟數學的工具性，發展用數學的語言表達現實世界的意識.

問題2 填表：

問題3當 0?x?30 時，請直接寫出小華離家的距離 y 關于時間 x 的函數解析式.

在學生經歷上述問題的探究后，教師圍繞“轉化一作圖一求解”的經驗提出變式練習.帶領學生先結合實際情境抽象出對應的數學問題，分析問題的核心，遷移已經掌握的活動經驗獲得解題思路，滲透數形結合與分類討論等重要數學思想，提升學生運用函數知識綜合解決問題的意識與能力.以變式1為例，教師先帶領學生觀察圖象，思考表示“在書店”的點位于“直線 y=0.6^，， 上，因此“距離書店 0.4km^′ 便可轉化為“到直線 y=0.6 的距離為0.4”，如圖6，學生據此在圖中畫出所需輔助線 y=1 和 y=0.2 ，然后將變式問題轉化為求圖象交點坐標.

變式1 小華離開家 min 時，他距離家 1km ：小華離開家 min 時，他距離公園 0.8km ;小華離開家 min時，他距離書店 0.4km

圖6

2.3.2提出變式情境，發展建模能力

問題4若小華的媽媽與小華同時從家出發，小華的媽媽以 0.05km/min 的速度散步直接到公園.請在圖4中畫出反映這個過程中小華的媽媽離家的距離與時間之間對應關系的圖象.

問題4意在發展學生的模型觀念.在建立模型的起始環節，教師應幫助學生拆解情境（如表2），如圖7，借助現有平面直角坐標系橫、縱軸變量的實際含義，將情境描述轉化為數學語言，易算得運動終點是G（36，1.8） ，可得線段OG為刻畫小華的媽媽散步情況的函數圖象，建立直觀的函數模型.此外，教師也可引導學生觀察表3進行歸納總結：一次函數模型中 k 值的正負表示“前往”與“返回”這一組具有相反意義的量，當 x 軸表示運動時間、 y 軸表示運動路程時， k 的絕對值表示運動速度.學生據此利用運動起點運動速度構建函數模型 y_OG=0.05x（0?x?36） ：

表2小華的媽媽運動情境描述與數學語言的轉化

表3圖4中部分圖象段的運動狀態與函數解析式的對應

圖7

為了使學生在上述變式情境中更好地體驗并掌握運用函數模型解決問題的能力，教師提出問題5.

問題5小華的媽媽在從家到公園的過程中兩人相遇時離家的距離是多少？

學生可以將相遇問題轉化為求解函數圖象交點（見圖5中的點 P，G 和 K ）的縱坐標問題，由題意易知點 G（36，1.8） 和 P（12，0.6） .在求解點 K 的坐標時，學生會構建二元一次方程組 解得 學生還可以由題意推知 PB=CG=6. 根據圖（20象得位置關系 CG//BP ，可證得 ΔBKP?ΔCKG ，推知K 為 BC 中點，所以 綜上所述，小華的媽媽在從家到公園的過程中兩人相遇時離家的距離是 0.6km 或 1.2km 或 1.8km

追問 小華何時比媽媽離家的距離近？

為了使學生更好地體會利用函數解決運動中的變化問題，教師提出追問.對于同一個 x 的值，記小華離家的距離為 y₁ ，小華的媽媽離家的距離為 y₂ ，追問可轉化為“當 y₁2 時，求 x 的取值范圍”，即 y₁ 的圖象在 y₂ 的圖象下方時對應自變量 x 的取值范圍 12

變式2若小華的媽媽與小華同時從家出發，小華的媽媽以 vkm/min 的速度散步直接到公園.請在圖4中畫出反映這個過程中小華的媽媽離家的距離與時間之間對應關系的圖象.結合圖象分析：從家到公園的途中（不包含家和公園）兩人可以相遇，則 v 的取值范圍是

在問題4所積累的活動經驗的基礎上，學生分析變式問題并畫出描述小華的媽媽運動函數圖象.如圖8、圖9，教師引導學生觀察并與問題4所得圖象對比分析，形成認知沖突，將情境問題轉化為對圖象特殊點 T（x_T，0.6） 的位置討論，即點 T 在線段 AB 上，建立不等關系（即 x_B?x_T?x_A ）求解 x 的取值范圍.變式4遵循數學發現從特殊到一般的研究規律，充分發揮學生畫圖、識圖、思圖的能力，利用數形結合尋找最優解決方案，發展幾何直觀.

圖8

圖9

2.3.3 設置開放情境，發展應用意識

教師應充分利用情境的擴展性，設計開放性問題，引導學生深入并完善情境，提出問題并解決問題.

問題6若小華的媽媽與小華同時從家出發，小華的媽媽以 0.05km/min 的速度散步直接到公園.小華離開家6分鐘時，小華的爸爸在公園鍛煉身體結束，從公園出發， ①

（1）請在 ① 處的橫線上補全情境，并提出問題；

（2）解決你提出的實際問題

在拋出問題6后，教師應鼓勵學生聯想.例如，學生在 ① 處的橫線上補全情景為“小華的爸爸直接回家，小華與小華的媽媽、小華的爸爸在途中相遇，則小華的爸爸比小華早到家多長時間？”學生先依據題意確定小華的爸爸運動起點 H（6，1.8） ，連接 HK 并延長，建立描述小華的爸爸運動情境的函數圖象（見圖10中線段 HL ）.從代數解法（或幾何解法）都可以算得 L（60，0） ，最終解決實際問題.在（1）問中學生可以從多角度完善新情境，并提出新的問題.在這一過程中，學生主動構建多樣化的情境，并提出各種數學問題，發展創新意識

圖10

評價反饋已知家、公園、書店依次在同一條直線上，公園離家 12km ，書店離家 20km .李華從家出發途中，勻速騎行 0.5h 后提速，繼續勻速騎行 0.5h 到達書店；在書店學習一段時間然后回家；回家途中，勻速騎行 0.5h 后到達公園；在公園停留 0.4h 后，繼續勻速騎行回到家.如圖11，給出的圖象反映了這個過程中李華離家的距離 ykm 與離開家的時間 xh 之間的對應關系.

圖11

請根據相關信息，解答下列問題：

（I）填表：

（Ⅱ）填空：

① 李華從家到書店途中，提速后的騎行速度為km/h ：② 李華在書店學習的時間為 h；③ 書店到公園的距離為 km ：④ 當 4?x?5.5 時，請直接寫出 y 關于 x 的函數解析式.（Ⅲ）當李華離開家 0.5h 時，他的爸爸也從家出發勻速騎行了 0.8h 直接到達了公園，鍛煉了 3.5h 后，又沿原路原速勻速騎行返回.那么途中兩人相遇時離家的距離是多少？（直接寫出結果即可）

評價反饋發揮著學生鞏固課堂知識、技能與方法的重要作用，在問題設置上應保持與學生學習活動的一致性、與評價導向的一致性.第（ⅡI）問引入的新人物運動情境分為了三個階段，需要引入一條折線描述李華的運動情況，是課堂教學活動的外延.在評價反饋的后測數據中第（Ⅲ）問的正答率約為0.8，與前測數據相比漲幅約0.3.依據評價反饋結果，本文所提出的ERTM模型在課堂教學中具有可行性，落實教學內容、攻克教學重難點有顯著效果.

3教學建議

《標準》強調以發展學生的核心素養為目標，本文聚焦于ERTM模型指導下一次函數實際應用的教學案例分析，將教學活動、學習活動、評價反饋有機融合.

學生經歷情境的問題和變式探究后，初步感知利用函數（或直線）模型描述勻速直線運動（或靜止）中變量間的對應關系，在體驗了識別模型、分析模型、應用模型解決問題后，教師巧思變式情境和問題設計，將學生的感知轉化為建模能力，使學生體驗數學建模的過程，體會數學學習的樂趣

在認知向技能轉化的進程中，教師提出變式情境，遵從數學發現由特殊到一般的規律，先引導學生探討特殊情況，利用人物運動的起始點與終止點精確描繪運動軌跡，從而有效解決情境問題.在學生解決問題的過程中，不僅掌握了將情境與函數模型進行對應轉化的技巧，還應用了數形結合思想來解決數學問題的策略，促進建模能力的提升.為了進一步發展學生的思維能力，教師將參數一般化，學生自主探究發現新的認知沖突，形成發現問題、解決問題的閉環.開放問題的設計在思維方法上繼承了進階問題的解決策略，但在應用的靈活性上實現了進一步的增強.

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作者簡介孫寶宸（1997—），男，山東武城人，中學二級教師；主要研究課堂教學、解題研究.

張洪艷（1979—），女，河北唐山人，中學高級教師;主要研究課堂教學、試題命制.

趙妍（1982—），女，天津人，中學高級教師；主要研究課堂教學、試題命制.