基于最大熵進化算法的高維多目標優(yōu)化

中圖分類號：TP18 文獻標志碼：A DOI：10.3969/j. issn.1673-3819.2025.05.009

Abstract：With theincreaseindatavolume，dimensionality，andthenumberofoptimizationobjectives，theconflictsbetweenobjectives intensify，makingthesolutionofmulti-objectiveoptimizationproblems increasinglycomplex.Thisisespecially trueforhigh-dimensionalheterogeneousmulti-objectiveoptimizationproblems，wherethedificultyofsolvingthemincreases significantly.Inthispaper，weproposeamaximumentropy-basedreferencevector-guidedevolutionaryalgorithm aimedat solving many-objectiveoptimization problems.Bycombining reference point strategies with evolutionaryalgorithm search mechanisms，the proposed methodachieves complementarycooperation between the ideal and worst reference points， therebyimprovingtheeficiencyofoptimization.Thealgorithmreliesonasetofadaptivelyselectedreference vectorsandoptimizes them using Bayesian maximumentropy，focusing on balancing diversityand convergence during theoptimization processThrough comparative experimentsonseveral benchmark problems，theproposed K-RVEAalgorithmdemonstrates significant advantages，verifying the feasibility and effectiveness of the method.

Keywords：many-objective optimization；maximum entropy；diversity；convergence

在經濟和工業(yè)領域，許多高維、異構的多目標優(yōu)化問題日益凸顯。這些問題通常表現(xiàn)為多個優(yōu)化自標之間的沖突，即改善一個目標可能會導致其他目標的惡化，因此，需要在多個目標之間找到一種平衡。這類問題被稱為“高維多目標優(yōu)化問題”（many-objectiveopti-mizationproblems，MaOPs）。與傳統(tǒng)的多目標優(yōu)化問題相比，高維多目標優(yōu)化問題一般涉及4個以上的目標函數(shù)。本文考慮以下形式的多目標優(yōu)化問題：

minimize {f₁（x），…，f_k（x）} subject to x∈S （1）其中， k 大于2，目標函數(shù)值的向量表示為 f（x）= （f₁（x），…，f_k（x））^T （非空）。可行空間 s 是決策空間 R² 的一個子集，并由決策向量 組成，此決策向量滿足所有的約束條件。目標空間 R² 中的可行區(qū)域 s 稱為用 Z 表示的可行目標集。 Z 的元素被稱為可行目標向量，用 z=（z₁，…，z_k）^T 表示，其中， z_i=f_i（x） 為目標函數(shù)值。由于這些目標是相互沖突的，通常不存在單一的最優(yōu)解，而是存在多個帕累托最優(yōu)解。在目標空間中，所有最優(yōu)解的集合被稱為帕累托前沿，在決策空間中被稱為帕累托集。

現(xiàn)有研究提出了兩大類優(yōu)化算法：多準則決策（MCDM）[1]和進化多目標優(yōu)化（EMO）[2]。MCDM方法通常通過兩種方式求解：一是將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化，找到代表性的帕累托最優(yōu)解；二是根據決策者偏好選擇最優(yōu)解，決策者通常在獲取一組帕累托最優(yōu)解后進行選擇。EMO方法主要處理大量候選解，目標是找到一組能夠代表整個帕累托前沿的解[3]

進化算法（EAs）模擬自然界的進化過程，能夠處理不同類型的決策變量，并且不依賴目標函數(shù)的凸性、可微性或約束條件[4]。盡管EAs具備處理復雜問題的優(yōu)勢，但其收斂速度較慢，且通常需要大量的函數(shù)評估，尤其在計算代價高的領域，如氣動優(yōu)化中的CFD模擬時，評估代價巨大[5]。傳統(tǒng)的多目標進化算法（MOEAs）在面對許多目標優(yōu)化問題（MaOPs）時，往往因為缺乏足夠的收斂壓力而失效。例如，依賴支配選擇的算法，如NSGA-II和SPEA2，在大多數(shù)解是非支配解時，無法有效區(qū)分解空間中的解[。此外，MOEAs在高維多目標空間中很難維持良好的種群多樣性，因為大多數(shù)連續(xù)多目標問題的帕累托前沿是分段連續(xù)的，難以近似所有的帕累托最優(yōu)解[7]

為了增強帕累托前沿的收斂壓力，已有文獻提出了3類方法：第1類通過修改支配規(guī)則（如 ε 支配和L最優(yōu)方法）提升收斂壓力，或者結合其他規(guī)則如替代距離來優(yōu)化NSGA-II的性能[8-10]。第2類為分解方法，通過將復雜的多目標問題分解為多個子問題后協(xié)同求解，其適用于目標較多的情況，尤其是在NSGA-III中將帕累托前沿劃分為子域[1]。第3類方法則不依賴支配解，而是基于性能指標進行優(yōu)化，常見如基于指標的多目標進化算法和基于超體的進化算法[12]。這三類方法在增強收斂壓力上各有優(yōu)勢：第1類方法適合低維度情況，但可能喪失多樣性；第2類方法在目標較多時效果較好，但計算開銷較大，且子問題的劃分影響優(yōu)化效果；第3類方法避免了傳統(tǒng)支配的局限，適用于復雜問題，但受限于性能指標的選擇。

因此，本文提出了結合分解和基于指標的思想來解決多目標優(yōu)化問題，即將多自標優(yōu)化問題轉化為多個單目標優(yōu)化問題，分別求解并組合成理想解。隨后，采用貝葉斯最大信息熵生成參考解，衡量每個解與理想解和最差解的距離，將其作為適應度函數(shù)，平衡種群的多樣性與收斂性。

1背景

1.1參考向量進化算法（RVEA）

解決高維多目標優(yōu)化問題的兩個主要挑戰(zhàn)是有效收斂到帕累托前沿以及在解集之間保持良好的多樣性。為應對這些挑戰(zhàn)，已有多種進化算法被提出。例如，某些方法通過使用修正的優(yōu)勢關系將許多目標優(yōu)化問題分解為多個單目標優(yōu)化問題，然后采用了基于指標的目標函數(shù)，或者使用參考點策略。有關這些算法及其在解決超過3個目標優(yōu)化問題中的應用和挑戰(zhàn)的更多細節(jié)，見文獻[13]。

參考向量進化算法（RVEA）是一種專為高維多目標優(yōu)化設計的算法。與MOEA/D[4]和NSGA-III使用權重或參考點不同，RVEA采用參考向量，并基于角度懲罰距離（APD）來平衡收斂性和多樣性。研究表明，APD在目標數(shù)目增加時，更有效地保持了兩者之間的平衡。RVEA通過參考向量將目標空間劃分為多個子空間，并在每個子空間獨立選擇個體[15-16]。其主要特點體現(xiàn)在選擇策略和參考向量自適應調整上。RVEA的4個組成部分如下：

（1）參考向量生成：如圖1所示，通過單純格設計在單位超平面上均勻分布生成參考點，并將其投影到超球面上，得到參考向量。這樣，目標空間被劃分為多個子空間。

雙目標優(yōu)化問題的參考向量目標值分布

圖1一個雙目標優(yōu)化問題的參考向量的說明性例子

（2）個體分配給參考向量：根據目標值與參考向量之間的夾角，個體被分配給對應的參考向量。通過計算個體與參考向量的銳角，將個體分配到角度最小的參考向量。

（3）亞種群個體選擇：從每個亞種群中選擇個體，選擇標準為個體收斂性（目標距離）和多樣性（與參考向量的角度）。通過APD控制搜索過程中的收斂性與多樣性。

（4）參考向量自適應：為了應對目標函數(shù)范圍不同的問題，參考向量根據目標空間中個體的位置動態(tài)調整。自適應參考向量保證了即使在范圍不同的優(yōu)化問題中，也能獲得均勻分布的非支配個體。

1.2貝葉斯最大信息熵思想

貝葉斯最大信息熵方法是一種基于S/TRF的空間或時空數(shù)據分析與預測方法。與傳統(tǒng)空間分析方法相比，該方法的主要特點是能將硬數(shù)據、軟數(shù)據及其他相關信息系統(tǒng)地整合進估計與分析過程中[17-18]。本文基于這一方法，探討其在空間隨機場（spatialrandomfield，SRF）中的應用機制，具體而言，該方法將自然過程抽象為空間尺度上不同點位隨機變量組合的場。為方便表示，用 Z（p） 代表SRF（即某自然過程），其中，p=（S_m） 表示空間位置，其包含了 M 維空間位置信息 。隨機場 Z（p） 由一系列獨立隨機變量 r（p） 組合而成，其一次實現(xiàn)可以通過采樣或模擬得到。具體來說，空間隨機場 SRF有具有 ?_m 個空間點位 p=[p₁，…，p_m] 的隨機變量 r（p）=[r₁，…，r_m] 經采樣或模擬得到Z（p）=[Z₁，…，Z_m] 。

該方法中，通用知識庫包含與隨機變量 r（p） 相關的統(tǒng)計特征，如平均值、期望值、協(xié)方差等。在預測隨機變量的概率分布時，通過最大熵原理選擇熵最大的分布作為先驗概率密度函數(shù)（pdf），如公式（2）所示：

其中， A₁^-1 為配分函數(shù)，用來將 f_?G（all） 歸一化;硬數(shù)據、軟數(shù)據和預測點的關系通過知識庫 s 組成。此方法通過拉格朗日乘子法在最大信息熵條件下計算先驗概率密度函數(shù)，約束條件包括歸一化約束、期望約束、方差約束等。信息熵 H 定義如下：

軟數(shù)據通常以區(qū)間型數(shù)據（intervaldata，ID）形式表現(xiàn)：

Z_i∈[l_i，u_i]，i=（h+1），…，m

其中， l_i，u_i 為區(qū)間的上下界。軟數(shù)據的集成用于求取

條件先驗概率密度函數(shù)，其估計模型可表示為

其中， 是歸一化常量 f_G（Z_data）= 是硬數(shù)據和軟數(shù)據的聯(lián)合先驗概率密度函數(shù) I_k（Z_κ） 為待求的先驗概率密度函數(shù)，整合結果用后驗概率的數(shù)學期望來表示：

2基于最大信息熵的多目標優(yōu)化

2.1確定整個種群空間的理想點

種群的理想點就是各個目標在解空間的最優(yōu)值，假設所有目標都是最小形式，那么，種群的理想點可以根據以下公式獲得：

Z_i^min=_s∈st^minf_i（s）

其中， s_t 為所有種群的集合， Z_i^min 為第 i 個目標的函數(shù)最小值， 為整個種群空間的理想點。

在得到理想點 后，系統(tǒng)就可以對所有個體的目標函數(shù)值進行轉化，轉化時可以按下列公式進行：

f_i^′（s）=f_i（s）-Z_i^min，?s∈s_t

通過極值點創(chuàng)建超平面，種群的極值點數(shù)目和優(yōu)化目標的數(shù)目相同，其中，第 d 維的極值點就是在第 d 個目標函數(shù)上的取值很大，其他目標函數(shù)的取值很小。本文使用權重向量 W 得到極值點，當計算第 d 維的極值點時，需要將該方向的權重設定為1，其他方向的權重設定為 10^-6 ，再使用ASF函數(shù)得到所有個體的ASF值，ASF值最小的個體即為該目標方向的極值點。其中ASF函數(shù)公式如下：

ASF（X，W）=max_i∈[1，m]f_i^′（X）/w_i，?x∈s_t

2.2 參考點設置

在隨機選擇的目標向量集合中，隨著目標數(shù)量的增加，非支配解的比例呈指數(shù)級增大。在實現(xiàn)種群多樣性時，采用如NSGA-II中的擁擠度或聚類算子等方法會帶來較大的計算和存儲開銷（時間和空間復雜度）。此外，高維空間中的收斂性問題及前沿解集均勻分布的難度也使得優(yōu)化過程變得更加復雜。參考點的引入旨在獲取種群個體與參考點之間的映射關系（即垂直距離），從而引導種群向更接近參考點的方向演化，使參考點的分布更加均勻。在解空間中選擇一定數(shù)量、均勻分布且能夠覆蓋整個目標空間的自適應調整參考點，相當于在解空間中打下了標記，指示后續(xù)的解搜索算法需要探索這些標記區(qū)域，以確保不會遺漏

任何潛在的解空間區(qū)域。

下面是本文提出的K-RVEA算法整體流程。

3 數(shù)值實驗

本文以高維多目標優(yōu)化問題中常用的DTLZ測試問題集為例，驗證所提算法的有效性。為減少隨機因素的干擾，采用反向世代距離（IGD）[15]和超體積（HV）[作為評價指標，分別衡量算法的收斂性和解集分布性。為了公平，本文將所提算法與4種基于不同策略的MOEA算法進行比較，包括ParEGO[17]、SMS-EGO^[18] 、MOEA/D-EGO[19]和RVEA[20]。這些算法代表了不同的優(yōu)化思路，如代理模型引導的進化優(yōu)化和參考向量引導的分解優(yōu)化。

DTLZ問題中的決策變量數(shù)目及參數(shù)設置參照文獻[21-22]。為確保公平，所有算法的種群大小設為100，外部檔案規(guī)模為30，最大代數(shù)為 200 。所有算法采用二進制交叉（ Pc=0.9 ）和二項式變異（ ，以保證全局搜索能力并避免早期收斂。ParEGO、SMS-EGO和MOEA/D-EGO采用高斯過程回歸（GPR）作為代理模型；RVEA則通過參考向量指導解的均勻分布。所有實驗在Matlab R2019a 中完成，運行環(huán)境為IntelCore i716.00GHz CPU和 16.0GBRAM 。每個算法在每個問題上獨立運行30次，最終結果取平均值。

3.1參數(shù)設置

在初始化階段，使用原始目標函數(shù)進行評估的個體為訓練檔案中的最大個體數(shù)， NI=11n-1 。獨立運行的數(shù)量為10。最大函數(shù)計算數(shù)為300。更新模型的個體數(shù)量， |u|=5 。參考向量的數(shù)量 N 由單純格設計[1]的因素和目標的數(shù)量決定，并在補充材料中列出。更新模型時，參數(shù) δ=0.05N ，在更新模型之前的代數(shù)W_max=20 。

RVEA使用50的種群規(guī)模，其他算法采用文獻中推薦的相同參數(shù)。通過倒代距離（IGD）評估算法性能，并設置Wilcoxon秩和檢驗在0.05顯著性水平下比較K-RVEA與其他4種算法，結果見表1、2和3。符號“↑”表示K-RVEA優(yōu)于其他算法，符號“√”表示其他算法優(yōu)于K-RVEA，符號“ ≈ ”表示差異不顯著。隨著目標數(shù)量增加，問題變得更易求解，因此，實驗中添加了WFG套件。

3.2 DTLZ問題的性能

表1展示了4種算法在25次獨立運行中的比較結果。ParEGO的實現(xiàn)僅支持4個自標，因此，超出4個目標的結果用“NA”表示。結果包括IGD的最小、平均和最大值，最佳值突出顯示。多目標進化算法的性能通常通過IGD和HV評價，但這些結果受參數(shù)設置影響較大，特別是當目標數(shù)量較多時。例如，IGD值對參考集大小敏感，不同文獻使用不同大小的參考集。本研究對目標數(shù)量使用了適當大小的參考集，并使用最差目標函數(shù)值加小閾值作為計算超體積的參考點。

表1中，K-RVEA在大部分算法中表現(xiàn)最好，除了DTLZ1和DTLZ3。原因是這兩個問題有多個局部帕累托最優(yōu)解，因此，RVEA和K-RVEA的收斂速度較慢。與SMS-EGO的比較中，選擇不同的停止標準，允許SMS-EGO進行10次并行運行并在24小時內存儲所有解決方案，作為停止準則。

3個目標和4個目標分別得到了120個和115個功能評價的結果，如表2所示。這些結果是用少量的函數(shù)評價表明，K-RVEA的性能優(yōu)于比較的算法。其中，沒有比較K-RVEA和SMS-EGO在4個目標以上范圍內的問題，因為SMS-EGO需要更多的時間來處理此類問題。

在經過300次原始函數(shù)評估后，表3展示了K-RVEA與MOEA/D-EGO在3個目標函數(shù)問題上的比較。需要指出的是，MOEA/D-EGO提供的實現(xiàn)僅適用于2個和3個目標問題。從表3可以看出，除DTLZ5外，K-RVEA在所有測試問題上的表現(xiàn)均優(yōu)于或至少與MOEA/D-EGO相當。對于DTLZ5問題，其帕累托前沿呈現(xiàn)出一條覆蓋目標空間某子空間的曲線，導致K-RVEA和RVEA算法中大部分參考向量為空，意味著沒有解決方案被分配給這些參考向量。值得注意的是，對于K-RVEA和RVEA，大約 70% 的參考向量未被分配任何解，這一現(xiàn)象導致解過程較為緩慢，且收斂到帕累托前沿的速度較慢。針對這類問題，本文在使用K-RVEA時，增加更多的參考向量可能會改善算法的表現(xiàn)。增加參考向量的數(shù)量有助于其更好地覆蓋目標空間，避免部分參考向量長時間為空，從而加快收斂速度并提高求解精度。因此，針對具有特殊帕累托前沿特征的問題，適當調整參考向量的數(shù)量和分布，可能是優(yōu)化K-RVEA算法的一個有效途徑。

表1由K-RVEA、RVEA和ParEGO獲得的IGD值的統(tǒng)計結果

Tab.1 Statistical results of IGD values obtained by K-RVEA，RVEA and ParEGO

續(xù)表2

圖2展示了DTLZ7問題中，非支配解集與通過比較算法得到的最佳IGD值的對比。從圖2可以看出，與K-RVEA和MOEA/D-EGO相比，K-RVEA和RVEA得到的非支配解更接近帕累托前沿。對于DTLZ7問題，RVEA和K-RVEA由于參考向量的適應性，展現(xiàn)出較好的潛力，能夠獲得接近帕累托前沿的解。由于運行時間限制，未對超過4個目標的優(yōu)化問題運行SMS-EGO。

此外，圖3給出了具有10個目標的DTLZ2問題的平行坐標圖。從圖3中可以看出，K-RVEA得到的解集覆蓋范圍大于RVEA得到的解集，換句話說，K-RVEA生成的解分布更均勻。RVEA解集密度較低的原因在于種群規(guī)模較小。由于最大函數(shù)評估數(shù)目相對較少，并且RVEA的性能依賴于最大代數(shù)，本文將RVEA的種群規(guī)模減少至50個。為了更令人信服地證明K-

RVEA的性能，本文測試和比較了WFG問題的算法。

4 結束語

本文提出了一種貝葉斯信息熵輔助參考向量引導進化算法，稱為K-RVEA，用于求解具有3個以上目標的高維多目標優(yōu)化問題。該算法采用貝葉斯信息熵模型來逼近每個目標函數(shù)。在使用原始、昂貴目標函數(shù)進行重新評估時，本文考慮了收斂性和多樣性的問題。為此，在RVEA中，除了引入自適應參考向量外，還加入了一組固定的、均勻分布的參考向量。貝葉斯信息熵模型更新時，根據訓練樣本與參考向量的關系選擇訓練樣本，限制了訓練代理的計算時間，并減少了參與訓練數(shù)據的數(shù)量。

圖3由K-RVEA和RVEA在10個目標上以最佳IGD值運行得到的非支配解的平行坐標圖 Fig.3Parallel coordinate plot of the non-dominated solution obtained by K-RVEAand RVEArunning at the optimal IGD values on 10 targets

本文研究了K-RVEA在具有3、4、6、8和10個目標的基準問題上的表現(xiàn)，并將其與3種最先進的進化算法進行比較。實驗結果表明，K-RVEA在給定相同數(shù)量的函數(shù)評估下，相較于比較的算法，具有更優(yōu)的整體性能。在本文的實驗中，決策變量的數(shù)量設置為10個，這與其他文獻中使用貝葉斯信息熵作為替代模型的做法一致。然而，如何使進化算法能夠處理更多決策變量的優(yōu)化問題，將是未來研究的一個重要方向。

未來的另一個研究方向是探索所提出的K-RVEA在處理約束計算昂貴優(yōu)化問題時的表現(xiàn)。此外，本文中固定了更新代理的代數(shù)，盡管實證結果表明，KRVEA在不同頻率更新代理時對基準問題的性能相對不敏感，但我們認為，適應性地調整代理更新的頻率可能會進一步提升算法性能。因此，開發(fā)自適應的代理更新方法，將是我們未來研究的關鍵任務。

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（責任編輯：張培培）