摩擦力的7個(gè)突破點(diǎn)

兩個(gè)相互接觸并擠壓的物體，當(dāng)它們發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)或具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，就會(huì)在接觸面上產(chǎn)生阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力，這種力叫作摩擦力，兩個(gè)物體間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)存在的摩擦力為靜摩擦力，有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力.摩擦力作為力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，貫穿整個(gè)力學(xué)體系，是高考物理力學(xué)部分的核心考點(diǎn).在歷年物理高考中，以摩擦力為知識(shí)考點(diǎn)的試題形式多樣，考查角度多，綜合程度高，求解難度大.筆者認(rèn)為，在深度理解摩擦力的概念和相應(yīng)規(guī)律的前提下，著力從以下7點(diǎn)來突破摩擦力，事半功倍，精準(zhǔn)高效，

1摩擦力存在性判斷

1）摩擦力產(chǎn)生的條件：a）兩物體相互接觸且接觸面粗糙;b）兩物體相互擠壓即存在彈力作用；c）兩物體間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì).三個(gè)條件缺一不可.

2）滑動(dòng)摩擦力和靜摩擦力是否存在，一般用摩擦力產(chǎn)生的條件來判斷.靜摩擦力是否存在的判斷，難點(diǎn)是判斷兩物體間是否有“相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)”，一般采用“假設(shè)法”.有些情況下采用“狀態(tài)分析法”判斷物體間是否存在靜摩擦力比較簡(jiǎn)捷.

3）靜摩擦力的方向與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反；滑動(dòng)摩擦力的方向與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反，“相對(duì)”是指相對(duì)接觸的物體而言，不一定是地面.

例1（2004年上海卷）物體 B 放在物體 A 上，A、B的上下表面均與斜面平行（如圖1）.當(dāng)二者以相同的初速度靠慣性沿光滑固定斜面 C 向上做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)（ ）.

A. A 受到 B 的摩擦力沿斜面方向向上

B. A 受到 B 的摩擦力沿斜面方向向下

C.A、B之間的摩擦力為零

D.A、B之間是否存在摩擦力取決于A，B 表面的性質(zhì)

圖1

設(shè)光滑固定斜面 c 的傾角為 θ，A，B 整體在重力和斜面支持力的作用下，沿斜面 c 一起向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度沿斜面向下.由牛頓第二定律得整體加速度大小為 a_A=a_B=gsinθ.B 受重力 .A 對(duì) B 的支持力，假設(shè) A，B 之間有靜摩擦力作用，由牛頓第二定律有 m_Bg sin θ+F_f=m_Ba_B= m_Bgsinθ ，解得 F_f=0 ，假設(shè)不成立，即 A，B 之間的摩擦力為零.故選項(xiàng)C正確.

物體的受力必須與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相符合.本題采用“狀態(tài)分析法”分析 A，B 間靜摩擦力應(yīng)滿足的關(guān)系“狀態(tài)分析法”是指利用共點(diǎn)力的平衡條件或牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合物體所處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行受力分析的方法.常用“狀態(tài)分析法”來分析物體間是否存在微小形變對(duì)應(yīng)的彈力和靜摩擦力.

2摩擦力大小的計(jì)算

在求摩擦力大小之前，要先判斷出物體受到的摩擦力是靜摩擦力還是滑動(dòng)摩擦力.1）靜摩擦力的大小一般利用共點(diǎn)力的平衡條件或牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合力的合成和分解來計(jì)算.2）滑動(dòng)摩擦力的大小首選公式F_f=μF_N 來計(jì)算.其中， μ 為動(dòng)摩擦因數(shù)，其大小與接觸面的材料、表面的粗糙程度有關(guān)； F_N 為兩接觸面間的正壓力，與物體的重力沒有必然聯(lián)系.滑動(dòng)摩擦力的大小也可以利用共點(diǎn)力的平衡條件或牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合力的合成和分解來計(jì)算.

例2（2025年山東卷）工人在河堤的硬質(zhì)坡面上固定一垂直坡面的擋板，向坡底運(yùn)送長(zhǎng)方體建筑材料.如

圖2

圖2所示，坡面與水平面夾角為 θ ，交線為 PN ，坡面內(nèi)QN與 PN 垂直，擋板平面與坡面的交線為 MN ，∠MNQ=θ. 若建筑材料與坡面、擋板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為 μ ，重力加速度大小為 g ，則建筑材料沿MN向下勻加速滑行的加速度大小為（ ）.

A. gsin²θ-μgcosθ-μgsinθcosθ B. gsinθcosθ-μgcosθ-μgsin²θ C. g sin 0cos θ-μg cos D. gcos²θ-μgcosθ-μgsin²θ

如圖3所示，作出空間位置關(guān)系輔助線，其中，平面DEHQ在豎直平面內(nèi)，平面PNHE在

圖3

水平平面內(nèi)，過 M 點(diǎn)作 MG⊥EH，G 為垂足.設(shè)∠MNG=α ，由幾何關(guān)系有

設(shè)建筑材料的質(zhì)量為 ∣m ，對(duì)其豎直面內(nèi)受力分析并建立平面直角坐標(biāo)系如圖4所示，由牛頓第二定律有Fx=mgsina-Ff-Ff=ma， F_y=F_N-mg（ Os α= 0，即 F_N=mgcosα ，其中， F_N 為坡面對(duì)建筑材料的支持力 F_N1 與擋板對(duì)建筑材料的支持力 F_N2 的合力，如圖5所示， F_N=mgcos θ ， mgsin²θ.F_il 為坡面對(duì)建筑材料的滑動(dòng)摩擦力， F_fl= μF_N1=μmg cos θ;F_f2 為擋板對(duì)建筑材料的滑動(dòng)摩擦力， ?F_f2=μF_N2=μmgsin²θ. 聯(lián)立以上方程解得 a= gsinθcosθ-μgcosθ-μgsin²θ ，故選項(xiàng)B正確.

圖4

圖5

本題求解時(shí)，也可以將建筑材料所受重力沿坡面的分力 mgsinθ ，再分解為垂直擋板向下的力 （mgsin²θ） 和沿?fù)醢逑蛳碌牧?（mgsinθcosθ） ，便于求解擋板對(duì)建筑材料的支持力和滑動(dòng)摩擦力，但這種二次分解的思維難度較大.

3摩擦力的突變

摩擦力的突變，本質(zhì)是物體受力狀態(tài)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變引發(fā)的摩擦力性質(zhì)或方向變化.常見的摩擦力突變問題，有“靜 $$ 靜\"突變、“靜 $$ 動(dòng)\"突變、“動(dòng) $$ 靜\"突變和“動(dòng) $$ 動(dòng)\"突變四類.突變前后的摩擦力沒有特定的關(guān)系，一般要具體問題具體分析.

例3 一個(gè)物塊靠著豎直墻放置，由靜止釋放物塊的同時(shí)對(duì)其作用一個(gè)水平推力 F ，如圖6所示.物塊與豎直墻壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)恒定，力F 的大小按 F=kt 規(guī)律由零逐漸增大，物體下滑一段距離后停止運(yùn)動(dòng).下列選項(xiàng)中，能反映物塊在力 F 作用下所受摩擦力F_f"的大小隨時(shí)間 Ψ_t"變化關(guān)系的圖像是（ ）.

圖6

對(duì)物塊受力分析如圖7所示，由牛頓第二定律有mg-F_f=ma ， F_N=F ，而 F=kt .F_f=μF_N ，得 F_f=μkt ，

圖7

當(dāng)物塊加速度為零時(shí)，有 ，解得 t= ，物塊速度最大，此時(shí) F_f=mg .根據(jù) 可知，加速度與時(shí)間為一次函數(shù)關(guān)系，且加速過程與減速過程對(duì)稱，所以物塊運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間 ，此時(shí) F_f=2mg ，故選項(xiàng)D正確.

題干選項(xiàng)中的 F_f^-t 圖像沒有標(biāo)注準(zhǔn)確的坐標(biāo)值，增加了答案的迷惑性，借助受力分析和牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以得出物塊運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是達(dá)到速度最大時(shí)間的2倍.

4全反力和摩擦角

1）全反力：接觸面作用于物體的摩擦力與支持力的合力稱為全反力，一般用 R 表示，如圖8所示.2）摩擦角：物體處于滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，此時(shí)全反力與支持力的夾角達(dá)到最大，該角度稱為摩擦角，一般用 φ 表示，且tan φ=μ_s（μ_s 為最大靜摩擦因數(shù)）.若認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則tan φ=μ（μ） 為動(dòng)摩擦因數(shù)）.

圖8

例4如圖9所示，一固定斜面傾角為 θ=30^° ，將一質(zhì)量為 Ψ_m 的物塊輕放在斜面上，沿斜面向下輕推一下，撤去力后它正好能沿斜面勻速下滑.如果用與斜面成 α 角的力 F 斜向右上方拉物塊，物塊恰好能勻速上滑.假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，物塊與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同.重力加速度為 g .當(dāng) α 為多大時(shí)， F 有最小值？此時(shí) F 的最小值為多大？

圖9

當(dāng)物塊在固定斜面上勻速下滑時(shí)，由平衡條件有mgsinθ=μmgcos0，得μ=tan 30°=3

當(dāng)物塊在拉力 F 作用下沿固定斜面勻速上滑時(shí)，對(duì)物塊受力分析如圖10所示.作出物塊沿斜面上滑時(shí)的全反力 R ，且tan φ=μ=tan 30° ，即 φ=30^° .將表示拉力F 、全反力 R 的有向線段平移，結(jié)合共點(diǎn)力的平衡條件，作出重力 mg 、拉力 F 、全反力 R 構(gòu)成的力學(xué)矢量三角形如圖11所示.借助圖解法分析可知，當(dāng)拉力 F 與全反力 R 垂直，即 α=φ=30^° 時(shí)，拉力 F 有最小值，且Fmn=mgsi （0+）=√m 2mg.

圖10

圖11

本題也可以對(duì)物塊沿固定斜面勻速上滑時(shí)受力分析、列平衡方程求解，之后剩下的就是利用數(shù)學(xué)知識(shí)（輔助角的三角函數(shù)公式）求拉力 F 的最小值.

5 摩擦力的沖量

談沖量時(shí)必須明確哪個(gè)力在哪段時(shí)間（對(duì)應(yīng)過程）里作用的沖量.1）摩擦力為恒力時(shí)，其沖量 I_Δf= F_f?_t ，摩擦力為變力時(shí)，一般用動(dòng)量定理或 F-t 圖像計(jì)算摩擦力的沖量.2）計(jì)算摩擦力的沖量時(shí)，要注意摩擦力 F_f 的大小與作用的時(shí)間 Ψ_t 對(duì)應(yīng)一致.

一例5如圖12所示，質(zhì)量足夠大的長(zhǎng)平板在水平方向上以速率 v₀ 向右勻速運(yùn)動(dòng)，板上方 h 高處有一小球從靜止自由下落并與平板發(fā)生碰撞.小球與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù) μ=0.1 ，小球反彈回的高度假設(shè)仍為 h ，試確定圖中小球反彈拋射角 α 的正切值tan α 與 之間的函數(shù)關(guān)系.

圖12

小球自由下落 h 高度，與長(zhǎng)平板碰撞前后豎

直方向分速度大小相等，且為" v =根號(hào)下 2 g h ".設(shè)小球質(zhì)量為 Ψ_m ，在小球與長(zhǎng)平板碰撞相互作用過程中，長(zhǎng)平板對(duì)小球的彈力為 F_N ，水平方向滑動(dòng)摩擦力為 F_f .小球碰后水平方向分速度為 v_# .取任意微元時(shí)間 ，在這段時(shí)間里對(duì)小球應(yīng)用動(dòng)量定理.在豎直方向上有 F_Ni?Δt_i=mΔ（v_i⊥） ，故碰撞全過程有 .在水平方向有 F_fi?Δt_i= mΔ（v_i// ），故碰撞全過程有

分兩種情況討論如下：

i）小球在反彈離開長(zhǎng)平板前，水平方向已與長(zhǎng)平板共速，即 v_//=v₀ ，故小球反彈拋射角 α 的正切值tan

ii）小球在反彈離開長(zhǎng)平板前，水平方向沒有與長(zhǎng)平板共速，則 ，即 v_//= 2μv_⊥ ，故小球反彈拋射角 α 的正切值tan 令 tan ，解得 綜上所述，可得tan α 與 的函數(shù)關(guān)系為

本題求解中，認(rèn)為長(zhǎng)平板對(duì)小球的彈力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小球的重力，忽略了重力的沖量.另外，要考慮小球離開長(zhǎng)平板時(shí)在水平方向是否與長(zhǎng)平板共速，這是討論得出tan α 與 的函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵.

6 摩擦力的功

在不同的問題情境中，作用于物體的摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功.1）摩擦力為恒力時(shí)，其功 .其中， F_f 表示物體所受到摩擦力的大小，表示物體所發(fā)生位移的大小， α 為摩擦力 F_f 和位移 ξ_l 方向之間的夾角.2）摩擦力為變力時(shí)，其功一般運(yùn)用動(dòng)能定理、 F_f^-x 圖像或微元法進(jìn)行計(jì)算.3）一對(duì)相互作用的滑動(dòng)摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的總功W_f=-F_f?Δx_ABX ，一對(duì)相互作用的靜摩擦力對(duì)系統(tǒng)做的總功為零.

例6如圖13所示，質(zhì)量為 Σ_m 的小車以恒定速率 υ 沿半徑為 R 的豎直圓軌道運(yùn)動(dòng).已知小車與豎直圓軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ ，試求：小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)的過程中克服摩擦力做的功.

圖13

小車沿豎直圓軌道從最低點(diǎn)勻速率運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，重力沿半徑方向的分力是變力，因而軌道對(duì)小車的支持力是變力，故摩擦力也是變力，可以采用微元法求小車克服摩擦力做的功.

如圖14所示，將小車運(yùn)動(dòng)的半個(gè)圓周均勻細(xì)分成 n（n∞）. 份，在每段長(zhǎng) 的圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為軌道對(duì)小車的支持力F_Ni 不變，因而小車所受的摩擦力 F_fi 不變.

圖14

當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到如圖14所示的任意位置 P_i 處圓弧時(shí)，有 則

當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到圖14所示的與 P_i 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的 P_i^′ 處圓弧時(shí)，有 則

由此可知，小車在關(guān)于水平直徑對(duì)稱的軌道上的兩微元段的摩擦力做功之和為

故小車沿半圓周從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，摩擦力做的總功為

即小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)的過程中克服摩擦力做的功為 πμmv²

微元法是指在處理問題時(shí)，從對(duì)事物（研究對(duì)象、物理過程）的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體目的的數(shù)學(xué)物理分析方法.微元法是破解物理難題的利器，一般有“分割、近似、累加求和、取極限”四個(gè)基本步驟，選用的重要依據(jù)是微元計(jì)算結(jié)果能夠線性疊加.

7 摩擦生熱

1）在存在相對(duì)滑動(dòng)摩擦的系統(tǒng)內(nèi)，系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生熱能，摩擦生熱在數(shù)值上等于滑動(dòng)摩擦力與相對(duì)位移大小的乘積，寫成表達(dá)式 Q=F_f?Δx_?ffx .其中 F_f 指滑動(dòng)摩擦力的大小， Δx_#X： 指發(fā)生摩擦的物體間的相對(duì)位移的大小．2）由 Q=F_f?Δx_?ff?J 可知，如果Δx_####=0 ，則 Q=0 ，可見，在僅存在靜摩擦作用的系統(tǒng)內(nèi)，不存在摩擦生熱.

例7如圖15-甲所示，傾斜的傳送帶以恒定的速率逆時(shí)針運(yùn)行.在 t=0 時(shí)刻，將質(zhì)量為 1.0kg 的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）無初速度地放在傳送帶的最上端 A 點(diǎn)，經(jīng)過 1.0s ，物塊從最下端的 B 點(diǎn)離開傳送帶.取沿傳送帶向下為速度的正方向，則物塊對(duì)地速度隨時(shí)間變化的圖像如圖15-乙所示（ g 取 10m?s^-2 ）.求：

圖15

（1）物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)；

（2）物塊從 A 到 B 的過程中，傳送帶對(duì)物塊做的功以及物塊與傳送帶之間的摩擦生熱

（1）由 v-t 圖像知，物塊在 0～0.5s（t₁= 0.5 s）時(shí)間里以加速度 a₁ 做初速度 v₀=0 的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且加速度 ，末速度 v₁=4m?s^-1 ，傳送帶逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)的速率v_1ξ=4m?s^-1 .對(duì)物塊受力分析，由牛頓第二定律有a₁=g（sinθ+μcosθ），

物塊在 0.5～1.0s（t₂=0.5s） 時(shí)間里以初速度v₁=4m?s^-1 、末速度 v₂=5m?s^-1 做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且加速度 .對(duì)物塊受力分析，由牛頓第二定律有 a₂=g（sinθ-μcosθ）

聯(lián)立以上方程解得

（2）在 0～0.5 s時(shí)間里，物塊對(duì)地位移為 x₁= U1t1=1m，傳送帶對(duì)地的位移為x’=U傳t1=2m，則摩擦力對(duì)物塊做功 W₁=μmg cos θ?_x1=3.0J ，摩擦生熱Qi=μmgcos θ?（x₁^′-x₁）=3.0J

在后0.5s時(shí)間內(nèi)，物塊對(duì)地位移為 x₂= ，傳送帶對(duì)地的位移為 x₂^′= ，則摩擦力對(duì)物塊做功 W₂=-μmgcosθ ：（20 x₂=-6.75J ，摩擦生熱 Q₂=μmg cos θ?（x₂-x₂^′）= 0. 75 J.

所以，傳送帶對(duì)物塊做的總功 W=W₁+W₂= -3.75J ，摩擦生熱 Q=Q₁+Q₂=3.75J

“物塊一傳送帶”模型是高中物理經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模型之一，其相關(guān)問題有兩個(gè)常見設(shè)問角度：1）動(dòng)力學(xué)角度；2）能量角度.本題設(shè)問就是基于以上兩個(gè)角度.在“物塊一傳送帶”模型的各類具體情境中，像本題中“摩擦生熱等于傳送帶對(duì)物塊做的總功絕對(duì)值”不是必然結(jié)論，應(yīng)獨(dú)立進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

以上關(guān)于摩擦力的7個(gè)突破點(diǎn)，既是對(duì)與摩擦力相關(guān)的7類典型問題的系統(tǒng)梳理，又構(gòu)建了完整的摩擦力認(rèn)知框架，有助于理解和掌握有關(guān)摩擦力的概念和規(guī)律，發(fā)展科學(xué)思維、培養(yǎng)物理關(guān)鍵能力.

（完）