2025年高考題中的彈簧連接體問題剖析

輕彈簧作為高中物理力學部分的重要模型，不僅能夠實現物體間的關聯，還具備能量儲存的功能.以彈簧為載體構建的連接體問題，能夠將牛頓運動定律、胡克定律、能量守恒定律、機械能守恒定律和動量守恒定律等多個知識點有機串聯，題目綜合性強，全面考查學生對知識的綜合運用能力.因此，彈簧連接體問題也一直是歷年各地高考的高瀕考點.本文以2025年全國各地高考物理試題中涉及彈簧連接體的題目為切入點，深入剖析彈簧連接體問題的考查要點，并相應提出解題策略，旨在為同學們的復習備考提供有力支持.

1運用動力學方法解決彈簧連接體問題

考點1彈力的大小和方向

當彈簧發生形變（彈性限度內）時，彈簧上各部分會產生大小均勻的彈力，同時也會對兩端與其接觸的物體產生彈力，彈力的大小與彈簧的形變量成正比，即 ，彈力的方向與彈簧形變的方向相反，即當彈簧發生拉伸形變時，彈力指向彈簧收縮的方向，當彈簧發生壓縮形變時，彈力指向彈簧伸長的方向.

考點2彈力的瞬時性

彈簧彈力屬于接觸力，若彈簧的一端和其他物體脫離接觸，或處于拉伸狀態的彈簧突然被剪斷，物體所受彈力會立即變為零.在彈簧的兩端都保持與其他物體接觸的條件下，當物體所受的外力突然改變（如繩斷裂、接觸面脫離等），由于彈簧形變明顯，形變量的改變需要一定時間，物體所受彈簧彈力在這一瞬間保持不變.

考點3彈簧振子的受力和運動

在彈簧連接體中，若物體受到的合力 方向始終與 x^′ 相反， x^′ 為物體到平衡位置的位移，則彈簧與物體組成彈簧振子模型，物體做簡諧運動，其位移、速度、加速度和運動時間均呈周期性、往復性、對稱性變化.簡諧運動的周期 ，只與物體的質量和彈簧的勁度系數有關.

例1 （多選）（2025年甘肅卷）如圖1所示，輕質彈簧上端固定，下端懸掛質量為2m 的小球 A ，質量為 Ψ_m 的小球 B 與 A 用細線相連，整個系統處于靜止狀態.彈簧勁度系數為 k ，重力加速度為 g .現剪斷細線，下列說法正確的是（ ）.

A.小球 A 運動到彈簧原長處的速度最大B.剪斷細線的瞬間，小球 A 的加速度大小為 C.小球 A 運動到最高點時，彈簧的伸長量為 D.小球 A 運動到最低點時，彈簧的伸長量

剪斷細線之前 ，剪斷細線瞬間彈簧彈力不變，此時對小球 A 由牛頓第二定律得 F_iji-2mg=2ma ，解得小球 A 的加速度大小 a= 故 B正確.剪斷細線后，由于彈力大于小球A 的重力，小球 A 先向上做加速運動，隨著彈力的減小，向上的加速度減小，當加速度為零時小球 A 速度最大，此時彈力等于重力，彈簧處于拉伸狀態，故A錯誤.剪斷細線之前彈簧伸長量為 3mg，剪斷細線后小球A 在豎直方向做簡諧振動，在平衡位置時彈簧伸長量為 ，即振幅為 ，由對稱性可得小球 A 運動到最高點時，彈簧伸長量為 ，故C正確.由上述分析可知，小球 A 運動到最低點時，彈簧伸長量為 ，故D錯誤.

例2（多選）（2025年河北卷）如圖2所示，截面為等腰三角形的光滑斜面體固定在水平地面上，兩個相同的小物塊通過不可伸長的細繩跨過頂端的輕質定滑輪，靜止在斜面體兩側，細繩與斜面平行.此外，兩物塊分別用相同的輕質彈簧與斜面體底端相連，且彈簧均處于原長.將左側小物塊沿斜面緩慢拉下一小段距離，然后松開.彈簧始終在彈性限度內，斜面傾角為 θ 不計摩擦和空氣阻力.在兩物塊運動過程中，下列說法正確的是（ ）.

圖2

A.左側小物塊沿斜面做簡諧運動B.細繩的拉力隨左側小物塊加速度的增大而增大C.右側小物塊在最高位置的加速度與其在最低位置的加速度大小相等D.若 θ 增大，則右側小物塊從最低位置運動到最高位置所用的時間變長

對生側小物塊，議舊對面間！的應佗判a，山牛頓第二定律得 T+kx-mgsinθ=ma ，對右側小物塊，由牛頓第二定律得 mgsinθ+kx-T=ma，聯立可得 2kx=2ma=2F ，即左側小物塊受到的合外力 F=ma=kx ，方向與位移方向相反，物塊做簡諧運動，故A正確.根據以上分析， 2T=2mgsinθ ，可得細繩的拉力保持不變，故B錯誤.同理可知，右側小物塊也做簡諧運動，根據對稱性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正確.彈簧振子的振動周 m，與斜面傾角無關，故D錯誤.

例1中小球在彈簧的作用下在豎直面內做簡諧運動，例2中兩物塊在兩側彈簧的共同作用下在斜面上做簡諧運動.解決此類問題的關鍵是找準兩個對稱點：1）在研究彈簧彈力時， F_??=kx ，k為彈簧的勁度系數， x 為彈簧的形變量，形變量越大，彈力越大，當彈簧的壓縮量和伸長量相等時，彈力大小相等，方向相反.2）在簡諧運動中滿足 F_?=k^′x^′，k^′ 為比例系數， x^′ 為物塊相對于平衡位置的位移，物塊所受合外力以平衡位置為對稱點，物塊離平衡位置越遠，合外力越大，當物塊在平衡位置兩側且與平衡位置的距離相等時，合外力大小相等，方向相反.

2運用功能關系解決彈簧連接體問題

考點4彈簧的彈力做功和彈性勢能

彈簧是一種能量轉移媒介，當彈簧彈力做正功時，彈性勢能減小；當彈簧彈力做負功時，彈性勢能增加.彈簧彈性勢能的表達式為 .計算彈簧的彈力做功的方法有：1）由于 F_PP 隨位移呈線性變化，可以先求平均力，再用功的定義式 進行計算;2）作出 F_gh-x 圖像，圖線與 x 軸所夾圖形的面積，即為彈簧彈力做功的大小;3）根據功能關系 W_yfl= 進行計算；4）根據動能定理、能量守恒定律或機械能守恒定律間接計算彈簧彈力所做的功.

考點5彈簧彈力的沖量

彈簧彈力的沖量大小為 ，由于 為變力，通常采用動量定理來間接計算 I_?? 的大小，方向始終與 F_?? 方向相同.

例3（多選）（2025年云南卷）如圖3所示，傾角為 θ 的固定斜面，其頂端固定一勁度系數為 k 的輕質彈簧，彈簧處于原長時下端位于 o 點.質量為 m 的滑塊 Q （視為質點）與斜面間的動摩擦因數μ=tanθ .過程 I：Q 以速度 O₀"從斜面底端 P 點沿斜面向上運動恰好能滑至 O 點；過程Ⅱ：將 Q 連接在彈簧的下端并拉至 P 點由靜止釋放， Q 通過 M 點（圖中未畫出）時速度最大，過 O 點后能繼續上滑.彈簧始終在彈性限度內，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，忽略空氣阻力，重力加速度為 g .則（ ）.

圖3

A. P?M 兩點之間的距離為 B.過程 I 中， Q 在從 P 點單向運動到 O 點的過程中損失的機械能為 （204號C.過程 I 中， Q 從 P 點沿斜面向上運動的最大位移為 D.連接在彈簧下端的 Q 無論從斜面上何處釋放，最終一定靜止在 OM （含 _O，M 點）之間

設 PO 的距離為 L ，對過程I，由動能定理得 mu.設MO的距離為 L_l ，過程 I 中，當 Q 速度最大時，由平衡條件得 kL₁=mgsinθ+μmgcosθ，P_νM 兩點之間的距離為 L₂=L-L₁ ，聯立解得 L₂= ，故A錯誤.由功能關系可得，過程I 中， Q 在從 P 點單向運動到 O 點的過程中 Q 和彈簧組成的系統損失的機械能 ΔE=μmg cos θ?L ，結合-mgsin θ?L-μmg cos mu2，解得△E=4m，但在過程Ⅱ中單獨對于Q而言機械能是增加的，故B錯誤.設過程 I 中， Q 從 P 點沿斜面向上運動的最大位移為 Ψ_x ，根據能量守恒定律可得 mg sin θ?_X+μmg cos ，再結合 mu2，解得x= ，故C正確.無論 Q 從何處釋放， Q 在斜面上運動過程中，彈簧與 Q 初始時的勢能變為摩擦熱， Q 在 M 點時，滿足 kL₁=mgsinθ+μmgcosθ Q 在 O 點時，滿足 mgsinθ=μmgcosθ ，所以在 OM （含 _O，M 點）之間速度為零時， Q 將靜止，故D正確.

例4 （2025年黑吉遼蒙卷）如圖4所示，光滑絕緣水平面 AB 與豎直面內光滑絕緣半圓形軌道 BC 在 B 點相切，軌道半徑為 r ，圓心為o，O，A 間距離為 3r .原長為 2r 的輕質絕緣彈簧一端固定于 O 點，另一端連接一帶正電的物塊.空間存在水平向右的勻強電場，物塊所受的電場力與重力大小相等.物塊在 A 點左側釋放后，依次經過 A，B，C 三點時的動能分別為 E_kA、E_kB、E_kC ，則（ ）.

A. E_kAkBkC B. E_kBkAkC

C. E_kAkCkB D. E_kCkAkB

由題意可得 A 點彈簧的伸長量為 r，B 點和C 點彈簧的壓縮量為 r ，即三個位置彈簧的 彈性勢能相等.物塊由 A 點運動到 B 點的過程中彈簧彈力和重力做功都為零，電場力做正功，動能增加，可得 E_kBgt;E_kA .同理物塊由 B 點運動到 C 點的過程中彈簧彈力和電場力做功都為零，重力做負功，動能減小，可得 E_kBgt;E_kC .物塊由 A 點運動到 C 點全過程由在一起，圓動能定理得 qEl_AB-mgl_BC=E_kC-E_kAgt;0 ，因此有

.故C正確.

例3中有重力、彈簧彈力、摩擦力做功，涉及滑塊動能、重力勢能、彈簧彈性勢能和系統摩擦熱的轉化.例4中有重力、彈簧彈力、電場力做功，涉及物塊動能、重力勢能、電勢能和彈簧彈性勢能的轉化.解決此類涉及多個力做功、多種能量轉化的綜合問題的方法是：1）根據初、末位置彈簧的形變情況計算出初、末位置彈簧的彈力，然后計算出此過程彈簧彈力所做的功，再結合其他力做功的情況，列出動能定理表達式進行求解；2）根據初、末位置彈簧的形變量計算出初、末位置彈簧的彈性勢能，再結合能量轉化情況，列出能量守恒定律的表達式進行求解.

3運用守恒觀點解決彈簧連接體問題

考點6彈簧連接系統的機械能守恒

對于物體和彈簧組成的系統而言，彈簧彈力屬于內力，若系統外部除重力外沒有其他力做功（或其他力做功代數和為零），系統內部有彈簧彈力做功，動能與勢能相互轉化，則此系統的機械能守恒，

考點7彈簧連接系統的動量守恒

對于物體和彈簧組成的系統而言，彈簧彈力屬于內力，若此系統不受外力或者所受外力矢量和為零，則此系統的總動量守恒.

（2025年全國卷）如圖5所示，物塊 P 固定在水平面上，其上表面有半徑為 R 的 圓弧軌道 P 右端與薄板 Q 連在一起，圓弧軌道與 Q 上表面平滑連接.一輕彈簧的右端固定在 Q 上，另一端自由.質量為 Ψ_m"的小球自圓弧頂端 A 點上方的 B 點自由下落，落到 A 點后沿圓弧軌道下滑，小球與彈簧接觸后，當速度減小至剛接觸時的""時彈簧的彈性勢能為 2mgR ，此時斷開 P 和Q 的連接，從靜止開始向右滑動. g 為重力加速度大小，忽略空氣阻力，圓弧軌道及 Q 的上、下表面均光滑，彈簧長度的變化始終在彈性限度內.

圖5

（1）求小球從落人圓弧軌道至離開圓弧軌道，重力對其做的功.

（2）求小球與彈簧剛接觸時速度的大小及B、A兩點間的距離.

（3）欲使 P 和 Q 斷開后，彈簧的最大彈性勢能等于 2. 2mgR，Q 的質量應為多大？

（4）欲使 P 和 Q 斷開后， Q 的最終動能最大， Q 的質量應為多大？

（1）小球從落入圓弧軌道至離開圓弧軌道，重力對其做的功為 W_G=mgR

（2）設小球與彈簧剛接觸時速度的大小為 v₀"，對小球和彈簧組成的系統由機械能守恒定律得"""，同時對小球從開始下落到離開圓弧軌道由機械能守恒定律得""，聯立解得"

（3）彈簧達到最大彈性勢能時，小球與 Q 共速，設Q 的質量為 M ，對小球和 Q 組成的系統由動量守恒定律和機械能守恒定律得"?""，聯立解得 M=4m ：

（4）對小球和 Q 組成的系統由機械能守恒定律可得，要使 Q 的最終動能最大，需滿足小球的速度剛好為零時，彈簧剛好恢復原長.設此時 Q 的質量為 M^′，Q 的最大速度為 v_m"，由動量守恒定律和機械能守恒定律""Mu，解得M=1， 9m.

例5中斷開 P 和 Q 的連接后，兩個物體與彈簧組成的系統滿足機械能守恒定律、動量守恒定律.解決此類問題的關鍵是找準兩個特殊狀態：1）當兩物體共速時，彈簧形變量最大，彈簧的彈性勢能最大，兩物體的總動能最小；2）當彈簧恢復原長時，彈簧的彈性勢能為零，兩物體的總動能恢復到初始狀態.

本文從動力學方法、功能關系和守恒觀點三個方面出發，幫助學生厘清彈簧連接體問題的七個重要考點.但在很多題目中，這三個方面不是孤立地單獨呈現，往往一個題目涉及多物體、多過程的運動、受力、能量轉化等多方面的綜合考量，這就需要學生熟練運用以上做題方法，并且做到融會貫通，舉一反三.

（完）