摩擦力的7個突破點

兩個相互接觸并擠壓的物體，當它們發(fā)生相對運動或具有相對運動趨勢時，就會在接觸面上產(chǎn)生阻礙相對運動或相對運動趨勢的力，這種力叫作摩擦力，兩個物體間有相對運動趨勢時存在的摩擦力為靜摩擦力，有相對運動時存在的摩擦力為滑動摩擦力.摩擦力作為力學基礎(chǔ)知識點，貫穿整個力學體系，是高考物理力學部分的核心考點.在歷年物理高考中，以摩擦力為知識考點的試題形式多樣，考查角度多，綜合程度高，求解難度大.筆者認為，在深度理解摩擦力的概念和相應(yīng)規(guī)律的前提下，著力從以下7點來突破摩擦力，事半功倍，精準高效，

1摩擦力存在性判斷

1）摩擦力產(chǎn)生的條件：a）兩物體相互接觸且接觸面粗糙;b）兩物體相互擠壓即存在彈力作用；c）兩物體間有相對運動或相對運動趨勢.三個條件缺一不可.

2）滑動摩擦力和靜摩擦力是否存在，一般用摩擦力產(chǎn)生的條件來判斷.靜摩擦力是否存在的判斷，難點是判斷兩物體間是否有“相對運動趨勢”，一般采用“假設(shè)法”.有些情況下采用“狀態(tài)分析法”判斷物體間是否存在靜摩擦力比較簡捷.

3）靜摩擦力的方向與物體相對運動趨勢的方向相反；滑動摩擦力的方向與物體相對運動的方向相反，“相對”是指相對接觸的物體而言，不一定是地面.

例1（2004年上海卷）物體 B 放在物體 A 上，A、B的上下表面均與斜面平行（如圖1）.當二者以相同的初速度靠慣性沿光滑固定斜面 C 向上做勻減速運動時（ ）.

A. A 受到 B 的摩擦力沿斜面方向向上

B. A 受到 B 的摩擦力沿斜面方向向下

C.A、B之間的摩擦力為零

D.A、B之間是否存在摩擦力取決于A，B 表面的性質(zhì)

圖1

設(shè)光滑固定斜面 c 的傾角為 θ，A，B 整體在重力和斜面支持力的作用下，沿斜面 c 一起向上做勻減速運動，加速度沿斜面向下.由牛頓第二定律得整體加速度大小為 a_A=a_B=gsinθ.B 受重力 .A 對 B 的支持力，假設(shè) A，B 之間有靜摩擦力作用，由牛頓第二定律有 m_Bg sin θ+F_f=m_Ba_B= m_Bgsinθ ，解得 F_f=0 ，假設(shè)不成立，即 A，B 之間的摩擦力為零.故選項C正確.

物體的受力必須與物體的運動狀態(tài)相符合.本題采用“狀態(tài)分析法”分析 A，B 間靜摩擦力應(yīng)滿足的關(guān)系“狀態(tài)分析法”是指利用共點力的平衡條件或牛頓運動定律結(jié)合物體所處的運動狀態(tài)進行受力分析的方法.常用“狀態(tài)分析法”來分析物體間是否存在微小形變對應(yīng)的彈力和靜摩擦力.

2摩擦力大小的計算

在求摩擦力大小之前，要先判斷出物體受到的摩擦力是靜摩擦力還是滑動摩擦力.1）靜摩擦力的大小一般利用共點力的平衡條件或牛頓運動定律結(jié)合力的合成和分解來計算.2）滑動摩擦力的大小首選公式F_f=μF_N 來計算.其中， μ 為動摩擦因數(shù)，其大小與接觸面的材料、表面的粗糙程度有關(guān)； F_N 為兩接觸面間的正壓力，與物體的重力沒有必然聯(lián)系.滑動摩擦力的大小也可以利用共點力的平衡條件或牛頓運動定律結(jié)合力的合成和分解來計算.

例2（2025年山東卷）工人在河堤的硬質(zhì)坡面上固定一垂直坡面的擋板，向坡底運送長方體建筑材料.如

圖2

圖2所示，坡面與水平面夾角為 θ ，交線為 PN ，坡面內(nèi)QN與 PN 垂直，擋板平面與坡面的交線為 MN ，∠MNQ=θ. 若建筑材料與坡面、擋板間的動摩擦因數(shù)均為 μ ，重力加速度大小為 g ，則建筑材料沿MN向下勻加速滑行的加速度大小為（ ）.

A. gsin²θ-μgcosθ-μgsinθcosθ B. gsinθcosθ-μgcosθ-μgsin²θ C. g sin 0cos θ-μg cos D. gcos²θ-μgcosθ-μgsin²θ

如圖3所示，作出空間位置關(guān)系輔助線，其中，平面DEHQ在豎直平面內(nèi)，平面PNHE在

圖3

水平平面內(nèi)，過 M 點作 MG⊥EH，G 為垂足.設(shè)∠MNG=α ，由幾何關(guān)系有

設(shè)建筑材料的質(zhì)量為 ∣m ，對其豎直面內(nèi)受力分析并建立平面直角坐標系如圖4所示，由牛頓第二定律有Fx=mgsina-Ff-Ff=ma， F_y=F_N-mg（ Os α= 0，即 F_N=mgcosα ，其中， F_N 為坡面對建筑材料的支持力 F_N1 與擋板對建筑材料的支持力 F_N2 的合力，如圖5所示， F_N=mgcos θ ， mgsin²θ.F_il 為坡面對建筑材料的滑動摩擦力， F_fl= μF_N1=μmg cos θ;F_f2 為擋板對建筑材料的滑動摩擦力， ?F_f2=μF_N2=μmgsin²θ. 聯(lián)立以上方程解得 a= gsinθcosθ-μgcosθ-μgsin²θ ，故選項B正確.

圖4

圖5

本題求解時，也可以將建筑材料所受重力沿坡面的分力 mgsinθ ，再分解為垂直擋板向下的力 （mgsin²θ） 和沿擋板向下的力 （mgsinθcosθ） ，便于求解擋板對建筑材料的支持力和滑動摩擦力，但這種二次分解的思維難度較大.

3摩擦力的突變

摩擦力的突變，本質(zhì)是物體受力狀態(tài)或相對運動狀態(tài)改變引發(fā)的摩擦力性質(zhì)或方向變化.常見的摩擦力突變問題，有“靜 $$ 靜\"突變、“靜 $$ 動\"突變、“動 $$ 靜\"突變和“動 $$ 動\"突變四類.突變前后的摩擦力沒有特定的關(guān)系，一般要具體問題具體分析.

例3 一個物塊靠著豎直墻放置，由靜止釋放物塊的同時對其作用一個水平推力 F ，如圖6所示.物塊與豎直墻壁間的動摩擦因數(shù)恒定，力F 的大小按 F=kt 規(guī)律由零逐漸增大，物體下滑一段距離后停止運動.下列選項中，能反映物塊在力 F 作用下所受摩擦力F_f"的大小隨時間 Ψ_t"變化關(guān)系的圖像是（ ）.

圖6

對物塊受力分析如圖7所示，由牛頓第二定律有mg-F_f=ma ， F_N=F ，而 F=kt .F_f=μF_N ，得 F_f=μkt ，

圖7

當物塊加速度為零時，有 ，解得 t= ，物塊速度最大，此時 F_f=mg .根據(jù) 可知，加速度與時間為一次函數(shù)關(guān)系，且加速過程與減速過程對稱，所以物塊運動的最長時間 ，此時 F_f=2mg ，故選項D正確.

題干選項中的 F_f^-t 圖像沒有標注準確的坐標值，增加了答案的迷惑性，借助受力分析和牛頓運動定律可以得出物塊運動的總時間是達到速度最大時間的2倍.

4全反力和摩擦角

1）全反力：接觸面作用于物體的摩擦力與支持力的合力稱為全反力，一般用 R 表示，如圖8所示.2）摩擦角：物體處于滑動的臨界狀態(tài)時，靜摩擦力達到最大值，此時全反力與支持力的夾角達到最大，該角度稱為摩擦角，一般用 φ 表示，且tan φ=μ_s（μ_s 為最大靜摩擦因數(shù)）.若認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則tan φ=μ（μ） 為動摩擦因數(shù)）.

圖8

例4如圖9所示，一固定斜面傾角為 θ=30^° ，將一質(zhì)量為 Ψ_m 的物塊輕放在斜面上，沿斜面向下輕推一下，撤去力后它正好能沿斜面勻速下滑.如果用與斜面成 α 角的力 F 斜向右上方拉物塊，物塊恰好能勻速上滑.假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物塊與斜面間動摩擦因數(shù)處處相同.重力加速度為 g .當 α 為多大時， F 有最小值？此時 F 的最小值為多大？

圖9

當物塊在固定斜面上勻速下滑時，由平衡條件有mgsinθ=μmgcos0，得μ=tan 30°=3

當物塊在拉力 F 作用下沿固定斜面勻速上滑時，對物塊受力分析如圖10所示.作出物塊沿斜面上滑時的全反力 R ，且tan φ=μ=tan 30° ，即 φ=30^° .將表示拉力F 、全反力 R 的有向線段平移，結(jié)合共點力的平衡條件，作出重力 mg 、拉力 F 、全反力 R 構(gòu)成的力學矢量三角形如圖11所示.借助圖解法分析可知，當拉力 F 與全反力 R 垂直，即 α=φ=30^° 時，拉力 F 有最小值，且Fmn=mgsi （0+）=√m 2mg.

圖10

圖11

本題也可以對物塊沿固定斜面勻速上滑時受力分析、列平衡方程求解，之后剩下的就是利用數(shù)學知識（輔助角的三角函數(shù)公式）求拉力 F 的最小值.

5 摩擦力的沖量

談沖量時必須明確哪個力在哪段時間（對應(yīng)過程）里作用的沖量.1）摩擦力為恒力時，其沖量 I_Δf= F_f?_t ，摩擦力為變力時，一般用動量定理或 F-t 圖像計算摩擦力的沖量.2）計算摩擦力的沖量時，要注意摩擦力 F_f 的大小與作用的時間 Ψ_t 對應(yīng)一致.

一例5如圖12所示，質(zhì)量足夠大的長平板在水平方向上以速率 v₀ 向右勻速運動，板上方 h 高處有一小球從靜止自由下落并與平板發(fā)生碰撞.小球與平板間的動摩擦因數(shù) μ=0.1 ，小球反彈回的高度假設(shè)仍為 h ，試確定圖中小球反彈拋射角 α 的正切值tan α 與 之間的函數(shù)關(guān)系.

圖12

小球自由下落 h 高度，與長平板碰撞前后豎

直方向分速度大小相等，且為" v =根號下 2 g h ".設(shè)小球質(zhì)量為 Ψ_m ，在小球與長平板碰撞相互作用過程中，長平板對小球的彈力為 F_N ，水平方向滑動摩擦力為 F_f .小球碰后水平方向分速度為 v_# .取任意微元時間 ，在這段時間里對小球應(yīng)用動量定理.在豎直方向上有 F_Ni?Δt_i=mΔ（v_i⊥） ，故碰撞全過程有 .在水平方向有 F_fi?Δt_i= mΔ（v_i// ），故碰撞全過程有

分兩種情況討論如下：

i）小球在反彈離開長平板前，水平方向已與長平板共速，即 v_//=v₀ ，故小球反彈拋射角 α 的正切值tan

ii）小球在反彈離開長平板前，水平方向沒有與長平板共速，則 ，即 v_//= 2μv_⊥ ，故小球反彈拋射角 α 的正切值tan 令 tan ，解得 綜上所述，可得tan α 與 的函數(shù)關(guān)系為

本題求解中，認為長平板對小球的彈力遠遠大于小球的重力，忽略了重力的沖量.另外，要考慮小球離開長平板時在水平方向是否與長平板共速，這是討論得出tan α 與 的函數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵.

6 摩擦力的功

在不同的問題情境中，作用于物體的摩擦力可以做正功，也可以做負功，還可以不做功.1）摩擦力為恒力時，其功 .其中， F_f 表示物體所受到摩擦力的大小，表示物體所發(fā)生位移的大小， α 為摩擦力 F_f 和位移 ξ_l 方向之間的夾角.2）摩擦力為變力時，其功一般運用動能定理、 F_f^-x 圖像或微元法進行計算.3）一對相互作用的滑動摩擦力對系統(tǒng)做的總功W_f=-F_f?Δx_ABX ，一對相互作用的靜摩擦力對系統(tǒng)做的總功為零.

例6如圖13所示，質(zhì)量為 Σ_m 的小車以恒定速率 υ 沿半徑為 R 的豎直圓軌道運動.已知小車與豎直圓軌道間的動摩擦因數(shù)為 μ ，試求：小車從軌道最低點運動到軌道最高點的過程中克服摩擦力做的功.

圖13

小車沿豎直圓軌道從最低點勻速率運動到最高點的過程中，重力沿半徑方向的分力是變力，因而軌道對小車的支持力是變力，故摩擦力也是變力，可以采用微元法求小車克服摩擦力做的功.

如圖14所示，將小車運動的半個圓周均勻細分成 n（n∞）. 份，在每段長 的圓弧上運動時，可認為軌道對小車的支持力F_Ni 不變，因而小車所受的摩擦力 F_fi 不變.

圖14

當小車運動到如圖14所示的任意位置 P_i 處圓弧時，有 則

當小車運動到圖14所示的與 P_i 關(guān)于 x 軸對稱的 P_i^′ 處圓弧時，有 則

由此可知，小車在關(guān)于水平直徑對稱的軌道上的兩微元段的摩擦力做功之和為

故小車沿半圓周從軌道最低點運動到最高點的過程中，摩擦力做的總功為

即小車從軌道最低點運動到軌道最高點的過程中克服摩擦力做的功為 πμmv²

微元法是指在處理問題時，從對事物（研究對象、物理過程）的極小部分（微元）分析入手，達到解決事物整體目的的數(shù)學物理分析方法.微元法是破解物理難題的利器，一般有“分割、近似、累加求和、取極限”四個基本步驟，選用的重要依據(jù)是微元計算結(jié)果能夠線性疊加.

7 摩擦生熱

1）在存在相對滑動摩擦的系統(tǒng)內(nèi)，系統(tǒng)因摩擦而產(chǎn)生熱能，摩擦生熱在數(shù)值上等于滑動摩擦力與相對位移大小的乘積，寫成表達式 Q=F_f?Δx_?ffx .其中 F_f 指滑動摩擦力的大小， Δx_#X： 指發(fā)生摩擦的物體間的相對位移的大小．2）由 Q=F_f?Δx_?ff?J 可知，如果Δx_####=0 ，則 Q=0 ，可見，在僅存在靜摩擦作用的系統(tǒng)內(nèi)，不存在摩擦生熱.

例7如圖15-甲所示，傾斜的傳送帶以恒定的速率逆時針運行.在 t=0 時刻，將質(zhì)量為 1.0kg 的物塊（可視為質(zhì)點）無初速度地放在傳送帶的最上端 A 點，經(jīng)過 1.0s ，物塊從最下端的 B 點離開傳送帶.取沿傳送帶向下為速度的正方向，則物塊對地速度隨時間變化的圖像如圖15-乙所示（ g 取 10m?s^-2 ）.求：

圖15

（1）物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)；

（2）物塊從 A 到 B 的過程中，傳送帶對物塊做的功以及物塊與傳送帶之間的摩擦生熱

（1）由 v-t 圖像知，物塊在 0～0.5s（t₁= 0.5 s）時間里以加速度 a₁ 做初速度 v₀=0 的勻加速直線運動，且加速度 ，末速度 v₁=4m?s^-1 ，傳送帶逆時針勻速運動的速率v_1ξ=4m?s^-1 .對物塊受力分析，由牛頓第二定律有a₁=g（sinθ+μcosθ），

物塊在 0.5～1.0s（t₂=0.5s） 時間里以初速度v₁=4m?s^-1 、末速度 v₂=5m?s^-1 做勻加速直線運動，且加速度 .對物塊受力分析，由牛頓第二定律有 a₂=g（sinθ-μcosθ）

聯(lián)立以上方程解得

（2）在 0～0.5 s時間里，物塊對地位移為 x₁= U1t1=1m，傳送帶對地的位移為x’=U傳t1=2m，則摩擦力對物塊做功 W₁=μmg cos θ?_x1=3.0J ，摩擦生熱Qi=μmgcos θ?（x₁^′-x₁）=3.0J

在后0.5s時間內(nèi)，物塊對地位移為 x₂= ，傳送帶對地的位移為 x₂^′= ，則摩擦力對物塊做功 W₂=-μmgcosθ ：（20 x₂=-6.75J ，摩擦生熱 Q₂=μmg cos θ?（x₂-x₂^′）= 0. 75 J.

所以，傳送帶對物塊做的總功 W=W₁+W₂= -3.75J ，摩擦生熱 Q=Q₁+Q₂=3.75J

“物塊一傳送帶”模型是高中物理經(jīng)典動力學模型之一，其相關(guān)問題有兩個常見設(shè)問角度：1）動力學角度；2）能量角度.本題設(shè)問就是基于以上兩個角度.在“物塊一傳送帶”模型的各類具體情境中，像本題中“摩擦生熱等于傳送帶對物塊做的總功絕對值”不是必然結(jié)論，應(yīng)獨立進行相關(guān)計算.

以上關(guān)于摩擦力的7個突破點，既是對與摩擦力相關(guān)的7類典型問題的系統(tǒng)梳理，又構(gòu)建了完整的摩擦力認知框架，有助于理解和掌握有關(guān)摩擦力的概念和規(guī)律，發(fā)展科學思維、培養(yǎng)物理關(guān)鍵能力.

（完）