基于沖量計算的各種巧妙方法解題例析

沖量是物理學(xué)中一個比較重要的物理量，在近年高考試題中，常作為選擇題的一個或兩個選項明確考查點，而在應(yīng)用動量定理解答有關(guān)的物理問題時必然涉及沖量的表示與計算.對于各種不同物理情境中的沖量表示與計算，可有多種非常巧妙的方法.下面精選2025年高考題中有關(guān)沖量的試題為例按三種情形進行歸類分析，以確切理解和靈活掌握關(guān)于沖量的各種表示與計算方法.

1利用線性力的平均值計算沖量

一般化的函數(shù)平均值定義為：對于連續(xù)函數(shù) y= f（x） ，在區(qū)間 [x₁，x₂] 上的平均值，等于函數(shù) y= f（x） 的圖像在該區(qū)間上與 x 軸圍成圖形的面積除以該區(qū)間的長度，即 .由此可得函數(shù)圖像的面積 中與平均值的關(guān)系式為 S=_y^-Δx .這表明，某一區(qū)間上的圖像面積等于函數(shù)的平均值與該區(qū)間長度之積.

在物理學(xué)中，若圖像面積具有一定的物理意義，則對應(yīng)一個過程量的計算公式，或者說，某個物理量可表示為一個物理量的平均值與另一個物理量的變化量之積的形式.例如，恒力做功的公式為 W=FΔx .若物體受到的作用力 F 隨位置坐標 x 而變化，則需對作用力關(guān)于坐標取平均值，做功的公式變?yōu)?W= .這表明，變力做的功等于變力相對于位移的平均值與位移之積.

特殊函數(shù)的平均值主要是線性的函數(shù)平均值.對于一次函數(shù) y=kx+b ，在區(qū)間 [x₁，x₂] 上的算術(shù)平均值為 ，可得 即 b .由此可知，線性函數(shù)的平均值等于區(qū)間端點對應(yīng)函數(shù)值之和的一半，或者說等于區(qū)間上的最小值與最大值之和的一半，恰好等于區(qū)間的中點坐標對應(yīng)的函數(shù)值.若將線性函數(shù)的自變量在某區(qū)間上取平均值，則對應(yīng)的函數(shù)值恰好為該區(qū)間上函數(shù)值的平均值.或者說，對于線性函數(shù)，若將因變量與自變量同時取平均值，則函數(shù)的形式保持不變.

1. 1 隨時間變化的線性力的沖量

恒力的沖量公式為 I=FΔt ，若力 F 隨時間 χ_t 而變化，則需對作用力關(guān)于時間取平均值，沖量公式變?yōu)? .這表明，對于隨時間而變化的力，其沖量等于變力相對于時間的平均值與時間之積.或用 F-t 圖像與橫軸圍成圖形的面積表示沖量.對于規(guī)則圖形的面積可以進行定量計算，要注意面積存在正負值，而總面積等于各面積的代數(shù)和.

例1（多選）（2025

年廣東卷）如圖1所示，無人機在空中作業(yè)時，受到一個方向不變、大小隨時

圖1

間變化的拉力.無人機經(jīng)飛控系統(tǒng)實時調(diào)控，在拉力、空氣作用力和重力作用下沿水平方向做勻速直線運動.已知拉力與水平面成 30^° 角，其大小 F 隨時間 t 的變化關(guān)系為 F=F-kt（Fgt;0，F(xiàn)，k 均為大于0的常量），無人機的質(zhì)量為 Ψ_m ，重力加速度為 g .關(guān)于該無人機在0到 T 時間段內(nèi)（ T 是滿足 Fgt;0 的任一時刻），下列說法正確的有（ ）.

A.受到空氣作用力的方向會變化

B.受到拉力的沖量大小為

C.受到重力和拉力的合力的沖量大小為

D. T 時刻受到空氣作用力的大小為

無人機做勻速直線運動，則三力平衡，可轉(zhuǎn)化為二力平衡.由于拉力大小發(fā)生變化，而重力保持不變，可知拉力與重力的合力大小與方向均發(fā)生變化，因此空氣作用力的大小與方向都發(fā)生變化，選項A正確.由于拉力隨時間均勻變化，可知其沖量為 ，選項B正確.重力與拉力不在同一直線上，因此計算合力沖量應(yīng)為矢量和，而非代數(shù)和，選項C錯誤.在 T 時刻受到空氣作用力的大小等于拉力與重力的合力大小，需將拉力正交分解，可得 由于F_y 與重力同向，則豎直方向的合力為 F_y^′=mg+ ，由勾股定理可得拉力與重力的合力為 ，可知選項D正確.

在判斷空氣作用力是否變化時，需將三力平衡轉(zhuǎn)化為二力平衡，即空氣作用力的大小等于拉力與重力的合力的大小，空氣作用力的方向跟拉力與重力的合力的方向相反，然后利用力的合成與分解即可判斷選項A、D的正確性.在計算線性力的沖量時需對變力取算術(shù)平均值.

1. 2 隨速率變化的線性力的沖量

若力與速度成正比，即 F=kτ ，物體在 Δt=t₂- t₁ 時間內(nèi)的位移為 s ，則作用力關(guān)于時間的平均值為 ，作用力的沖量為 這表明，對于隨速度而變化的力，其沖量跟位移成正比.

例2 （2025年陜晉青寧卷）如圖2所示，光滑水平面上存在豎直向上、寬度 d 大于2L的勻強磁場，其磁感應(yīng)強度大小為 B .甲、乙兩個合金導(dǎo)線框的質(zhì)量均為

圖2

A.甲線框進磁場和出磁場的過程中電流方向相同B.甲、乙線框剛進磁場區(qū)域時，所受合力大小之比為1：1C.乙線框恰好完全出磁場區(qū)域時，速度大小為0D.甲、乙線框從剛進人磁場區(qū)域到完全出磁場區(qū)域產(chǎn)生的焦耳熱之比為 4：3

線框進磁場時，磁通量增大，根據(jù)楞次定律和右手定則可知感應(yīng)電流沿順時針方向；線框出磁場時，磁通量減小，根據(jù)楞次定律和右手定則可知感應(yīng)電流沿逆時針方向，兩個過程中的電流方向相反，選項A錯誤.甲、乙線框剛進磁場區(qū)域時，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為E=BLv₀ ，甲線框中的感應(yīng)電流為 ，受到的安培力大小 ；乙線框受到的安培力大小 選項B錯誤.

甲線框單邊切割磁感線過程中，在任一時刻受到的安培力大小為 （204號 ，在全過程中受到的沖量為 由動量定理有 ，可得甲線框的末速度 v₁^′=0 由于兩個線框電阻不同，則末速度不同，乙線框的末速度不為零，選項C錯誤.

對乙線框由動能定理有 ，可得末速度大小為 ；由能量守恒定律知兩線框產(chǎn)生的熱量分別為 ，可知熱量之比為 4：3 選項D正確.

在求解線框的末速度時，需利用動量定理列方程，關(guān)鍵是利用線性平均值推導(dǎo)線框單邊受到安培力的沖量與單邊在磁場中的位移成正比，要注意線框單邊在磁場中的位移等于線框長度的2倍；若磁場區(qū)域的寬度小于線框的長度，則線框單邊在磁場中的位移等于磁場寬度的2倍.

2利用微元法來表示或計算沖量

在利用微元法解題時，可包括兩種情形；其一，對于一段很短時間計算瞬時沖量，對短暫過程由動量定理列方程；其二，對于各段很短時間計算瞬時沖量并累加求和，對整個過程由動量定理列方程

例3（多選）（2025年湖南卷）如圖3所示，關(guān)于 x 軸對稱的光滑導(dǎo)軌固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌形狀為拋物線，頂點位于 O 點.一足夠長的金屬桿初始位置與 y 軸重合，金屬桿的質(zhì)量為 Ψ_m ，單位長度的電阻為 r₀ .整個空間存在豎直向上的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為 B .現(xiàn)給金屬桿一沿 x 軸正方向的初速度 v₀ ，金屬桿運動過程中始終與y 軸平行，且與電阻不計的導(dǎo)軌接觸良好.下列說法正確的是（ ）.

圖3

A.金屬桿沿 x 軸正方向運動過程中，金屬桿中電流沿 y 軸負方向B.金屬桿可以在沿 x 軸正方向的恒力作用下做勻速直線運動C.金屬桿停止運動時，與導(dǎo)軌圍成的面積為 D.若金屬桿的初速度減半，則金屬桿停止運動時經(jīng)過的距離小于原來的一半

利用右手定則可判斷金屬桿中的感應(yīng)電流沿 y 軸負方向，選項A正確.金屬桿產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為 E=BLv ，感應(yīng)電流為 ，則安培力為 .假設(shè)金屬桿勻速運動，則 L 逐漸增大，安培力逐漸增大，因此所需外力逐漸增大，與假設(shè)矛盾，選項B錯誤.整個運動過程的沖量為 對整個運動過程由動量定理有 ，可得弓形面積為 ，選項C正確.由面積 可知，若金屬桿的初速度減半，則金屬桿停止時的面積減半，而軌道形狀為拋物線，其弓形的弦長由小變大，因此金屬桿停止時經(jīng)過的距離大于原來的一半，選項D錯誤.

在利用動量定理列方程推導(dǎo)拋物線的弓形面積時，需首先利用微元累加法推導(dǎo)金屬桿在整個運動過程中受到安培力的沖量與面積的關(guān)系式，而其中的和式 表示金屬桿掃過拋物線弓形的面積，但由于其中含有兩個變量，因此只能利用微元累加法，不能利用平均值法.

3利用動量定理間接求沖量

包括兩種情形：其一，對于受到多個力作用的物體，如果不能利用沖量公式直接計算某個力的沖量，則可根據(jù)各力沖量的矢量和間接求出某個力的沖量，前提條件是其余各力的沖量可進行定量計算，而且各力的矢量和已知，或者說動量的變化量已知；其二，對于受到單個力作用的物體，如果不能利用沖量公式直接計算這個力的沖量，則可通過計算動量的變化量間接求出這個力的沖量.例如求解向心力在勻速圓周運動 周期內(nèi)的沖量，可通過計算動量變化量而得出，前提條件是已知勻速圓周運動的速度.

例4（2025年廣西卷）如圖4所示，兩條固定的光滑平行金屬導(dǎo)軌，所在平面與水平面夾角為 θ ，間距為1，導(dǎo)軌電阻忽略不計，兩端各接一個

圖4

阻值為2R的定值電阻，形成閉合回路；質(zhì)量為 Ψ_m 的金屬棒垂直于導(dǎo)軌放置，并與導(dǎo)軌接觸良好，接入導(dǎo)軌之間的電阻為 R ；勁度系數(shù)為 k 的兩個完全相同的絕緣輕質(zhì)彈簧與導(dǎo)軌平行，一端固定，另一端均與金屬棒中間位置相連，彈簧的彈性勢能 E_p 與形變量 x 的關(guān)系為 ;將金屬棒移至導(dǎo)軌中間位置時，兩彈簧剛好處于原長狀態(tài)；整個裝置處于垂直于導(dǎo)軌所在平面向上的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大小為B .將金屬棒從導(dǎo)軌中間位置向上移動距離 Δ_a 后靜止釋放，金屬棒沿導(dǎo)軌向下運動到最遠處，用時為 Ψ_t ，最遠處與導(dǎo)軌中間位置距離為 b ，彈簧形變量始終在彈性限度內(nèi)，此過程中（ ）.

A.金屬棒所受安培力沖量大小為

B.每個彈簧對金屬棒施加的沖量大小為

C.每個定值電阻產(chǎn)生的熱量為

D.金屬棒的平均輸出功率為

金屬棒產(chǎn)生感應(yīng)電動勢為 E=Bl? ，相當(dāng)于電源，外電阻并聯(lián)的總電阻為 R ，與內(nèi)電阻

串聯(lián)的總電阻為 2R ，則電路中的電流為I = E / R0 =

金屬棒受到的安培力為 ，可知安培力的沖量為IA=Ft= 金屬棒發(fā) （204號生的位移為 s=a+b ，得沖量為 ，選項A錯誤.每個彈簧對金屬棒的沖量始終相等，對整體由動量定理有 I_A-mgtsinθ-2I_k=0 ，可得彈力的沖量 ，選項B錯誤.彈簧的形變量先后分別為 a.b ，則兩個彈簧的彈性勢能變化量為 ，重力勢能變化量為 mg（a+b）sinθ ，由能量守恒定律可知電路產(chǎn)生的總熱量為 ，由于內(nèi)、外電阻相等，則外電阻產(chǎn)生的總熱量為 ，可知每個電阻產(chǎn)生的熱量為 ，選項C錯誤.金屬棒對兩個外電阻做的電功為 W=2Q ，則輸出的平均功率為 ，可知選項D正確.

在推導(dǎo)安培力的沖量時，需設(shè)金屬棒的速度υ ，以便計算感應(yīng)電動勢以及安培力，最后可消去速度 υ ，由于安培力是變力，因此在計算沖量時需用平均值.對于彈簧彈力的沖量無法直接計算，只能對整體應(yīng)用動量定理列方程間接計算.

例5 （2025年1月浙江卷，節(jié)選）如圖5所示，接有恒流源的正方形線框邊長為 ，質(zhì)量為m ，電阻為 R ，放在光滑水平面上，線框部分處于垂

圖5

直于地面向下、磁感應(yīng)強度為 B 的勻強磁場中.以磁場邊界 CD 上一點為坐標原點，水平向右建立 Ox 軸，線框中心和一條對角線始終位于 Ox 軸上.開關(guān)S斷開，線框保持靜止，不計空氣阻力.

（1）線框中心位于 x=0 處，閉合開關(guān)S后，線框中電流大小為 I ，求：

① 閉合開關(guān)S瞬間，線框受到的安培力大小；

② 線框中心運動至 過程中，安培力做的功及沖量；

③ 線框中心運動至 時，恒流源提供的電壓.

O （1）① 閉合開關(guān)S瞬間，在磁場中線框的等解析 效長度為 ι=2L ，則受到的安培力大小為F_A1=BIl=2BIL

② 線框中心運動至 過程中，設(shè)某時刻的位移為 s ，則在磁場中線框的等效長度為 ι=2（L-s） ，可知安培力大小為 F_A=BIl=2BI（L-s） .位移起點為零，安培力的平均值 ，做功為 W_A= ，當(dāng) 時，得 .根據(jù)動能定理有 m2.聯(lián)立方程可得速度大小為 .由動量定理可知安培力的沖量大小為 ，方向沿 x 軸正方向.

③ 線框中心運動至 時，設(shè)恒流源提供的電壓為 U ，在很短時間 Δt 內(nèi)，由能量守恒定律有 UIΔt= BIL?vΔt+I²RΔt ，可得

對于線性力 F_A=2BI（L-s） ，不能直接利用公式 計算沖量，因為線性力不是隨時間變化.由于安培力與位移呈線性關(guān)系，因此可利用平均值計算安培力做的功，再應(yīng)用動能定理求出末速度，進而算出末動量，再根據(jù)動量定理得到?jīng)_量.為了求出恒流源提供的電壓，需對很短時間應(yīng)用能量守恒定律列方程，也可應(yīng)用瞬時功率守恒列方程，即UI=BIL?v+I²R 在計算兩段導(dǎo)體受到的安培力時需用導(dǎo)體在磁場中的有效長度.

4小結(jié)

綜上可見，與沖量有關(guān)的高考題形式多樣、情境多變、解法各異.對沖量的考查不局限于單純的力學(xué)問題，也可通過電磁學(xué)問題進行多角度考查.有時明確考查沖量的計算與判斷，有時在應(yīng)用動量定理的過程中考查沖量的表示與計算，由此加強物理知識的聯(lián)系，使得試題具有一定的綜合性與新穎性.雖然高考題千變?nèi)f化，?？汲Ｐ?，但涉及的知識和方法是確定的，需要在平時的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練中深化理解、熟練掌握和靈活運用，同時提高獨立分析和解決物理問題的能力.

（完）