讓學生邁向高質量數學學習的新境界

編者按

如何實施“美育浸潤數學教學”

為促進學生健康成長、全面發展，《教育強國建設規劃綱要（2024—2035年）》中明確提出，要“推進學校美育浸潤行動”。2023年，教育部印發了《關于全面實施學校美育浸潤行動的通知》，強調“深入挖掘各學科蘊含的美育價值與功能”\"分學科推動制定美育教學指引”。探索學科美育教學改革，已成為教育強國建設三年行動計劃的一項重要內容。“美育浸潤數學教學”或將成為深化中小學數學課程教學改革的新賽道。深刻認識數學學科美育的內涵意義、育人價值、核心目標與實施路徑，是高質量開展美育浸潤數學教學的基礎。研究員作為教育部體衛藝司組織研制的《學科美育教學指引叢書》中數學學科的主編，帶領其團隊率先進行了相關研究。本期特刊發他們的部分研究成果，為廣大教師積極探索美育浸潤下的數學教學提供參考。

【摘要】讓學生開展高質量學習是深化數學課堂教學改革的核心議題，美育浸潤數學教學則是促進學生高質量數學學習的重要手段。美育浸潤數學教學，其內涵意義是通過彰顯數學內容、教師“教”與學生“學”的美育價值與功能，實現美育與數學教學的有機融合；其育人機理是學生在審美體驗過程與問題解決過程的交融共生中獲得高質量數學學習；其實踐路徑是課程內容“問題化”教師教學“人文化\"和學生學習“詩性化”。

【關鍵詞】高質量數學學習；美育浸潤數學教學；審美體驗；問題解決

追溯人類文明的悠久歷史，誰能否認“美”是令人精神愉悅、心靈溫潤、生命蓬勃的文化向導，是塑造道德、啟迪智慧、潤澤情感的寶貴源泉，是傳承文化、激發創造、開拓創新的深層動力？詩人美學家席勒堅定地宣稱：“通過美，人們才可以達到自由?！边@意味著“審美活動”—發現美、感受美、表現美、鑒賞美、創造美，應是人類生活實踐的基本方式，也是追求幸福、豐富生命的必然選擇。

美育是人類高尚文化的實踐表征，美育首先是審美教育。而審美教育必然是道德教育、心靈教育、情感教育，也是豐富想象力和培養創新意識的教育，對涵養高尚道德、陶冶高潔情操、提升審美素養、培育人文精神、激發創新動力與創造活力具有全面深刻和強勁持久的功能。美育的宗旨應是讓人成為身心更加自由、完整、充實、崇高、優雅的“更美的人”[2]112

教育部印發的《關于全面實施學校美育浸潤行動的通知》指出：“深入挖掘各學科蘊含的美育價值與功能挖掘和運用各學科蘊含的品德美、社會美、科學美、健康美、勤勞美、自然美等豐富美育資源，分學科推動制定美育教學指引。\"顯而易見，學科教學無疑是實施美育的主渠道。而將各個學科的美育資源“浸潤\"于教學，不僅為深化教學改革提出了一個新理念，也為提升課堂育人質量開辟了一條新路徑。

數學是人類神奇而偉大的文化創造。它是刻畫宇宙規律的精致語言，是開啟科學大門的精準鑰匙，是服務人類生活的精妙工具，是開展思維活動的精密模式，是創造人類思想的精良武器，是塑造人類智慧的精美花朵，是彰顯人類理性的精神高峰。數學與生俱來地充滿崇高深邃和攝人心魄的文化意義、美學意蘊與教育價值?？梢灶A見，沿著美育浸潤數學教學這一新路徑，必將引領學生邁向高質量數學學習的新境界。

一、數學之美的內涵特征

離開“美\"來談論數學是沒有意義的！古希臘數學家普洛克拉斯贊嘆：“哪里有數，哪里就有美！”亞里士多德宣稱：“硬說數學科學無美可言的人是錯誤的！\"而談到數學之美，數學家們則有深刻闡釋。龐加萊認為：數學家通過追求美而發現真理。羅素指出：“數學不僅擁有真，而且擁有非凡的美，一種如雕塑般冷峻而樸素的美，一種屹立不搖的美。極其純凈，能夠臻于一種不可撼動的極致，就如同只有最偉大的藝術才能呈現的那樣。\"[3]哈代堅信：“數學家的模式就像畫家或詩人的模式，必須是美的；數學思想猶如色彩和文字，必須以和諧的方式組織在一起。美是第一標準：世界沒有給丑的數學留下永久位置。”4這些論斷足以說明：數學是“真”與\"美\"的統一。數學理論就其反映客觀事物的本質與規律而言是“真”，就其表現人的能動的創造力而言就是“美”。簡言之，數學之美，主要源于創造數學的“物質材料”之美和“精神氣質\"之美的內在統一。

正如恩格斯的光輝論斷：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系。\"[5實際上，“空間形式\"和\"數量關系\"是人類對現實世界的高度抽象，是“大美”世界的神圣密碼在人類心靈深處激蕩出的神妙音符，也是構筑數學之美的\"物質材料”，而高度抽象的背后，蘊含了人類的宇宙觀念、主體意識、崇高信念、高尚情感、價值追求、詩性智慧、理性思維等隱性的思想，這是豐盈數學之美的“精神氣質”。它們的內在統一正是數學的文化意義，也是數學之美的本質內涵。莊子宣稱：“天地有大美而不言。”伽利略認為：“宇宙天自然的奧秘寫在一本巨大的書上，而這本書是用數學語言寫成的。\"這是否意味著，數學之美是數學對宇宙本質的詩意抒情，空間形式和數量關系不啻“天地大美”的“詩行”。老子以“道生一，一生二，二生三，三生萬物”闡發宇宙生成論，聲稱“萬物皆數\"的畢達哥拉斯學派以數的和諧解釋宇宙之大美，這或許可以認為是人類對數學之美所發出的“童年之聲”。

浩瀚的數學文化海洋，漂浮和潛藏著無窮無盡、異彩紛呈、美不勝收的數學之美。就其表現形式，至少包括數學的圖形美、數字美、概念美、定理美、公式美、方法美、思想美、思維美、問題美、猜想美等。究其內在本質，至少體現數學的邏輯美、統一美、簡潔美、和諧美、對稱美、奇異美等。

二、美育浸潤數學教學的內涵意義

美育浸潤數學教學的內涵即指：在數學課堂教學中，通過彰顯數學文化之美、教師教學之美與學生學習之美（如圖1），充分發揮數學內容、教師“教\"和學生“學”這三個要素的美育價值，并努力促進它們之間的相互滲透、融合與滋養，實現“美育”與\"數學教學”內在的統一，從而發揮更加強大的以美育人功能。

圖1美育浸潤數學教學的內涵

這里的數學文化之美主要是指：數學的圖形美、數字美、概念美、定理美、公式美、方法美、思想美、思維美、問題美、猜想美，以及它們背后的數學邏輯美、統一美、簡潔美、對稱美、和諧美與奇異美。教師教學之美主要是指：教師對數學、對學生以及對教育教學的真摯熱愛，對數學學科深刻透徹的理解，對數學之美與真理的追求，對學生錯誤的理解、包容和鼓勵，以及教師精妙的教學設計、靈動的教學組織、機智幽默的教學智慧、溫和謙遜的人格魅力、富有詩性與哲思的語言表達、工整優美的板書等。當然，教師的教學之美，絕非自我表演，而是讓學生在數學課堂上沉浸于思考的樂趣、探索的激動和發現的喜悅之中。當一節課結束后，學生眼中閃爍著光芒，心中充滿對數學的渴望和對世界的好奇，這便是教學之美最動人、最深刻的體現。學生學習之美主要是指：學生對數學之美的由衷興奮和強烈好奇、對數學問題的刨根問底和深人探究、對數學任務的專注與沉醉，以及數學學習過程中的猜想與質疑、頓悟與喜悅、自信與從容、反思與調整等。從學生主體發展動能的狀態來著，學生學習之美意味著一一具有鮮明而突出的自主的學習意識、自覺的思考探究、自然的情感態度、自省的認知監控、自律的心理調適、自發的經驗分享等。

美育浸潤數學教學獨有一蕃育人風景：首先，課程內容更科學地彰顯和融人數學文化之美，更深刻地反映和揭示數學的學科本質，更全面地體現和突出數學學科的核心素養，更完整地設計和貫穿富于挑戰性、生動性、開放性、趣味性的數學問題。其次，教師精心創設讓學生展開審美體驗的問題情境和學習氛圍，圍繞數學問題采取適切的教學方式展開教學，并在教學中充分調動學生的情感與思維，充分關注和重視學生在數學學習過程中出現的認知問題，并給予針對性的引導與指導，善于將學生提出的問題轉化為新的學習資源。再次，學生對學習表現出積極濃厚的興趣，對數學問題充滿好奇和努力探究的欲望，善于獨立地用數學化的思維方式思考和解決問題，善于從不同的角度思考問題，能夠提出新的問題和想法，善于不斷地追問與反思，善于表達自己的思考與觀點，善于與同伴之間進行交流研討，等等。試想：這樣的數學課堂，學生的數學思維必將得以深層次發展，學生的數學學習信念和信心必將得以深層次激發，學生在領悟和享受數學文化精神對生命的終身浸潤上必將得以深層次實現。

三、美育浸潤數學教學的實踐價值

回顧百年來國內外中小學數學教育教學改革，卓有成效的理論研究與實踐探索都明確地表明：讓學生真正“熱愛數學\"以至\"迷上數學”，由此激發和培育學生數學學習動機，是切實提高數學育人質量的決定性因素。母庸贅言，數學蘊含著迷人的神奇魅力，至真至善至美的光輝，以及高尚高雅的氣質，因此具有讓學生熱愛和著迷的獨特基因。

然而，現實的境況是：由于過分強調數學的高度抽象性和嚴格邏輯性，數學常被賦予“神秘高深、刁鉆冷酷、難以捉摸、令人頭疼\"的負面形象，這使得數學與學生之間保持了一份莊嚴而遙遠的距離。在數學課堂教學中，由于缺少對數學內涵本質的揭示和文化價值的彰顯，數學難以對學生的情感和思維產生強勁的穿透力；或者過分追求課堂預設的教學流程與進程，導致學生的個性化思維和動態生成的寶貴問題被忽略甚至扼殺，最終導致學生自信心、好奇心、學習興趣的挫傷，以及學生對數學問題解決的意識和創造性思維的消解與磨滅。在這樣的情況下，“熱愛\"對于學生的數學學習而言顯得尤為必要且珍貴。確切地說，當前我國中小學數學教學迫切需要解決的問題，正是如何讓學生真正“熱愛數學\"以至“迷上數學”！

進一步追問：學生對數學學習究竟有怎樣的期待和向往？如何讓數學真正走進學生的心靈？如何讓學生真正經歷深刻的數學學習？對此，美育浸潤數學教學具有不可替代的作用。

充滿美育之光的數學課堂，最能為學生放飛好奇心和激活想象力插上雄健的翅膀，最能為學生問題解決能力和創造性思維能力的發展注人強勁動力，最能把學生純真清澈的心靈引導到真善美。因此，也最能讓本是悅自賞心的數學真正走進學生的心靈，最能讓本是天真好奇的學生真正經歷刻骨銘心的數學學習。數學美育，其本質是通過數學的圖形美、數字美、概念美等形式之美，以及數學的邏輯美、統一美、簡潔美等內在美，讓學生產生神秘、驚詫、懷疑、興奮和震撼等最美好、最深刻的精神體驗。在數學課堂教學中，教師通過充分挖掘和展現數學學科的美學元素，充分彰顯和傾注對學生的尊重、關愛、激發、鼓舞、點撥與引導，必將讓學生的思維和情感在自由、積極中完滿地張揚與釋放。伴隨數學內容釋放出深刻飽滿的文化意蘊與美妙迷人的審美光輝，并由此潛移默化地滋養著教學全過程。同時，伴隨教師展現溫暖親和的情感態度，營造溫馨和諧的教學氛圍，學生則會被激發出強烈的求知欲望，進發出自由的智慧。如果進行意境化的想象，數學的神奇所激發出來的就是總能讓學生不由自主地感嘆“??？\"\"啊！\"“噢！\"“什么？”“怎么會？”“為什么呢？\"“居然是這樣！\"“原來是這樣啊！\"\"真的是這樣?。"“這也太不可思議啦！”美育浸潤數學教學所追求的是讓學生在數學學習過程中獲得返璞歸真、自然靈動、意義建構、觸動心靈、歷久彌新的審美體驗，其實踐品格在于：它可以讓數學的神奇激發學生的好奇，讓數學之美驅動學生的學習，這無疑是讓學生真正“熱愛數學\"以至“迷上數學\"的根本之策！

四、美育在數學教學中的育人機理

卡爾·波普爾提出，科學知識的增長遵循“P1（問題） TT （試探性理論） $$ EE（錯誤排除） P2 （新問題）\"的循環模式，強調“科學和知識的增長永遠始于問題，終于問題一一越來越深化的問題，越來越啟發新問題的問題”[6]數學創造活動本質上是以問題為導向、以再創造為路徑的理性建構過程。同時，數學體現了理性精神與詩性智慧的完美結合。審美驅動性構成了數學創造活動的核心動力，數學發明創造的動機常常因美而生，數學家總是不懈地尋求數學理論和數學方法。與其他學科相比，數學是一門富有創造性的學科，幾乎完全受審美動機的引導。在數學領域，認知準則與審美準則緊密相連，審美準則往往能超越其他所有嚴肅和客觀的準則。因此，在美育浸潤數學教學的過程中，必然包含兩種學習活動：一種是認知層面的“問題解決”活動，另一種是非認知層面的“審美體驗”活動，它們共同構成了雙向賦能的認知統一體。其中，審美體驗擴展了問題解決的意義邊界，賦予了數學之美的主觀能動性，使得問題解決過程不再枯燥乏味，進而激發了新問題的發現與解決；問題解決則鞏固了審美體驗的理性基礎，賦予了數學之美的客觀屬性，使得“美”不是無源之水，進而觸發了更高階的審美創造?？傊?，審美體驗與問題解決相輔相成，共同塑造了人類認知的創造性循環，讓人們在美的啟迪與真的求證之間自由徜徉。

美育浸潤數學教學，能夠讓學生同時擁有“審美體驗過程\"（即發現美、感受美、表現美、鑒賞美、創造美）與“問題解決過程”（即發現問題、提出問題、分析問題、解決問題）這兩條交互作用、相輔相成的學習主線。[2]113其中，充滿\"詩性\"的審美體驗能為問題解決插上想象之翼，為問題解決的過程平添靈動智慧，而充滿“理性\"的問題解決能為審美體驗系上邏輯之錨，為審美體驗過程平添深邃思維。這二者的內在統一將更加強勁地提升學生的數學思維能力，激發學生的創造力，從而讓學生享有高質量的數學學習生活，這也是美育浸潤數學教學實現育人目標的底層邏輯（如圖2）。

圖2審美體驗與問題解決相互作用的機理

例如，“九宮圖\"源自洛書。洛書中排列著1～9這9個數，蘊藏著“橫行、縱列、對角線上數之和都等于15\"這一神奇的數學規律。

教師以此為題材設計教學，可將學生的問題解決過程與審美體驗過程有機融為一體。7]架構如下問題結構。

問題1：在直覺上最想先填哪個格？填哪個數？為什么？

問題2：能否將九宮格中除中間格外的其余8 個格進行分類？

問題3：能否將1～9這9個數中除5以外的其余8個數進行分類？

問題4：究竟哪類數要對應地填人哪類方格中？

問題5：能將1，3，7，9分別填人四個角的方格中嗎？為什么？

問題6：從數學運算角度分析，怎樣確定5必須填入中間格？

問題7：能否從幾何的視角審視九宮圖的特征？

預設：對于問題1，學生通常會首先選擇在中間格里填上5，其原因是對中心格和中間數以及它們之間的“和諧對應\"的一種“審美發現”（或白“審美直覺”）與判斷。

上述預設過程，實際上是學生的問題解決過程（究竟最先填哪個數呢？）與審美體驗過程（噢！我發現了中間格是最獨特的！我還覺得5恰好是1～9這9個數的中間數！那就應該在中間格里填中間數，這多么和諧美妙啊?。┙蝗诨拥慕Y果（如圖3）。

同理，學生在解決問題2～問題4的過程中，也會經歷這一交融互動的過程。其中，在解決問題2的過程中，首先是通過幾何直觀引發審美直覺把四個角上的格看成一類，再把四個腰上的格看成一類，這樣的分類多么美妙?。。ㄈ鐖D4）

同樣，問題3的解決也就呼之欲出一一既然方格已經分為兩類了，那么1～9這9個數中除5外的其余8個數也應分為兩類，這樣才能與兩類方格和諧對應。其中，1，3，7，9和2，4，6，8正好是一類奇數，一類偶數，這多么美妙啊！

圖3問題1的交融互動過程

進而，問題4也就迎刃而解一一只要分兩種情況試一下就可以了！當然，如果調動邏輯直覺，可以作出預判一一應該將4個偶數（而不是4個奇數）填入四個角的方格里，這樣才能滿足“橫行、縱列、對角線上的數之和都等于15”。

在數學之美浸潤教學中，學生的審美體驗過程與問題解決過程形成動態階梯式互動，最終指向詩性直覺與理性邏輯的共生。這一教學旨歸回應了數學教育的雙重使命：既要探索知識之真，發展學生的理性邏輯；又要發展學生的審美體驗，幫助學生獲得詩性直覺。審美體驗使數學之理性詩意漸顯，問題解決使數學之詩意理性去蔽。

五、美育浸潤數學教學的實踐路徑

美育浸潤數學教學的特質表征主要體現在：數學課程內容應富含審美意蘊，教師的教學活動應充滿審美意趣，學生的學習體驗應充滿審美意境。那么，對于一節數學課而言，究竟如何彰顯這些特質呢？

（一）課程內容\"問題化\"—為學生提供精良的學習資源

課程內容“問題化\"具體的表現是：首先，立足文化意義的角度審視課程內容，深入分析其蘊含的數學文化特征與育人價值;其次，深入挖掘（或構造）數學內容背后的學科素養與美學元素；最后，將數學學科素養和美學元素嵌入具體的問題情境中，并構建符合數學邏輯和學生認知邏輯的問題結構。課程內容“問題化\"的過程，實質上是利用更具有學習誘因的問題驅動學生進行數學學習的過程。在此過程中，學生的情感、思維、態度與價值觀以及審美體驗等，必將得到更充分的激活與釋放。這樣，學生將真正經歷有意義的學習過程。特別是在學生問題解決過程中，數學觀念、數學思想方法等必將貫穿始終。

從教學論的角度分析，通過將“靜態的課程結構\"解構為“動態的問題材料”，再將“問題材料\"重構為“邏輯化的教學結構”。當教師依托教學結構展開教學時，對于學生的學習來說，就是經歷了對“邏輯化的教學結構”進行新的認知建構過程，從而真正實現有意義的學習。因此，課程內容“問題化”是彰顯數學美育教學育人功能的靈魂與命脈。

（二）教師教學\"人文化\"—為學生創設精致的學習氛圍

教師教學“人文化”具體的表現是：教師應充滿激情地展現并陶醉于對數學教學的熱愛，讓學生感受到數學學習的美妙與樂趣；教師應真心善待每一個學生，關愛弱勢學生，并勇于承認自己教學過程中的失誤或錯誤;教師應充分激發學生的好奇心、想象力，鼓勵學生大膽猜想、批判質疑和無盡追問，并給予學生足夠的思考、探究和交流時間，努力讓學生經歷問題解決的過程；教師應充分尊重并保護每一個學生的獨特想法，既要熱情鼓勵學生的創新思維，又要包容學生的異想天開；教師應充分關注并珍視學生在數學學習過程中出現的認知問題，給予針對性的引導與指導，并善于將學生提出的問題轉化為新的學習資源；教師不應輕易告訴學生解決問題的具體方法，而應讓學生在問題解決的過程中嘗試犯錯誤并“掙扎前行”。

教師教學的“人文化”所追求的境界和目標是一一教師以學生的好奇心為樂，以學生的追問為樂，以學生的迷茫為樂，以學生的興奮為樂，從而讓學生在經歷充滿興趣的數學化過程中體驗數學、享受數學和再創造數學。

（三）學生學習\"詩性化”—讓學生經歷精妙的學習過程

學生學習“詩性化”具體的表現是：學生對數學問題充滿強烈好奇心和努力探究的欲望；學生能夠認真傾聽并積極回應教師提出的問題以及學生對問題的回答與解釋，并善于表達自己的思考與觀點，善于與同伴進行交流研討；學生善于獨立地思考問題，善于用數學化的思維方式思考和解決問題，善于從不同的角度思考問題，能夠提出新的問題和想法，善于不斷地追問與反思；學生在經歷完整的問題解決過程中，對數學學習獲得愉悅體驗和充實收獲。

學生學習“詩性化\"的境界和目標是—學生能夠以“玩一玩\"數學的態度對待數學學習，學生樂于“非常規思維”，從而產生好奇心；善于使用“發散性思維”，從而放飛想象力；敢于自主發現和提出問題，從而調動內驅力；勇于面對問題解決的挑戰，從而培育意志力。面對數學問題，學生自然產生強烈的追問和自信一一這究竟是什么？為什么會是那樣？我就不信我解不出來！這無疑是一種充滿張力的學習狀態，是內心涌動的對數學美的體驗過程以及對數學文化的感知，是數學家的數學創造精神的美妙體現！

總之，美育浸潤數學教學的迷人之處在于：教師充分彰顯數學學科之美，并用教學之美去點燃、激發和守護學生的學習之美。當這三種美同頻共振、交相輝映時，學生自然而然邁向高質量數學學習的新境界，數學課堂便能成為最美的文化風景。

參考文獻：

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[7]李鐵安.迷上數學：觸動童心的數學文化課[M].北京：教育科學出版社，2021.

（1.中國教育科學研究院2.天津師范大學教育學部）