借助有層次的“數(shù)數(shù)神器”感悟十進(jìn)位值制

在人教版教材一年級上冊（2024年國家教材委員會(huì)專家委員會(huì)審核通過）中，將10的認(rèn)識分為兩個(gè)階段進(jìn)行編排，分別安排在第二單元“6～10的認(rèn)識和加、減法\"和第四單元“ 11～20 的認(rèn)識”。在《10的認(rèn)識》一課中，強(qiáng)調(diào)“9再添1是 10^′′ ，即\"10個(gè)一”，表示數(shù)量的多少。而在《10的再認(rèn)識》一課中，學(xué)習(xí)作為新計(jì)數(shù)單位的“十”正式認(rèn)識\"個(gè)位、十位\"這兩個(gè)數(shù)位，初步感受數(shù)概念背后的十進(jìn)制、位值原則。在《10的再認(rèn)識》一課中，教材呈現(xiàn)了認(rèn)識數(shù)的不同現(xiàn)實(shí)情境與相關(guān)學(xué)具。那么，教師如何用好這些教學(xué)素材，讓學(xué)生感受到“十\"作為新計(jì)數(shù)單位在數(shù)數(shù)時(shí)“既方便又清楚”？這些教學(xué)素材（學(xué)具）的層次是什么？教學(xué)中如何用好這些學(xué)具讓學(xué)生初步感受十進(jìn)制、位值原則，培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)感？圍繞這些問題，筆者進(jìn)行了以下思考和教學(xué)實(shí)踐探索。

一、課前思考：設(shè)計(jì)并用好三種\"數(shù)數(shù)神器”

人們最初以“一\"為計(jì)數(shù)單位來計(jì)數(shù)物品數(shù)量的多少，是最基本的方式。隨著物品數(shù)量的增加，使用“一\"計(jì)數(shù)和表達(dá)數(shù)量的多少變得煩瑣，因此需要?jiǎng)?chuàng)造更大的計(jì)數(shù)單位。人類發(fā)展史上，不同民族曾采用不同的計(jì)數(shù)進(jìn)制，例如\"五” + \"\"二十\"\"六十\"等進(jìn)制，反映了各自不同的計(jì)數(shù)需求和歷史特點(diǎn)。正如亞里士多德所言，“由于人有10根手指這一生理解剖學(xué)的事實(shí)”，最終各個(gè)民族都采用了“十進(jìn)制\"計(jì)數(shù)系統(tǒng)。

對于學(xué)生而言，使用“十\"作為計(jì)數(shù)單位并不如使用“二、五\"來得直觀，因?yàn)閷W(xué)生不能“一眼\"著出是否\"10”個(gè)。如何讓學(xué)生真正感受到“十\"作為計(jì)數(shù)單位的必要性呢？教材主題圖提供的是“10名小朋友圍成一圈，中間站著1名小朋友”，學(xué)生不容易通過這個(gè)教學(xué)情境感受到“10個(gè)一組，數(shù)起來既方便又清楚”。受教材中“做一做\"欄目提供的“一雙手、一捆10支的鉛筆、一行5個(gè)有兩行的盒裝雞蛋\"等生活情境的啟發(fā)，教學(xué)時(shí)讓學(xué)生對比數(shù)“散裝雞蛋\"與數(shù)“盒裝雞蛋”，體會(huì)哪種方法更便捷，有助于他們感受“10個(gè)一組\"數(shù)數(shù)即\"十\"作為計(jì)數(shù)單位的必要性，從而理解自然數(shù)概念所蘊(yùn)含的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

本節(jié)課還要讓學(xué)生認(rèn)識“數(shù)位”初步感受位值原則即“0的占位作用”，他們知道“10”是兩位數(shù)，而不是一位數(shù)（讀“10\"時(shí)只有“一個(gè)音”，但寫數(shù)卻有兩個(gè)數(shù)位）。對于一年級學(xué)生來說，位值原則遠(yuǎn)比十進(jìn)制更抽象，因此，只有借助半直觀、半抽象的計(jì)數(shù)器以及對比思考“讀數(shù)、寫數(shù)\"的不同，才能把抽象的位值原則“可視化、形象化”，便于學(xué)生理解和接受。

教材中所提供的學(xué)具（散亂的小棒、一捆10根的小棒和計(jì)數(shù)器）有不同的層次，用好不同層次學(xué)具，能夠幫助學(xué)生逐步理解“十\"作為計(jì)數(shù)單位的價(jià)值以及蘊(yùn)含的原理。基于此，筆者在讀懂教材的基礎(chǔ)上，重新設(shè)計(jì)了本節(jié)課的數(shù)數(shù)\"三大神器”。

“數(shù)蛋神器”。即一個(gè)有兩行、每行裝5個(gè)的雞蛋盒子。由于每行是5個(gè)雞蛋，有這樣的兩行，學(xué)生很容易知道一盒雞蛋有10個(gè)，無須再“1個(gè)1個(gè)”地?cái)?shù)出來。

“數(shù)棒神器”。即用皮筋把10根小棒捆成一捆。學(xué)生在“打捆\"過程中經(jīng)歷10根小棒捆成一捆，逐步接受\"10個(gè)一\"是\"1個(gè)十\"的事實(shí)。

“計(jì)數(shù)神器”。計(jì)數(shù)器是結(jié)構(gòu)化的、半具體半抽象的學(xué)具，同樣的“1個(gè)珠子\"放在不同的“位置\"能表示“一\"也能表示“十”，這個(gè)“位置”自右向左規(guī)定為“個(gè)位、十位”，由此產(chǎn)生“數(shù)位\"概念。每個(gè)“數(shù)位”上最多只能放“9個(gè)珠子”，“滿10\"就要向前一數(shù)位“進(jìn)1”。計(jì)數(shù)器能夠幫助學(xué)生理解寫出來的數(shù)中“每個(gè)數(shù)字\"所表示的“單位\"不同。

本節(jié)課的目標(biāo)是使用這三個(gè)神器，幫助學(xué)生達(dá)成下述學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（1）重新認(rèn)識“10”，感受“10個(gè)一組數(shù)數(shù)既方便又清楚”，知道\"10個(gè)一\"是\"1個(gè)十”，“十\"是新的計(jì)數(shù)單位。

（2）認(rèn)識“個(gè)位、十位”，知道十位上的“1\"表示“1個(gè)十”，個(gè)位上的“0\"表示沒有，知道“10”是一個(gè)兩位數(shù)。

（3）在捆小棒、撥珠子的過程中，通過對比分析“1\"\"10\"的書寫以及反思總結(jié)等學(xué)習(xí)活動(dòng)，初步感受自然數(shù)概念所遵循的十進(jìn)制、位值原則，形成初步的數(shù)感。

二、課堂實(shí)踐：有效組織有層次、高階思維參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)

（一）用好\"數(shù)蛋神器”，體驗(yàn)\"10個(gè)一組\"數(shù)數(shù)的便利性

1.活動(dòng)任務(wù)及其要求數(shù)蛋游戲：在限定時(shí)間內(nèi)，數(shù)出PPT上出示的雞蛋數(shù)量。數(shù)對了就可以得1顆星。第一組PPT依次出示6個(gè)、14個(gè)、15個(gè)零散無序擺放的雞蛋。第二組PPT依次出示16個(gè)、20個(gè)、14個(gè)“10個(gè)裝一盒\(zhòng)"再加幾個(gè)散裝的雞蛋。

2.學(xué)習(xí)過程中的基本片段

（數(shù)蛋游戲第一組是以散亂無結(jié)構(gòu)零散的形式出示，6個(gè)雞蛋學(xué)生能快速數(shù)出來，但當(dāng)出示14個(gè)、15個(gè)雞蛋時(shí)，學(xué)生便無法快速數(shù)出。教師借此機(jī)會(huì)推薦“數(shù)蛋神器”，即第二組雞蛋以一盒零幾個(gè)的形式出示，學(xué)生立刻能報(bào)出雞蛋數(shù)量。教師追問：“你們怎么數(shù)得這么快？”）

生：因?yàn)檫@個(gè)“數(shù)蛋神器”，每個(gè)盒子里有10個(gè)，我們只需數(shù)盒子外散放的雞蛋，10加上幾就是十幾。

生：1盒是10個(gè)，2盒就是10加10，即20個(gè)。

生：有了“數(shù)蛋神器”，數(shù)起來特別快，1盒和幾個(gè)加起來就是十幾。

師：你們數(shù)得這么快，是什么起了作用？

生：“數(shù)蛋神器”。

師：這個(gè)雞蛋盒10個(gè)一組，方便我們計(jì)數(shù)，生活中還有許多10個(gè)一包裝的物品，我們?nèi)タ纯?。（教師在PPT上呈現(xiàn)10個(gè)一包的手紙圈、電池、彩筆等）

3.活動(dòng)任務(wù)的設(shè)計(jì)意圖

在這個(gè)游戲活動(dòng)中，學(xué)生最初數(shù)零散的雞蛋感到困難，在教師提供\"數(shù)蛋神器\"后，學(xué)生能快速數(shù)出雞蛋的個(gè)數(shù)，這個(gè)“數(shù)蛋神器\"就是首個(gè)結(jié)構(gòu)化的實(shí)物學(xué)具。通過游戲挑戰(zhàn)的形式，每個(gè)學(xué)生都體驗(yàn)到“1個(gè)1個(gè)\"數(shù)數(shù)的不便，而有了“數(shù)蛋神器”后很快就能數(shù)出個(gè)數(shù)，初步感受到“10個(gè)一組\"數(shù)數(shù)的便捷性，初步理解數(shù)數(shù)時(shí)需要比“一\"大的計(jì)數(shù)單位。

（二）借助直觀結(jié)構(gòu)化的學(xué)具小棒，認(rèn)識“10個(gè)一是1個(gè)十”

1.活動(dòng)任務(wù)及其要求

教師運(yùn)用課件動(dòng)畫演示：太陽落山了，10只小羊咩咩叫著，1只、2只或3只一群地回到羊圈里。

引導(dǎo)學(xué)生完成任務(wù)：請數(shù)一數(shù)有多少只羊，并用小棒擺一擺，展示你的數(shù)數(shù)過程。

2.學(xué)習(xí)過程中的基本片段

（隨著畫面呈現(xiàn)一群小羊走進(jìn)羊圈里，學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)出一共有10只羊。并用小棒分別擺出1個(gè)1個(gè)數(shù)、2個(gè)2個(gè)數(shù)、5個(gè)5個(gè)數(shù)的方法。這些都是學(xué)生之前學(xué)習(xí)0～10的數(shù)數(shù)，相互交流數(shù)的方法后積累的經(jīng)驗(yàn)。教師引發(fā)思考：“數(shù)蛋神器\"能幫我們快速數(shù)雞蛋，數(shù)小棒有“數(shù)棒神器\"嗎？）

生：數(shù)出10根小棒捆成一捆。

師：正如你們所猜測的，在數(shù)學(xué)上，有一個(gè)大家都遵守的約定，滿10個(gè)一，我們就把它變成1個(gè)十。

（教師帶領(lǐng)學(xué)生一起，數(shù)出10根小棒并捆成一捆，10個(gè)一變成1個(gè)十。在黑板上貼小棒圖，并書寫\"10個(gè)一、1個(gè)十”。教師拿起一個(gè)學(xué)生的1捆小棒、再拿起另一個(gè)學(xué)生的…全班一起數(shù)一數(shù)成捆的小棒：“1個(gè)十、2個(gè)十、3個(gè)十…·\"到\"7個(gè)十\"）

生：那么到10個(gè)十時(shí)怎么辦？

生：是100根，就要裝成1大盒。

師：從今天起，我們的數(shù)數(shù)方法除了1個(gè)1個(gè)、2個(gè)2個(gè)、5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，還可以10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)。

3.活動(dòng)任務(wù)的設(shè)計(jì)意圖

在該活動(dòng)中學(xué)生用\"1個(gè)1個(gè)\"\"2個(gè)2個(gè)\"\"5個(gè)5個(gè)\"數(shù)小棒的方法擺出小羊的數(shù)量，為“10個(gè)一捆”做鋪墊。以往這個(gè)環(huán)節(jié)教學(xué)時(shí)，通常會(huì)要求“讓別人一眼就看出是多少”，但在實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，10個(gè)一堆并不能“一眼確定”，還要數(shù)一數(shù)驗(yàn)證才行，學(xué)生并不認(rèn)可。所以本節(jié)課改變了活動(dòng)要求“請你擺出你數(shù)數(shù)的方法”，學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)1個(gè)1個(gè)數(shù)、2個(gè)2個(gè)數(shù)、5個(gè)5個(gè)數(shù)，這樣設(shè)計(jì)順應(yīng)學(xué)生的思考，為“十進(jìn)制\"的出現(xiàn)做好準(zhǔn)備，然后教師明確提出“數(shù)學(xué)上有個(gè)約定，滿10根小棒就要捆成一捆”，讓計(jì)數(shù)單位發(fā)生了變化，“數(shù)棒神器\"把10根小棒變成一捆，計(jì)數(shù)單位也從“一\"變成了“ + ”?！笆弊鳛橛?jì)數(shù)單位本就是“人為創(chuàng)造\"的，因此以約定的形式告知學(xué)生，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（三）運(yùn)用“計(jì)數(shù)神器”，初步體驗(yàn)概念中所蘊(yùn)含的位值原則

1.活動(dòng)任務(wù)及其要求

（1）你能在（將“個(gè)位、十位\"用紙遮?。┯?jì)數(shù)器上用1個(gè)珠子表示10嗎？

（2）在計(jì)數(shù)器上9再添1，如何直觀體驗(yàn)“滿10進(jìn)1”，認(rèn)識\"十進(jìn)制”。

（3）在兩個(gè)計(jì)數(shù)器的個(gè)位、十位上分別撥1個(gè)珠子，表示的數(shù)一樣嗎？

（4）書寫\"10\"和\"1”。說一說：10中的1和0分別表示什么意義？0可以省略（不寫）嗎？

2.學(xué)習(xí)過程中的基本片段

（教師出示一個(gè)沒有數(shù)位的計(jì)數(shù)器，并提問：你能用1個(gè)珠子撥出1個(gè)十嗎？）（學(xué)生嘗試操作）

師：我們?nèi)绾斡?個(gè)珠子表示10？

生：因?yàn)槲沂窃凇笆弧睋艿闹樽樱运硎?個(gè)十。

師：看來這個(gè)神器的神奇之處在于，這些小珠子有不同的“家”一“個(gè)位\"和“十位”，它們可以表示不同的數(shù)，這就是\"計(jì)數(shù)神器”

（教師在計(jì)數(shù)器上標(biāo)出“十位\"\"個(gè)位”，帶領(lǐng)學(xué)生在計(jì)數(shù)器上數(shù)數(shù)：1個(gè)一，2個(gè)一，3個(gè)一…9個(gè)一）

師：9個(gè)一再添1個(gè)是多少？我們應(yīng)該怎么辦？

生：10個(gè)一相當(dāng)于1個(gè)十，只需將這個(gè)珠子撥上去，個(gè)位的珠子就可以全部退回，然后在十位撥上1個(gè)珠子。

師：“10個(gè)一就變成1個(gè)十\"的約定在計(jì)數(shù)器上 同樣要遵守。

師：為什么兩個(gè)計(jì)數(shù)器都撥了1個(gè)珠子，但表示的意思卻不同？

生：因?yàn)檫@個(gè)珠子在十位表示10，在個(gè)位則表示1。

生：珠子放在不同的位置，意義就不同。

師：顯然，“計(jì)數(shù)神器”是通過不同的位置來區(qū)分不同的意義。

師：同學(xué)們都能正確書寫10（出示“田字格\"中的10），那么10中的1和0分別表示什么？/JP

（教師將寫好的10貼到了黑板上“計(jì)數(shù)器”的下方，利用直觀的計(jì)數(shù)器作為學(xué)習(xí)支架，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)字符號所表示的含義）生：1表示十位上是1個(gè)珠子，即1個(gè)十。0表示個(gè)位上沒有珠子。師：既然0表示沒有，那么我們可不可以不寫0？生：如果單獨(dú)看0，它確實(shí)沒有作用，但如果和1組合，它就有意義了。生：如果沒有計(jì)數(shù)器，0需要占位，它告訴我們1在十位上。師：借助計(jì)數(shù)器的幫助，我們不僅學(xué)會(huì)了書寫1和10，還理解了這兩個(gè)數(shù)中每個(gè)數(shù)字表示的意義。師：10和0～9有什么不同嗎？生：10是兩位數(shù)，而其他數(shù)都是一位數(shù)。生：其他都是單個(gè)數(shù)字，而10是用1和0兩個(gè)數(shù)字組成的。

3.活動(dòng)任務(wù)的設(shè)計(jì)意圖

由于位值原則較為抽象，因此這部分教學(xué)分為四個(gè)層次。第一層次，教師提出問題“如何用1個(gè)珠子表示10？\"學(xué)生意識到需要不同的數(shù)位，有了數(shù)位就有了“計(jì)數(shù)神器”，讓他們初次體驗(yàn)“數(shù)位”的作用。第二層次，在計(jì)數(shù)器上進(jìn)一步體會(huì)“十進(jìn)制”，撥珠子也要“滿10進(jìn)1”，個(gè)位滿10向十位進(jìn)1，個(gè)位的10個(gè)珠子換成了十位的1個(gè)珠子，再次體驗(yàn)10個(gè)一就是1個(gè)十。第三層次，比較計(jì)數(shù)器上不同位置的珠子，感受計(jì)數(shù)器上不同位值表示的不同意義。第四層次，書寫數(shù)。當(dāng)教師提出“10中的1和0分別表示什么\"的問題時(shí)，學(xué)生無法回答，將數(shù)放在計(jì)數(shù)器中后，學(xué)生立刻理解了。教師進(jìn)一步追問“10和0～9有什么不同嗎？”學(xué)生都能注意到“位數(shù)\"不同。計(jì)數(shù)神器\"的分層教學(xué)，分散難點(diǎn)，讓學(xué)生在層層遞進(jìn)的深入思考中認(rèn)識“十進(jìn)位值制\"的計(jì)數(shù)法。

（四）購物體驗(yàn)，數(shù)學(xué)回歸生活

1.活動(dòng)任務(wù)及其要求

教師設(shè)計(jì)了8張“購物清單\"裝在盒子里，學(xué)生隨機(jī)抽取購物清單后，在模擬超市里拿出相應(yīng)的物品，并說一說拿的過程（如圖1）。

圖1

2.學(xué)習(xí)過程中的基本片段（學(xué)生抽取購物清單后拿取相應(yīng)的貨物）師：為什么是拿2塊橡皮，而不是拿2盒？生：1盒是10塊，我們要拿的是2塊，不是20塊。

師：如何更快地拿到15杯酸奶？

生：可以先拿1盒酸奶，再數(shù)出5杯，總共就是15杯。

師：為什么20個(gè)羽毛球拿2筒？

生：1筒有10個(gè)，2筒就是20個(gè)。

師：10支鉛筆有不同的拿法嗎？

生：我拿一捆正好10支，一下就拿夠了。

生：我也可以數(shù)出10支。

3.活動(dòng)任務(wù)的設(shè)計(jì)意圖

通過模擬生活情景的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生再次體會(huì)1和10不同計(jì)數(shù)單位在計(jì)數(shù)時(shí)的作用，更激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而初步感悟數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

三、課后反思：有層次使用直觀學(xué)具，感悟抽象的計(jì)數(shù)原理

“數(shù)（shu）源于數(shù)（shu）”，數(shù)數(shù)活動(dòng)貫穿于本節(jié)課的始終。雖然，所數(shù)的“對象”不同，有散亂的雞蛋、盒裝的雞蛋、散亂以及打捆的小棒、計(jì)數(shù)器上的珠子等，但這些學(xué)具的“結(jié)構(gòu)性\"“抽象性”不同，都指向讓學(xué)生初步感知自然數(shù)所蘊(yùn)含的十進(jìn)制、位值原則。本節(jié)課運(yùn)用三大“計(jì)數(shù)神器”一雞蛋滿10裝盒、小棒滿10捆成一捆、計(jì)數(shù)器滿10進(jìn)一，通過幾次引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)際操作，將“十進(jìn)制”這個(gè)抽象的概念形象化、趣味化，使學(xué)生感受使用新計(jì)數(shù)單位來數(shù)數(shù)的必要性。

初步理解位值原則是本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，最直觀的學(xué)具就是“計(jì)數(shù)神器”，因此這個(gè)學(xué)具的使用過程分為幾個(gè)層次：從“怎樣用1個(gè)珠子表示\"到“都是1個(gè)珠子為什么意義不同”，再到書寫“10\"中“1、0”分別表示什么意義的探究。這些問題不斷引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突、真問題。在“計(jì)數(shù)神器\"的幫助下，學(xué)生一步步逐個(gè)解決問題，這個(gè)過程就是對位值原則認(rèn)識和理解的過程。

數(shù)學(xué)課離不開學(xué)具的使用，選擇合適的學(xué)具是為教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的，許多學(xué)具背后蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵和價(jià)值。一節(jié)好課，不僅要選對學(xué)具，還要用好學(xué)具，讓學(xué)具成為學(xué)生學(xué)習(xí)的“好朋友”。用好學(xué)具不僅能夠幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，還能夠激發(fā)學(xué)生的自主遷移能力，培育學(xué)生初步的數(shù)感。

（1.北京市西城區(qū)黃城根小學(xué)2.北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院3.北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院）