借助有層次的“數數神器”感悟十進位值制

在人教版教材一年級上冊（2024年國家教材委員會專家委員會審核通過）中，將10的認識分為兩個階段進行編排，分別安排在第二單元“6～10的認識和加、減法\"和第四單元“ 11～20 的認識”。在《10的認識》一課中，強調“9再添1是 10^′′ ，即\"10個一”，表示數量的多少。而在《10的再認識》一課中，學習作為新計數單位的“十”正式認識\"個位、十位\"這兩個數位，初步感受數概念背后的十進制、位值原則。在《10的再認識》一課中，教材呈現了認識數的不同現實情境與相關學具。那么，教師如何用好這些教學素材，讓學生感受到“十\"作為新計數單位在數數時“既方便又清楚”？這些教學素材（學具）的層次是什么？教學中如何用好這些學具讓學生初步感受十進制、位值原則，培養學生初步的數感？圍繞這些問題，筆者進行了以下思考和教學實踐探索。

一、課前思考：設計并用好三種\"數數神器”

人們最初以“一\"為計數單位來計數物品數量的多少，是最基本的方式。隨著物品數量的增加，使用“一\"計數和表達數量的多少變得煩瑣，因此需要創造更大的計數單位。人類發展史上，不同民族曾采用不同的計數進制，例如\"五” + \"\"二十\"\"六十\"等進制，反映了各自不同的計數需求和歷史特點。正如亞里士多德所言，“由于人有10根手指這一生理解剖學的事實”，最終各個民族都采用了“十進制\"計數系統。

對于學生而言，使用“十\"作為計數單位并不如使用“二、五\"來得直觀，因為學生不能“一眼\"著出是否\"10”個。如何讓學生真正感受到“十\"作為計數單位的必要性呢？教材主題圖提供的是“10名小朋友圍成一圈，中間站著1名小朋友”，學生不容易通過這個教學情境感受到“10個一組，數起來既方便又清楚”。受教材中“做一做\"欄目提供的“一雙手、一捆10支的鉛筆、一行5個有兩行的盒裝雞蛋\"等生活情境的啟發，教學時讓學生對比數“散裝雞蛋\"與數“盒裝雞蛋”，體會哪種方法更便捷，有助于他們感受“10個一組\"數數即\"十\"作為計數單位的必要性，從而理解自然數概念所蘊含的十進制計數法。

本節課還要讓學生認識“數位”初步感受位值原則即“0的占位作用”，他們知道“10”是兩位數，而不是一位數（讀“10\"時只有“一個音”，但寫數卻有兩個數位）。對于一年級學生來說，位值原則遠比十進制更抽象，因此，只有借助半直觀、半抽象的計數器以及對比思考“讀數、寫數\"的不同，才能把抽象的位值原則“可視化、形象化”，便于學生理解和接受。

教材中所提供的學具（散亂的小棒、一捆10根的小棒和計數器）有不同的層次，用好不同層次學具，能夠幫助學生逐步理解“十\"作為計數單位的價值以及蘊含的原理。基于此，筆者在讀懂教材的基礎上，重新設計了本節課的數數\"三大神器”。

“數蛋神器”。即一個有兩行、每行裝5個的雞蛋盒子。由于每行是5個雞蛋，有這樣的兩行，學生很容易知道一盒雞蛋有10個，無須再“1個1個”地數出來。

“數棒神器”。即用皮筋把10根小棒捆成一捆。學生在“打捆\"過程中經歷10根小棒捆成一捆，逐步接受\"10個一\"是\"1個十\"的事實。

“計數神器”。計數器是結構化的、半具體半抽象的學具，同樣的“1個珠子\"放在不同的“位置\"能表示“一\"也能表示“十”，這個“位置”自右向左規定為“個位、十位”，由此產生“數位\"概念。每個“數位”上最多只能放“9個珠子”，“滿10\"就要向前一數位“進1”。計數器能夠幫助學生理解寫出來的數中“每個數字\"所表示的“單位\"不同。

本節課的目標是使用這三個神器，幫助學生達成下述學習目標。

（1）重新認識“10”，感受“10個一組數數既方便又清楚”，知道\"10個一\"是\"1個十”，“十\"是新的計數單位。

（2）認識“個位、十位”，知道十位上的“1\"表示“1個十”，個位上的“0\"表示沒有，知道“10”是一個兩位數。

（3）在捆小棒、撥珠子的過程中，通過對比分析“1\"\"10\"的書寫以及反思總結等學習活動，初步感受自然數概念所遵循的十進制、位值原則，形成初步的數感。

二、課堂實踐：有效組織有層次、高階思維參與的學習活動

（一）用好\"數蛋神器”，體驗\"10個一組\"數數的便利性

1.活動任務及其要求數蛋游戲：在限定時間內，數出PPT上出示的雞蛋數量。數對了就可以得1顆星。第一組PPT依次出示6個、14個、15個零散無序擺放的雞蛋。第二組PPT依次出示16個、20個、14個“10個裝一盒\"再加幾個散裝的雞蛋。

2.學習過程中的基本片段

（數蛋游戲第一組是以散亂無結構零散的形式出示，6個雞蛋學生能快速數出來，但當出示14個、15個雞蛋時，學生便無法快速數出。教師借此機會推薦“數蛋神器”，即第二組雞蛋以一盒零幾個的形式出示，學生立刻能報出雞蛋數量。教師追問：“你們怎么數得這么快？”）

生：因為這個“數蛋神器”，每個盒子里有10個，我們只需數盒子外散放的雞蛋，10加上幾就是十幾。

生：1盒是10個，2盒就是10加10，即20個。

生：有了“數蛋神器”，數起來特別快，1盒和幾個加起來就是十幾。

師：你們數得這么快，是什么起了作用？

生：“數蛋神器”。

師：這個雞蛋盒10個一組，方便我們計數，生活中還有許多10個一包裝的物品，我們去看看。（教師在PPT上呈現10個一包的手紙圈、電池、彩筆等）

3.活動任務的設計意圖

在這個游戲活動中，學生最初數零散的雞蛋感到困難，在教師提供\"數蛋神器\"后，學生能快速數出雞蛋的個數，這個“數蛋神器\"就是首個結構化的實物學具。通過游戲挑戰的形式，每個學生都體驗到“1個1個\"數數的不便，而有了“數蛋神器”后很快就能數出個數，初步感受到“10個一組\"數數的便捷性，初步理解數數時需要比“一\"大的計數單位。

（二）借助直觀結構化的學具小棒，認識“10個一是1個十”

1.活動任務及其要求

教師運用課件動畫演示：太陽落山了，10只小羊咩咩叫著，1只、2只或3只一群地回到羊圈里。

引導學生完成任務：請數一數有多少只羊，并用小棒擺一擺，展示你的數數過程。

2.學習過程中的基本片段

（隨著畫面呈現一群小羊走進羊圈里，學生運用已有的數數經驗數出一共有10只羊。并用小棒分別擺出1個1個數、2個2個數、5個5個數的方法。這些都是學生之前學習0～10的數數，相互交流數的方法后積累的經驗。教師引發思考：“數蛋神器\"能幫我們快速數雞蛋，數小棒有“數棒神器\"嗎？）

生：數出10根小棒捆成一捆。

師：正如你們所猜測的，在數學上，有一個大家都遵守的約定，滿10個一，我們就把它變成1個十。

（教師帶領學生一起，數出10根小棒并捆成一捆，10個一變成1個十。在黑板上貼小棒圖，并書寫\"10個一、1個十”。教師拿起一個學生的1捆小棒、再拿起另一個學生的…全班一起數一數成捆的小棒：“1個十、2個十、3個十…·\"到\"7個十\"）

生：那么到10個十時怎么辦？

生：是100根，就要裝成1大盒。

師：從今天起，我們的數數方法除了1個1個、2個2個、5個5個地數，還可以10個10個地數。

3.活動任務的設計意圖

在該活動中學生用\"1個1個\"\"2個2個\"\"5個5個\"數小棒的方法擺出小羊的數量，為“10個一捆”做鋪墊。以往這個環節教學時，通常會要求“讓別人一眼就看出是多少”，但在實踐中我們發現，10個一堆并不能“一眼確定”，還要數一數驗證才行，學生并不認可。所以本節課改變了活動要求“請你擺出你數數的方法”，學生運用已有經驗1個1個數、2個2個數、5個5個數，這樣設計順應學生的思考，為“十進制\"的出現做好準備，然后教師明確提出“數學上有個約定，滿10根小棒就要捆成一捆”，讓計數單位發生了變化，“數棒神器\"把10根小棒變成一捆，計數單位也從“一\"變成了“ + ”。“十”作為計數單位本就是“人為創造\"的，因此以約定的形式告知學生，符合學生的認知規律。

（三）運用“計數神器”，初步體驗概念中所蘊含的位值原則

1.活動任務及其要求

（1）你能在（將“個位、十位\"用紙遮住）計數器上用1個珠子表示10嗎？

（2）在計數器上9再添1，如何直觀體驗“滿10進1”，認識\"十進制”。

（3）在兩個計數器的個位、十位上分別撥1個珠子，表示的數一樣嗎？

（4）書寫\"10\"和\"1”。說一說：10中的1和0分別表示什么意義？0可以省略（不寫）嗎？

2.學習過程中的基本片段

（教師出示一個沒有數位的計數器，并提問：你能用1個珠子撥出1個十嗎？）（學生嘗試操作）

師：我們如何用1個珠子表示10？

生：因為我是在“十位”撥的珠子，所以它表示1個十。

師：看來這個神器的神奇之處在于，這些小珠子有不同的“家”一“個位\"和“十位”，它們可以表示不同的數，這就是\"計數神器”

（教師在計數器上標出“十位\"\"個位”，帶領學生在計數器上數數：1個一，2個一，3個一…9個一）

師：9個一再添1個是多少？我們應該怎么辦？

生：10個一相當于1個十，只需將這個珠子撥上去，個位的珠子就可以全部退回，然后在十位撥上1個珠子。

師：“10個一就變成1個十\"的約定在計數器上 同樣要遵守。

師：為什么兩個計數器都撥了1個珠子，但表示的意思卻不同？

生：因為這個珠子在十位表示10，在個位則表示1。

生：珠子放在不同的位置，意義就不同。

師：顯然，“計數神器”是通過不同的位置來區分不同的意義。

師：同學們都能正確書寫10（出示“田字格\"中的10），那么10中的1和0分別表示什么？/JP

（教師將寫好的10貼到了黑板上“計數器”的下方，利用直觀的計數器作為學習支架，幫助學生理解抽象的數字符號所表示的含義）生：1表示十位上是1個珠子，即1個十。0表示個位上沒有珠子。師：既然0表示沒有，那么我們可不可以不寫0？生：如果單獨看0，它確實沒有作用，但如果和1組合，它就有意義了。生：如果沒有計數器，0需要占位，它告訴我們1在十位上。師：借助計數器的幫助，我們不僅學會了書寫1和10，還理解了這兩個數中每個數字表示的意義。師：10和0～9有什么不同嗎？生：10是兩位數，而其他數都是一位數。生：其他都是單個數字，而10是用1和0兩個數字組成的。

3.活動任務的設計意圖

由于位值原則較為抽象，因此這部分教學分為四個層次。第一層次，教師提出問題“如何用1個珠子表示10？\"學生意識到需要不同的數位，有了數位就有了“計數神器”，讓他們初次體驗“數位”的作用。第二層次，在計數器上進一步體會“十進制”，撥珠子也要“滿10進1”，個位滿10向十位進1，個位的10個珠子換成了十位的1個珠子，再次體驗10個一就是1個十。第三層次，比較計數器上不同位置的珠子，感受計數器上不同位值表示的不同意義。第四層次，書寫數。當教師提出“10中的1和0分別表示什么\"的問題時，學生無法回答，將數放在計數器中后，學生立刻理解了。教師進一步追問“10和0～9有什么不同嗎？”學生都能注意到“位數\"不同。計數神器\"的分層教學，分散難點，讓學生在層層遞進的深入思考中認識“十進位值制\"的計數法。

（四）購物體驗，數學回歸生活

1.活動任務及其要求

教師設計了8張“購物清單\"裝在盒子里，學生隨機抽取購物清單后，在模擬超市里拿出相應的物品，并說一說拿的過程（如圖1）。

圖1

2.學習過程中的基本片段（學生抽取購物清單后拿取相應的貨物）師：為什么是拿2塊橡皮，而不是拿2盒？生：1盒是10塊，我們要拿的是2塊，不是20塊。

師：如何更快地拿到15杯酸奶？

生：可以先拿1盒酸奶，再數出5杯，總共就是15杯。

師：為什么20個羽毛球拿2筒？

生：1筒有10個，2筒就是20個。

師：10支鉛筆有不同的拿法嗎？

生：我拿一捆正好10支，一下就拿夠了。

生：我也可以數出10支。

3.活動任務的設計意圖

通過模擬生活情景的實踐活動，學生再次體會1和10不同計數單位在計數時的作用，更激發學生學習數學的興趣，從而初步感悟數學在現實生活中的應用。

三、課后反思：有層次使用直觀學具，感悟抽象的計數原理

“數（shu）源于數（shu）”，數數活動貫穿于本節課的始終。雖然，所數的“對象”不同，有散亂的雞蛋、盒裝的雞蛋、散亂以及打捆的小棒、計數器上的珠子等，但這些學具的“結構性\"“抽象性”不同，都指向讓學生初步感知自然數所蘊含的十進制、位值原則。本節課運用三大“計數神器”一雞蛋滿10裝盒、小棒滿10捆成一捆、計數器滿10進一，通過幾次引導學生動手實際操作，將“十進制”這個抽象的概念形象化、趣味化，使學生感受使用新計數單位來數數的必要性。

初步理解位值原則是本節課的學習難點，最直觀的學具就是“計數神器”，因此這個學具的使用過程分為幾個層次：從“怎樣用1個珠子表示\"到“都是1個珠子為什么意義不同”，再到書寫“10\"中“1、0”分別表示什么意義的探究。這些問題不斷引發學生產生認知沖突、真問題。在“計數神器\"的幫助下，學生一步步逐個解決問題，這個過程就是對位值原則認識和理解的過程。

數學課離不開學具的使用，選擇合適的學具是為教學目標服務的，許多學具背后蘊含著豐富的內涵和價值。一節好課，不僅要選對學具，還要用好學具，讓學具成為學生學習的“好朋友”。用好學具不僅能夠幫助學生學習數學知識，還能夠激發學生的自主遷移能力，培育學生初步的數感。

（1.北京市西城區黃城根小學2.北京教育學院數學與科學教育學院3.北京市西城區教育研修學院）