鑄鋼相貫節點多工況形狀優化方法

中圖分類號：TU391 文獻標志碼：A

Abstract：Cast steel tubular joints have the advantages of excellnt integrity and low stress concentration levels，making them widely used in spatial structures.However，current design codes do not provide verification formulasforsuch joints，which forces engineers torelyon finiteelementanalysis forsafetyvalidation.This often leads them to search for reasonable design schemes through a trial-and-errr approach.To improve the design eficiency and quality，this paper first proposes a novel shape optimization method，which develops the parametric modeling of jointsbased on subdivisionsurface，realizes theautomatic finiteelementanalysisof joints through secondarydevelopment in ABAQUS，and adjusts the shape of the joints with the genetic algorithm.Secondly，the objective functionof the shape optimization problem under multiple load cases is constructed using four objective merging methods，namely linear weighted method，compromise programming method， ε- constraint method，and minimax method，respectively，and the shape optimization problem under multiple load cases is transformed into a single-objective optimization problem.Finall，the above methods are applied toacast steel tubular joint in a cylinder shell，and the results demonstrated that the proposed method can reduce the peak Mises stress of the joint by 44% ～60%，effectively reducing the stress level of the joints without increasing the joint volume significantly.At the same time，among the objective merging methods，the maximum minimization method can balance diferent load cases most effctivelyand exhibit similar peak Mises stress under diferent load cases，making the most use of the material.

Key words：shape optimization; multi-objective optimization;cast steel tubular joints;subdivision surface ; ge. neticalgorithms

鑄鋼相貫節點是鋼結構中一種常見的節點形式，在網殼與空間管桁架等結構中具有廣泛應用.鑄鋼相貫節點由鑄鋼材料一體澆筑成型，與焊接節點相比，鑄鋼相貫節點具有更好的整體性，并且可以避免由焊接引起的材料收縮與應力集中↓.盡管鑄鋼相貫節點具有諸多優良特性，但現行規范中缺少相關承載力計算公式，工程師需要進行反復的有限元分析和方案調整，以完成節點的設計與校核.這種基于試錯的設計方法極大地增加了節點設計的時間與人力成本.

目前，左文康等[2-3]和Chen等[4-5]、杜文風研究團隊[6-9]、Huang等[10-11]和Seifi等[12]學者已將拓撲優化方法應用于鑄鋼相貫節點的設計流程中.拓撲優化雖能有效減輕節點重量并提升結構性能，但也存在明顯不足.首先，拓撲優化節點通常具有不規則的形狀與復雜的拓撲結構，無法通過鑄造等常規工藝生產，只能通過3D打印技術進行制造[13].目前，金屬3D打印的成本遠高于鑄造等常規工藝，并且大尺度3D打印技術尚未成熟9.其次，拓撲優化結構往往需要經過煩瑣的后處理才能成為合理、可用的設計方案[4.后處理過程雖然降低了節點的優化效果，但是增加了節點設計的時間和人力成本.最后，結構應力是工程師最為關注的力學指標，然而現有拓撲優化方法卻通常將應變能取為自標函數，而面向應力的拓撲優化方法仍存在一定挑戰[15-16].

形狀優化是僅對結構的幾何邊界進行調整的結構優化技術[7].與拓撲優化相比，形狀優化具有一些突出的優點.首先，形狀優化僅會修改結構的表面形狀，而不會更改結構的拓撲.因此，形狀優化不會產生拓撲復雜、難以生產的設計方案.其次，借助恰當的幾何表達方法，形狀優化可直接獲得表面光滑的設計方案.研究面向鑄鋼相貫節點的形狀優化方法，將有效彌補拓撲優化方法的不足.

節點設計過程中通常需要考慮節點在多個荷載工況下的應力水平，因此，有必要研究節點的多工況優化問題.多工況優化問題的本質是多目標優化問題.目前，在結構優化領域，研究人員通常采用目標合并方法，將多個優化自標合并為一個優化自標，從而將多目標優化問題轉化為單目標優化問題.然而，現有研究主要關注多工況拓撲優化問題[18-22]，多工況形狀優化方面的研究還很少.

本文面向鑄鋼相貫節點，首先提出了一種新的形狀優化方法，該方法基于細分曲面技術完成節點幾何模型的構造，基于Abaqus二次開發完成節點的自動化有限元分析，并基于遺傳算法對節點的形狀進行調整和優化.其次，分別采用線性加權法、折中規劃法、 ε- 約束法和最大值最小化法構造了多工況形狀優化問題的目標函數，并將多工況優化問題轉化為單目標優化問題.最后，使用本文提出的方法對某柱面網殼中的鑄鋼相貫節點進行了形狀優化.

1鑄鋼相貫節點形狀優化方法

1.1總體介紹

本文所提出的形狀優化方法的整體框架如圖1所示，該框架主要由3個模塊組成：幾何建模、結構分析和優化算法.幾何建模模塊負責鑄鋼相貫節點的參數化幾何建模，該模塊可根據節點尺寸與形狀控制參數生成節點幾何模型；結構分析模塊負責完成鑄鋼相貫節點的有限元分析；優化算法模塊負責控制形狀優化的總體流程，并基于遺傳算法對鑄鋼相貫節點的形狀進行調整.

圖1形狀優化方法總體框架

在鑄鋼相貫節點的形狀優化任務中，優化算法模塊首先生成初始種群，并輸出種群所有個體的形狀控制參數.幾何建模模塊讀入形狀控制參數，并生成相應的節點幾何模型.結構分析模塊讀入節點幾何模型、進行有限元分析，并輸出分析結果.優化算法模塊讀入分析結果、計算適應度、執行遺傳操作并生成子代種群.這一過程將重復進行直至達到預定的終止條件.

1.2幾何建模

1.2.1幾何表達方式的選擇

進行形狀優化首先需要確定結構形狀的幾何表達方式.過往研究中，有限元網格和NURBS（non-uniformrationalB-splines，非均勻有理B樣條）曲面是兩種最為主要的幾何表達方法.使用有限元網格表達結構形狀，并通過移動網格節點調整結構形狀，雖簡便易行，但會造成鋸齒狀的結構幾何邊界[23].使用NURBS曲面表達結構的幾何形狀，并通過移動控制點調整曲面形狀，雖能獲得光滑的幾何形狀，但NURBS曲面的張量積結構使得它難以表達鑄鋼相貫節點這一類拓撲結構復雜的曲面.因此，解決鑄鋼相貫節點的形狀優化問題，仍需尋找新的幾何表達方式.

細分曲面是一種基于網格的造型技術，其概念最早由Chaikin24提出.細分曲面是一種用網格表達曲面的方法，它的思想是從控制網格開始，按照一定細分規則，對網格進行反復細分，最終得到一個無限逼近光滑曲面的網格.細分曲面的控制網格可具有任意拓撲結構，因此細分曲面可以表達具有任意拓撲結構的幾何形狀.同時，細分曲面的形狀完全由控制網格決定，移動控制網格頂點即可對曲面進行調整.細分曲面的這些特點充分滿足了鑄鋼相貫節點形狀優化的需要，因此，本文使用細分曲面完成鑄鋼相貫節點幾何模型的構造.

1.2.2幾何模型構造方法與設計變量選取

圖2展示了鑄鋼相貫節點幾何模型的構造流程.首先，根據節點的軸線與管徑參數，構造出節點的初始控制網格.其次，根據節點的形狀控制參數，移動控制網格的頂點，使控制網格發生變形.最后，對變形后的控制網格進行細分操作，從而得到光滑的節點形狀.

圖2鑄鋼相貫節點幾何模型構造流程

節點初始控制網格的構造是基于RhinoGrass-hopper平臺的MultiPipe運算器實現的，該運算器可根據用戶提供的軸線與管徑信息，構造出多管交匯的細分曲面控制網格（見圖3）.在獲得初始控制網格后，移動控制網格頂點，以改變控制網格形狀.為使頂點移動最大限度地改變曲面形狀，限制頂點僅沿網格法線方向移動；同時，為保證節點能與相鄰構件連接，使控制網格邊界頂點固定不動，僅移動網格內部頂點（見圖4）.完成頂點移動后，即得到變形后的控制網格，對其進行細化操作，就得到了最終的節點形狀（見圖5）.

圖4控制網格頂點的移動

Fig.4The movement of the control mesh vertex

圖5由控制網格得到的細分曲面

將控制頂點i沿著法向移動的距離記作形狀控制參數 d_i. 確定控制網格所有頂點的形狀控制參數 d_i 后，節點的形狀就被完全確定，因此將參數 d_i 取為優化問題的設計變量.

1.3結構分析

結構分析模塊負責完成鑄鋼相貫節點的有限元分析，并提取分析結果，以供優化算法模塊使用.該模塊是在ABAQUS軟件中通過二次開發實現的，其具體流程如圖6所示.首先，結構分析模塊將節點的幾何模型導入軟件，并完成材料屬性的設置.在對節點進行分析時，采用線彈性模型.鑄鋼材料的彈性模量與泊松比分別取 2.06×10⁵MPa 與0.3.隨后，完成有限元模型的網格劃分.由于本研究主要關注等壁厚鑄鋼相貫節點的形狀優化問題，因此可使用殼單元進行建模分析.在這之后，根據節點的實際情況，完成荷載與邊界條件的施加.最后，進行有限元分析、提取并輸出分析結果.

圖6結構分析模塊流程圖

Fig.6The flow chart of the structural analysis module

1.4優化算法

優化算法模塊負責根據節點有限元分析的結果對節點的形狀控制參數進行調整.在本研究中，形狀優化問題的設計變量為節點的形狀控制參數 d_i ，目標函數為節點的力學指標.由于二者之間的數學關系難以確定、目標函數的梯度信息不便計算，依賴梯度的數學規劃方法難以應用，因此，本文采用無需計算梯度的遺傳算法求解優化問題.遺傳算法已被廣泛應用于各類結構優化問題的研究中.Kociecki等[25]采用遺傳算法對自由曲面鋼網架屋蓋的形狀進行了優化，以減小結構自重；Gentils等[2采用遺傳算法對海上風機的基礎機構進行了優化； Zhu 等[27]以非線性屈曲荷載為目標函數，采用遺傳算法對鋁合金單層網殼的形狀進行了優化；Wang等28]采用多目標混合遺傳算法對自由曲面鋁合金網殼的形狀進行了優化；Li等29采用遺傳算法對鑄鋼相貫節點的單工況形狀優化問題進行了求解.

本文的遺傳算法流程圖如圖7所示.首先，優化算法模塊隨機生成初始種群，確定種群所有個體的形狀控制參數 d_i 并將其輸出.隨后，幾何建模模塊和結構分析模塊分別完成節點幾何模型構建和有限元分析.在獲得所有個體的有限元分析結果后，計算所有個體的適應度，執行遺傳操作并生成子代種群.對子代種群重復上述過程，直至達到終止條件.

2多工況形狀優化自標函數

多工況優化問題的本質是一個多目標優化問題，多目標優化問題的求解方法可分為Pareto排序方法與目標合并方法.Pareto排序方法根據Pareto支配關系對可行解進行排序，并將可行解中的非支配解作為最優解.由于非支配解通常并不唯一，因此Pareto排序方法得到的最優解一般是多個可行解的集合．然而，工程設計中的設計方案必須是唯一的，因此在使用Pareto排序方法時，工程師需要從多個非支配解中選出最終的設計方案.非支配解之間通常不存在明顯的優劣關系，故這種選擇往往存在較大困難.

目標合并方法是按照一定方式將多個目標合并為單一的目標，并將多目標優化問題轉化為單目標優化問題.目標合并方法得到的最優解是唯一的，無需工程師進行選擇，符合工程設計的實際需要.因此本文采用目標合并方法建立多工況形狀優化問題的目標函數.常用的目標合并方法有線性加權法（lin-ear weighted method）、折中規劃法（compromise programming method） A -約束法（ε-constraint method）與最大值最小化法（minimaxmethod）等.

線性加權法根據各目標函數的重要程度，確定其權重，并對所有目標函數加權求和，從而獲得單一的目標函數.設多目標優化問題中有 n 個目標，則由線性加權法得到的目標函數為：

式中： ω_k 為目標 k 對應的權重.

折中規劃法又叫作理想點法，核心思想是構造一個理想點，該點代表了所有目標函數的最優值.理想點法試圖找到最接近這個理想點的可行解，從而在多個沖突目標之間達到最佳平衡.假設某問題存在2個優化目標 f₁ 和 f₂ ，其下限值分別為 f_1^* 和 f_2^* ，則該問題的理想點即為 （f_1^*，f_2^*） （圖8中的紅色點）.設可行解 的目標函數值為 f₁（x） 和 f₂（x） ，則折中規劃法就是要尋找可行解 x^* ，使點 （f₁（x^*），f₂（x^*） 到理想點的距離 L 最小.由此可得到折中規劃法的目標函數為：

圖8折中規劃法示意圖

若目標函數的個數為 n ，同時考慮各目標函數的權重，則此時的目標函數為：

ε- 約束法的思路是將某一個目標確定為主目標，同時為其他目標設定一個限值 ε ，從而將其他目標轉化為約束條件.若設主目標為 f_m ，非主目標 ?f_k 的限值為 ε_k ，則由 ε- 約束法得到的優化格式為：

最大值最小化法的思路是使所有目標中的最大值最小的方法，相應的目標函數如式（5）所示.

min_1≤k?nf_k

將上述目標合并方法應用于多工況形狀優化問題中，就可以把多工況形狀優化問題轉化為單目標優化問題，繼而可運用上文介紹的方法完成鑄鋼相貫節點的多工況形狀優化.

3優化算例

3.1節點概況

本文以一柱面網殼為背景，對網殼中的一個典型鑄鋼相貫節點進行了多工況形狀優化.柱面網殼如圖9所示，其幾何參數如表1所示.考慮6種荷載工況（見表2）和41種荷載組合（篇幅所限，此處不列舉），對柱面網殼進行結構分析.提取圖9所示節點的最不利內力，發現軸力 F 與繞水平軸的彎矩M的值較大，而其他內力項的值很小，因此在對節點進行分析和優化時，僅施加以上兩項內力（如圖10所示）.最終，得到5組最不利工況如表3所示，

圖9柱面網殼與網殼中的鑄鋼相貫節點（單位： mm ） Fig.9The cylinder shell and the cast steel tubular joint （unit：mm）

表1柱面網殼幾何參數

Tab.1 Thegeometricparametersof thecylindergrid shell

圖11節點初始形狀

？

圖10節點內力示意圖 Fig.10 The internal forces of the joint

根據1.2節所述的幾何建模方法，將形狀控制參數 d_i 全部取為0，得到節點的初始形狀，如圖11所示.為確定初始節點的應力狀態，建立了節點的有限元模型.首先，采用殼單元進行建模，并通過敏感性分析將網格尺寸確定為 12mm ，節點的有限元網格如圖12所示.其次，在各桿端建立局部坐標系，局部坐標系1軸為桿軸方向，由桿端指向節點中心；2軸位于豎直平面內，指向 Z 軸正方向；3軸方向按照左手坐標系確定.之后，對節點施加邊界條件，約束1桿端部的U1、U2、U3和UR1自由度，約束了4桿的U2和U3自由度，節點的局部坐標系與邊界條件如圖13所示.最后，按照表3對節點施加荷載，完成有限元模型的建立.

對初始節點進行有限元分析，得到了該節點在/ ★各荷載工況下的應力分布狀況如圖14所示.各工況下節點的峰值Mises應力如表4所示.由圖14可以看出，節點在各工況下的應力分布狀況存在顯著差異.

圖13邊界條件 Fig.13 Boundary condition

3.2單工況優化

在對節點進行多工況優化前，首先對其進行單工況優化.將節點的形狀控制參數 d_i 取作優化問題

表3節點最不利工況

Tab.3 Themostunfavorableloadcases of thejoint

表4節點在各工況下的峰值Mises應力

Tab.4 The peak Misesstressof the joint under each load case

的設計變量.節點的峰值Mises應力是節點安全校核的關鍵指標，為了有效降低節點的應力水平，將節點的峰值Mises應力取為優化問題的目標函數.同時，為了避免節點體積過度增大引起的造價提高，在優化問題的目標函數中添加節點體積的懲罰項，由此得到單工況形狀優化問題的目標函數：

式中： d_i 為控制網格頂點 i 的形狀控制參數； σ 為當前節點峰值Mises應力； σ_ref 為應力參考值，此處取作鑄鋼材料的屈服應力，即 σ_ref=235MPa;λ 為懲罰系數，在本算例中取為5；V與 V₀ 分別為當前節點與初始節點的體積.

采用遺傳算法對該優化問題進行求解.遺傳算法的種群規模為100，遺傳代數為50代；選擇算子為錦標賽選擇算子，錦標賽規模為3；交叉算子為均勻交叉算子，交叉率為0.5；變異算子為均勻變異算子，變異率為0.3.采用上述參數對節點在5組工況下的形狀進行優化，每組工況分別進行5次嘗試，并選取5次嘗試中的最優個體作為該工況的優化結果.

節點在各工況下的優化形狀與輪廓線分別如圖15和圖16所示.由圖15與圖16可以看出，優化后的節點形狀較初始形狀有顯著改變，這表明本文的幾何模型構造方法能夠靈活地調整節點形狀.同時，各工況下的優化形狀存在較為明顯的不同，說明不同工況下的優化方向存在差異，有必要綜合考慮多個工況，進行多工況的形狀優化，

統計單工況優化節點的峰值Mises應力水平，結果如表5所示.為便于對比，繪制了如圖17所示的峰值Mises應力柱狀圖.由表5及圖17可以看出，單工況優化節點在優化工況下的峰值Mises應力出現了顯著降低，降幅在 44%～60% 不等.然而，單工況優化節點在非優化工況下仍具有較高的應力水平.這表明，有必要對節點進行多工況優化，尋找在所有工況下都具有較低應力水平的節點形狀.

圖16節點優化形狀的輪廓線 Fig.16The sectional profiles of the joint

表5單工況優化節點峰值Mises應力統計

Tab.5 Thestatistics ofthepeakMisesstressof the optimizedjointundersingleloadcase

圖17峰值Mises應力柱狀圖

Fig.17 Peak Mises stress column chart

3.3多工況優化

3.3.1優化目標函數

在單工況優化中，節點在工況 k 下的優化格式為：

在對節點進行多工況形狀優化時，分別采用第2章所述的4種目標合并方法對5組荷載工況的優化目標進行合并，由此得到4種不同的目標函數.

使用線性加權法對目標進行合并時，需要確定各個目標的權重，本文對各工況取相等的權重，則有

式中： n 為工況總數，此處 n=5

在使用折中規劃法時，首先需要確定各個目標的下限值 f_k^*. 本文將單工況優化得到的最小適應度作為各目標的下限值，并由此得到折中規劃法的優目標函數.

ε -約束法將多個目標中的一個作為目標函數，將其他目標轉化為約束條件.考慮到節點在工況4下的峰值Mises應力最高，因此將工況4的優化目標選作 ε -約束法的目標函數.同時，經試算，將其他工況最優值的1.3倍作為約束值時，具有較為穩定的優化效果，故取其他工況最優值的1.3倍作為約束值.由此得到 ε -約束法的優化格式.

進一步地，將約束條件轉化為懲罰項加入目標函數中，從而有：

式中： λ 為懲罰系數，本算例中取 λ=5

最大值最小化法取各目標的最大值作為優化目標，即：

min_?minf_mm=max_1?k?n（f_k）

3.3.2優化結果

在確定多工況形狀優化問題的優化格式后，采用遺傳算法對優化問題進行求解.為了消除隨機性對優化結果的影響，4種方法分別進行10次優化嘗試，并取10次嘗試中的最優結果作為最終的優化結果.4種方法得到的優化節點的整體形狀與剖面圖分別如圖18和圖19所示.4種節點的整體形狀與水平剖面各不相同.線性加權法節點、折中規劃法節點 ?ε- 約束法節點的豎直剖面較為相似，節點中部相對扁平；而最大值最小化法節點在中部則有較為明顯的凸起.

統計4種優化節點在5組荷載工況下的峰值Mises應力，結果如表6所示.由表6可以看出，優化節點在各工況下的峰值Mises應力相較于初始節點均有顯著降低，下降幅度為 25%～55% .考察優化節點峰值Mises應力的平均值與最大值可以發現， ε^′ -約束法節點具有最小平均值，而最大值最小化法節點則具有最小的最大值.圖20為各優化節點峰值Mises應力柱狀圖，可以看出，線性加權法、折中規劃法和 ε -約束法在不同工況下的峰值應力存在較為顯著的差距，相比之下，最大值最小化法的峰值應力則較為接近.這說明該方法能夠較好地兼顧各工況的受力需求，并對各工況峰值Mises應力的最大值進行有效控制.由于在實際的工程設計中應當保證節點在最不利工況下仍具有安全的應力水平，換言之，需要將節點在各工況中峰值應力的最大值控制在安全范圍內，因此，在對鑄鋼相貫節點進行形狀優化時，應當優先考慮將最大值最小化法作為自標函數的構造方法.

圖18優化節點的整體形狀

圖19優化節點剖面圖

Fig.19Sectional profiles of the optimized joints

表6優化節點峰值Mises應力

Tab.6 ThepeakMisesstressoftheoptimized joints

圖20優化節點峰值Mises應力柱狀圖

Fig.20Optimized joints’peak Mises stress column chart

4結論

本文面向鑄鋼相貫節點，提出了一種新的形狀優化方法，并將該方法與4種自標函數構造方法相結合，實現了鑄鋼相貫節點的多工況形狀優化.主要結論如下：

1）所提出的形狀優化方法由幾何建模、結構分析和優化算法三個模塊構成.幾何建模模塊基于細分曲面技術，實現了鑄鋼相貫節點的參數化建模.相結構分析模塊基于ABAQUS二次開發，實現了節點的自動化有限元分析.優化算法模塊基于遺傳算法對節點形狀進行調整.

2）使用線性加權法、折中規劃法、 ?ε- 約束法和最大值最小化法構造了多目標形狀優化問題的4種目標函數，并將其與所提出的形狀優化方法相結合，得到了鑄鋼相貫節點的多工況形狀優化方法.

3）以節點峰值Mises應力為目標函數，對某柱面網殼中的鑄鋼相貫節點進行了多工況形狀優化.結果表明4種目標函數構造方法均可使鑄鋼相貫節點在各工況下的應力水平顯著降低，但最大值最小化法可對節點在各工況下峰值應力的最大值進行最有效的控制.因此，在對鑄鋼相貫節點進行多工況形狀優化時，應優先考慮將最大值最小化法作為目標函數的構造方法.

本文主要研究了等壁厚鑄鋼相貫節點的形狀優化，未來的研究可以關注變壁厚鑄鋼相貫節點的形狀優化問題，以拓寬本文形狀優化方法的適用范圍.

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