第三屆五四青年智力競賽部分試題解答

本屆智力競賽，試題全部是智力題，不少試題有多種解法，但有的解法卻巧妙而簡捷。從這期起，本刊將公布部分試題解答。如有比本刊公布的解法更巧妙、更簡捷的解法，歡迎把解法寄到編輯部來。對于本屆競賽這樣命題，讀者有什么看法，參加競賽的青年有什么感受，都歡迎寫信告訴我們。

第32題

題目:有一堆桃子和甲、乙兩組猴子，甲組有3只猴子，乙組有5只猴子，它們都以為這堆桃子是自己的。當甲組猴子來到時，便把桃子均分為3堆，總是剩兩個，它吃兩個，拿一堆便走了。當乙組猴子到來時，便把桃子均分為5堆，總是剩下一個，它吃一個，拿一堆走了。這樣，8只猴子都來過之后，至少還剩下多少個桃子，原有桃子至少有多少個?

猴子分桃問題是一個老題目，在世界上已流傳六十多年了。這道題就是根據老題目改變過來的。

老題目是這樣的:

五猴公有一堆桃。第一個猴子來了，動手把桃均分成五堆，正好剩一個。它把這一個吃掉，拿走了五堆中的一堆。

第二個猴子來了。它不知道剛才的情形，又把桃子均分成五堆，還是多了一個，它吃了這一個，拿一堆走了。

以后，每個猴子來一次，都如此辦理。

問:原來至少有多少桃?最后至少剩多少?

此題解法多種多樣。一個巧妙而簡單的方法是:借給猴子們4個桃。這樣，第一個猴子來到時，桃子雖然多了4個，但它并沒有撈到便宜。因為桃子剛好可以均分成5堆。它分到的一堆，恰巧等于你沒借給它們4個桃子時，它連吃帶拿的數目。

這樣，第二個猴子到來時，桃子還是比你沒借給它們時多了4個，又正好均分成5堆。所以，第二個猴子所得，和原來一樣。

第三、四、五個猴子來時，也是如此。

設原有桃x0個，借給它們4個之后是x0+4個，

來過之后，剩下桃子數目為

可見(x0+4)應當是55的整倍數。由于x0是正數，故x0十4至少是55=3125，故x0至少為3125—4=3121，而剩下的桃子至少是

改變后的題目解法也不止一個。最巧妙而簡單的解法也是借給猴子們幾個桃子，使每個猴子來時恰巧分凈，并且每個猴子并不比沒借給桃子時多得。設想借給它們4個桃子。這樣，不管哪組猴子到來，都可以分凈，而且每個猴子都不比原來多得。設原有桃x0

何，最后總是剩下

個桃子。故(x0+4)是5533的整倍數。x0至少應當是5533-4=84371。最后剩下的至少是4523-4=8188個桃子。

想到借桃給猴這一招并不容易。能不能老老實實地把題目做出來呢?這也是可以的。

設目前有x個桃子。甲組猴子來一次，x就被改造成f(x)，f(x)是x的函數，具體地:

如果不是甲組而是乙組猴子來了，x就變成了g(x)，g(x)是x的另一個函數:

設初始桃子數為x0，甲乙兩組八個猴子都來一遍，相當于f和g在x0上連續共作用8次，其中f是三次，g是五次。關鍵是:最后的結果和f、g作用的先后順序有沒有關系呢?如果和順序有關，題目就太復雜了。你應當猜到:與順序無關，即f(g(x))=g(f(x))。驗算一下:

果然f與g可交換——最后剩下桃子個數與猴子來到的順序無關!不妨設甲組三個先來，乙組的五個后來，耐心地計算下列復合式

g5f3(x))=g〔g〔g〔g〔g〔〔f〔f〔f(x)〕〕〕〕〕〕〕這個復合式可以硬算，也可以巧算。巧算方法是把f(x)，g(x)改個形式:

你試試，用這種形式去算，很快可以算出

這就可以得出和剛才一樣的結論。

井中

第33題

題目:有許多大小、形狀都相同的長方形的磚:厚5厘米，寬10厘米，長20厘米。一個疊一個，使上面的磚向前伸出一點來，這樣越疊越高，能伸出多長距離呢?

最后的答案是出人意料的:只要磚夠多，理論上可以算出，要伸出多長，就能伸出多長。

應當從最簡單的情形開始考慮。

先看看兩塊磚的情形，當然至多只能伸出半磚長，即伸出10厘米。

最上面的磚叫做第一塊磚，它的重心記作G1G1正在第二塊磚的右端上方，G1到第一塊磚右端的水平距離記作a1，a1也就是第一塊比第二塊多伸出來的長度。a1=10厘米(如圖)

想在上面再添磚是不行了，但是可以把第三塊磚放在第二塊的下面，設第一、第二兩塊磚的共同重心

這也是G2與G1的水平距離，記以a2即:a2=5(厘米)。

設上面幾塊磚的共同重心為Gn，記Gn+1與Gn的水平距離為an+1，我們看an+1至多是多大?

為了穩定，過Gn的鉛垂線不能超出下面一塊磚的底面，即:Gn與第n+1塊磚的重心的水平距離不超過半磚長。這樣，Gn正好和第n+1塊磚右端在同一鉛垂線上時，Gn+1與Gn的水平距離應當是半磚

設共有n+1塊磚，則伸出的總距離為

這里R=〔1og2〕，因而2k≤n這說明，和數

井中