巧用中點，靈活解題

翁丹楓

線段中點是幾何中比較重要的一個基本概念，是幾何圖形中的一個特殊點，在三角形、四邊形等幾何問題中都會出現.從學生在接觸三角形的初步知識后，線段中點就會頻繁出現在各種類型的習題中，在四邊形甚至在函數與幾何圖形的結合中也會經常出現中點問題，中點問題已經是平面幾何中的一類典型問題.通常情況下，中點問題會被歸結為線段相等問題加以解決，但是僅僅抓住這一點還是很難巧妙地利用好中點這個特殊的點，如果能夠抓住其不同于一般線段相等問題的特點，可以實現妙思巧解.當然要達到這一點就必須了解中點在不同問題中的呈現形式以及所隱藏的基本模型、基本的添線方法和解題思路.本文對中點在不同問題中的呈現形式以及基本的添線方法進行了闡述，以例題的形式對中點的巧妙運用進行了介紹.

一、中線倍長，構造全等三角形

例1 如圖1所示，已知在△ABC中，D是BC邊上的中點，AB=2，AC=4，求中線AD的取值范圍.

問題分析 這個問題是中線倍長中最典型的題只需要倍長中線AD，再通過連接構造全等三角形即可.

二、直角三角形斜邊上中點，構造斜邊上的中線

例2 如圖3，已知在△ABC中，BE，CD分別是AC和AB邊上的高，M是BC中點，N是DE中點，說明MN與DE之間的關系.

問題分析 本題便是直角三角形斜邊上的中點最典型的例題，只要將高BE和CD轉成Rt△BDC和Rt△BEC，并發現這兩個直角三角形共有一條斜邊BC，聯想到這個題的基本圖形，如圖4所示，通過連接DM和EM，就可以得到DM和EM分別是Rt△BDC和Rt△BEC斜邊上的中線，因此DM=EM，則△DME是等腰三角形，進而得到MN和DE的關系（如圖5）.

三、平行四邊形對角線的交點，即為中點

例3 如圖6所示，四邊形ABCD中，AB∥DC，以AC、AD為邊作ACED，DC的延長線交BE于F，求證：EF=FB.

問題分析 合理利用ACED對角線互相平分的性質，連接AE（如圖7）后就會出現中點.再根據AB∥DC，利用中位線的判定方法就可以得到F也為BE中點.

上述例題都是本人在初中數學教學中在不同的教學階段所碰到的，從初一的三角形初步開始，學生就踏入了幾何的殿堂.對于幾何的內容，不少學生無法在第一時間想到添線的方法，總是花很多時間在幾何問題上，但結果卻總是前功盡棄.數學教學要讓學生掌握所學的知識內容，形成一定的數學能力，也要讓學生掌握、領會數學的思想方法.在直觀感知、觀察發現、歸納類比、抽象概括、符號表示、反思建構等思維過程中，學會分析數學問題的方式方法，形成并掌握解決數學的策略，不斷優化問題解決的過程，讓學生具有一個善于思考的“數學頭腦”，一雙善于發現的“數學眼睛”，不斷提高數學認知水平，提升數學思維層次.

因此，在數學教學中，教師要讓學生學會歸納類比，領悟數學知識的本質.在課堂中，對于幾類有共同特點的題型進行歸納總結，如幾何中的中點問題，那么學生碰到類似的問題就不會束手無策了.

【參考文獻】

[1]何繼武.走進重高培優講義[M].上海：華東師范大學出版社，2014.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準 [M].北京：北京師范大學出版社，2011.