貼近生活的地板磚問題

劉金江

在各種考試中，不少命題者不約而同地以地板磚為載體，構思出既聯系實際、又注重應用能力及雙基考查的好題目.本文結合有關試題，談談與地板磚相關的幾個問題.

一、原理

在日常生活中，我們常常見到用等邊三角形、正方形、矩形、正六邊形等圖案鋪成的地板，為什么用這樣的幾何圖形來鋪地板呢？這是因為它們的角可以拼成周角，即可拼成３６０°，這樣才能無間隙地鋪滿整個地面.

二、常見題型

１.平面圖形的鑲嵌

例１在下面的四種正多邊形中，用同一種圖形不能平面鑲嵌的是（）.

解：正五邊形不能平面鑲嵌．因為正五邊形的每個內角都是１０８°，假設它能平面鑲嵌，則用若干個正五邊形的內角能拼成一個周角（３６０°），但找不到滿足ｎ×１０８°＝３６０°的自然數ｎ，這說明正五邊形不能平面鑲嵌.選Ｃ.

例２商店出售下列形狀的地磚：①正方形；②長方形；③正五邊形；④正六邊形.若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，則可供選擇的地磚共有

（）.

Ａ.１種Ｂ.２種

Ｃ.３種Ｄ.４種

解：因為只有用若干個正五邊形的內角不能拼成一個周角.選Ｃ.

例３用正三角形和正四邊形作平面鑲嵌，在一個頂點周圍，可以有（）個正三角和（）個正四邊形.

解：分別填３和２.

２.計算磚的塊數

例４用黑白兩種顏色的正六邊形地板磚按如下所示的規律，拼成若干個圖案：

（１）第４個圖案中有白色地板磚（）塊；

（２）第ｎ個圖案中有白色地板磚（）塊.

分析：這是一道探索規律題，觀察圖形可知，每一個圖案比它前面一個多４塊白色地板磚，所以第４個圖案中有白色地板磚６＋（４－１）×４＝１８塊，第ｎ個圖案中有白色地板磚６＋（ｎ－１）×４＝４ｎ＋２塊.故分別填１８和４ｎ＋２.

３.設計磚的圖案

例５某廠要制作一批正六邊形形狀的地板磚，為適應市場多樣化的需求，要求在地板磚上設計的圖案能夠把正六邊形６等分，請你幫他們設計等分方案（至少設計兩種）.

解：這是一道開放性畫圖題，答案不惟一.

４.計算磚的面積

例６如圖，用８塊相同的長方形地磚拼成一個矩形，則每個長方形地磚的面積是

（）.

Ａ.２００ ｃｍ^２Ｂ．３００ｃｍ^２

Ｃ.６００ｃｍ^２ Ｄ.２ ４００ ｃｍ^２

分析：這是一個可利用方程組思想來解決的實際問題.設長方形地磚的長、寬分別為ｘｃｍ、ｙｃｍ.由圖形可得

x+y=40,

2x=x+3y.

解得

x=30,

y=10.

地磚面積３０×１０＝３００（ｃｍ^２）.選Ｂ.

例７小李家住房結構如圖所示，小李打算把臥室和客廳鋪上木地板，請你幫他算一算，他至少需買多少平方米的地板？（）.

Ａ.１２ｘｙ Ｂ.１０ｘｙ

Ｃ.８ｘｙ Ｄ.６ｘｙ

解：由圖可知，

Ｓ_臥室＋Ｓ_客廳＝２ｙ（ｘ＋ｘ）＋２ｘ×４ｙ＝１２ｘｙ.選Ａ.

５.計算地板磚的費用

例８小亮家最近買了一套房，準備用木質地板鋪設居室，用瓷磚鋪設客廳.經市場調查得知：用這兩種材料鋪設地面的工錢不一樣，小亮根據地面的面積，對鋪設居室和客廳的費用（購買材料和工錢）分別做了預算，通過列表，并用ｘ（ｍ^２）表示鋪設地面的面積，用ｙ（元）表示鋪設費用，制成右圖.

請你根據圖中所提供的信息，解答下列問題：

（１）預算中鋪設居室的費用為（）元／ｍ^２，鋪設客廳的費用為（）元／ｍ^２.

（２）表示鋪設居室的費用ｙ（元）與面積ｘ（ｍ^２）之間的函數關系式為_______；表示鋪設客廳的費用ｙ（元）與面積ｘ（ｍ^２）之間的函數關系式為______．

（３）已知在小亮的預算中，鋪設１ｍ^２的瓷磚比鋪設１ｍ^２木質地板的工錢多５元煿郝潁保^２的瓷磚是購買１ｍ^２木質地板費用的3/4，那么，鋪設每平方米木質地板、瓷磚的工錢各是多少元？購買每平方米的木質地板、瓷磚的費用各是多少元？