兩個公平的數學游戲

陳曉兵

凡是雙方對抗性的游戲，不管它的形式和內容如何，都應遵守一個重要的原則：雙方獲勝的機會（概率）是相等的。只有這樣，才能引起游戲雙方的興趣。如果游戲的一方總是穩贏不輸，或者獲勝的概率遠遠大于失敗的概率，那么這樣的游戲就很難引起雙方的興趣，游戲將無法繼續下去。

你見過小朋友們玩“剪刀、石頭、布”的游戲嗎？兩個參與游戲的小朋友，同時伸出一只手，做成三種不同形狀的一種：握緊拳頭象征石頭，伸出中指和食指象征剪刀，伸開五指一個巴掌則象征布。取勝的規則是：石頭砸爛剪刀，剪刀剪碎布，布包住石頭，即石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭．它們循環取勝。

聰明的孩子總是不斷地變換自己的手形，不讓對方掌握自己出手的規律。雙方如果偶然玩一兩次，誰勝誰負很難預料。如果采用記分的辦法：勝一次記１分，負一次記－１分，平局記０分，經過較長時間的比賽之后，你就會發現，雙方的積分總是大致相當的。這說明該游戲是公平的，雙方獲勝的概率都是

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—。

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現在，我們來設計一種“猜鉤”游戲的規則：

假設全桌有８人，均分為２組，每組４人，一組作藏鉤者，另一組作猜鉤人，藏鉤的一組取兩只玉鉤分別藏于兩人手中。然后讓另一組去猜玉鉤在誰的手里，每人只允許猜一個人，并且猜鉤方的人事前不得有任何商量或默契。

如果有奇數個人（１個或３個）猜對了，就算猜鉤的一方獲勝；如果有偶數個人（無人或２人或４人）猜中了，就算藏鉤的一方獲勝。

在這一游戲規則下，你認為對哪一方有利一些？如果讓你參加游戲，你是選擇藏鉤一方還是猜鉤一方？

用數學方法可以證明：這樣的游戲規則對雙方都是公平的，哪一方也占不到便宜。

事實上，假設藏鉤的一方是Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四人，猜鉤的是ａ、ｂ、ｃ、ｄ四人，玉鉤藏于Ａ、Ｂ二人之手，那么就把Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ分成了兩半，一半人（Ａ與Ｂ）手中有鉤，另一半（Ｃ與Ｄ）手中無鉤。猜Ａ與Ｂ這一半就能猜中，猜Ｃ與Ｄ的一半則未猜中。

猜鉤的一方也總可以按所猜的情況分為兩組，猜Ａ或Ｂ手中有鉤（每人只允許猜一個人手中有鉤）的人為一組，猜Ｃ或Ｄ手中有鉤的人為另一組。根據他們所猜的情況有１６種不同的分組方式．

這些分組方式是：

無人猜中：／ａ，ｂ，ｃ，ｄ

一人猜中：ａｂ，ｃ，ｄ

ｂａ，ｃ，ｄ

ｃａ，ｂ，ｄ

ｄａ，ｂ，ｃ

二人猜中：ａ，ｂｃ，ｄ

ａ，ｃｂ，ｄ

ａ，ｄｂ，ｃ

ｂ，ｃａ，ｄ

ｂ，ｄａ，ｃ

ｃ，ｄａ，ｂ

三人猜中：ａ，ｂ，ｃｄ

ａ，ｃ，ｄｂ

ａ，ｂ，ｄｃ

ｂ，ｃ，ｄａ

四人猜中：ａ，ｂ，ｃ，ｄ／

每一個分組對應于一種猜鉤方式，如圖１，總共有１６組，其中使猜鉤組獲勝的方式共有８種，即一人猜中和三人猜中的各有４種方式。因此，猜鉤組獲勝的機會為

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——=——，即獲勝的機會為５０％。這說明此游戲規則對雙方都是公平的。

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也許有人會感到奇怪，為什么你設計的這個游戲規則這么復雜呢？難道不能把規則弄得更簡單一些嗎？事實上，用數學方法可以證明，很難找到一種更簡單的類似的猜鉤規則，該規則對雙方都是公平的。

現在我們來談談另一種“射覆”游戲。

美國電視娛樂節目主持人瑪麗蓮小姐曾經提出了一個“車庫猜車”的游戲：

在三間彼此隔絕的車庫里，有一間停有一輛汽車。請你猜一猜汽車停在哪一間車庫里？

用Ａ、Ｂ、Ｃ表示這三間車庫，假如你開始猜車在Ａ庫里，那么不管你猜中還是沒有猜中，Ｂ、Ｃ兩間中總有一間是空的。這時節目主持人打開一間空車庫（比方如Ｃ）告訴你，在這間車庫里沒有車。接下來她問你：“你是堅持原來的選擇Ａ，還是重新選擇Ｂ呢？要更改還來得及。”

你會怎么辦呢？也許絕大多數人認為不會有差別，因為已知Ｃ庫里無車，車不在Ａ庫就在Ｂ庫，不論選擇Ａ還是選擇Ｂ，猜中的可能性都是

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—。但事實并非如此。你找一個同伴做了實驗后發現，改變選擇（即猜在Ｂ庫）比堅

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持原方案（即堅持猜車在Ａ庫）猜中的機會要多一些。

我們在電視中常常看到一些“智力測試”的節目：主持人提出一問題，要你從四個答案中選擇惟一正確的答案。如果你對答案毫無了解，只能瞎猜，靠碰運氣的話，這時你可以請求主持人去掉兩個不正確的答案。想想看，為了使你猜中的機會大一些，一開始你應該怎樣做呢？