兩個(gè)公平的數(shù)學(xué)游戲

陳曉兵

凡是雙方對(duì)抗性的游戲，不管它的形式和內(nèi)容如何，都應(yīng)遵守一個(gè)重要的原則：雙方獲勝的機(jī)會(huì)（概率）是相等的。只有這樣，才能引起游戲雙方的興趣。如果游戲的一方總是穩(wěn)贏不輸，或者獲勝的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于失敗的概率，那么這樣的游戲就很難引起雙方的興趣，游戲?qū)o法繼續(xù)下去。

你見過小朋友們玩“剪刀、石頭、布”的游戲嗎？?jī)蓚€(gè)參與游戲的小朋友，同時(shí)伸出一只手，做成三種不同形狀的一種：握緊拳頭象征石頭，伸出中指和食指象征剪刀，伸開五指一個(gè)巴掌則象征布。取勝的規(guī)則是：石頭砸爛剪刀，剪刀剪碎布，布包住石頭，即石頭勝剪刀，剪刀勝布，布勝石頭．它們循環(huán)取勝。

聰明的孩子總是不斷地變換自己的手形，不讓對(duì)方掌握自己出手的規(guī)律。雙方如果偶然玩一兩次，誰(shuí)勝誰(shuí)負(fù)很難預(yù)料。如果采用記分的辦法：勝一次記１分，負(fù)一次記－１分，平局記０分，經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的比賽之后，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，雙方的積分總是大致相當(dāng)?shù)摹＿@說明該游戲是公平的，雙方獲勝的概率都是

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—。

2

現(xiàn)在，我們來設(shè)計(jì)一種“猜鉤”游戲的規(guī)則：

假設(shè)全桌有８人，均分為２組，每組４人，一組作藏鉤者，另一組作猜鉤人，藏鉤的一組取兩只玉鉤分別藏于兩人手中。然后讓另一組去猜玉鉤在誰(shuí)的手里，每人只允許猜一個(gè)人，并且猜鉤方的人事前不得有任何商量或默契。

如果有奇數(shù)個(gè)人（１個(gè)或３個(gè)）猜對(duì)了，就算猜鉤的一方獲勝；如果有偶數(shù)個(gè)人（無人或２人或４人）猜中了，就算藏鉤的一方獲勝。

在這一游戲規(guī)則下，你認(rèn)為對(duì)哪一方有利一些？如果讓你參加游戲，你是選擇藏鉤一方還是猜鉤一方？

用數(shù)學(xué)方法可以證明：這樣的游戲規(guī)則對(duì)雙方都是公平的，哪一方也占不到便宜。

事實(shí)上，假設(shè)藏鉤的一方是Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四人，猜鉤的是ａ、ｂ、ｃ、ｄ四人，玉鉤藏于Ａ、Ｂ二人之手，那么就把Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ分成了兩半，一半人（Ａ與Ｂ）手中有鉤，另一半（Ｃ與Ｄ）手中無鉤。猜Ａ與Ｂ這一半就能猜中，猜Ｃ與Ｄ的一半則未猜中。

猜鉤的一方也總可以按所猜的情況分為兩組，猜Ａ或Ｂ手中有鉤（每人只允許猜一個(gè)人手中有鉤）的人為一組，猜Ｃ或Ｄ手中有鉤的人為另一組。根據(jù)他們所猜的情況有１６種不同的分組方式．

這些分組方式是：

無人猜中：／ａ，ｂ，ｃ，ｄ

一人猜中：ａｂ，ｃ，ｄ

ｂａ，ｃ，ｄ

ｃａ，ｂ，ｄ

ｄａ，ｂ，ｃ

二人猜中：ａ，ｂｃ，ｄ

ａ，ｃｂ，ｄ

ａ，ｄｂ，ｃ

ｂ，ｃａ，ｄ

ｂ，ｄａ，ｃ

ｃ，ｄａ，ｂ

三人猜中：ａ，ｂ，ｃｄ

ａ，ｃ，ｄｂ

ａ，ｂ，ｄｃ

ｂ，ｃ，ｄａ

四人猜中：ａ，ｂ，ｃ，ｄ／

每一個(gè)分組對(duì)應(yīng)于一種猜鉤方式，如圖１，總共有１６組，其中使猜鉤組獲勝的方式共有８種，即一人猜中和三人猜中的各有４種方式。因此，猜鉤組獲勝的機(jī)會(huì)為

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——=——，即獲勝的機(jī)會(huì)為５０％。這說明此游戲規(guī)則對(duì)雙方都是公平的。

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也許有人會(huì)感到奇怪，為什么你設(shè)計(jì)的這個(gè)游戲規(guī)則這么復(fù)雜呢？難道不能把規(guī)則弄得更簡(jiǎn)單一些嗎？事實(shí)上，用數(shù)學(xué)方法可以證明，很難找到一種更簡(jiǎn)單的類似的猜鉤規(guī)則，該規(guī)則對(duì)雙方都是公平的。

現(xiàn)在我們來談?wù)劻硪环N“射覆”游戲。

美國(guó)電視娛樂節(jié)目主持人瑪麗蓮小姐曾經(jīng)提出了一個(gè)“車庫(kù)猜車”的游戲：

在三間彼此隔絕的車庫(kù)里，有一間停有一輛汽車。請(qǐng)你猜一猜汽車停在哪一間車庫(kù)里？

用Ａ、Ｂ、Ｃ表示這三間車庫(kù)，假如你開始猜車在Ａ庫(kù)里，那么不管你猜中還是沒有猜中，Ｂ、Ｃ兩間中總有一間是空的。這時(shí)節(jié)目主持人打開一間空車庫(kù)（比方如Ｃ）告訴你，在這間車庫(kù)里沒有車。接下來她問你：“你是堅(jiān)持原來的選擇Ａ，還是重新選擇Ｂ呢？要更改還來得及。”

你會(huì)怎么辦呢？也許絕大多數(shù)人認(rèn)為不會(huì)有差別，因?yàn)橐阎脦?kù)里無車，車不在Ａ庫(kù)就在Ｂ庫(kù)，不論選擇Ａ還是選擇Ｂ，猜中的可能性都是

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—。但事實(shí)并非如此。你找一個(gè)同伴做了實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，改變選擇（即猜在Ｂ庫(kù)）比堅(jiān)

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持原方案（即堅(jiān)持猜車在Ａ庫(kù)）猜中的機(jī)會(huì)要多一些。

我們?cè)陔娨曋谐３？吹揭恍爸橇y(cè)試”的節(jié)目：主持人提出一問題，要你從四個(gè)答案中選擇惟一正確的答案。如果你對(duì)答案毫無了解，只能瞎猜，靠碰運(yùn)氣的話，這時(shí)你可以請(qǐng)求主持人去掉兩個(gè)不正確的答案。想想看，為了使你猜中的機(jī)會(huì)大一些，一開始你應(yīng)該怎樣做呢？