死亡游戲

□編著／余般石

□提示撰寫/劉一哲

瓊斯上尉對(duì)著他疲憊不堪的七名部下說：“我們中間出了一個(gè)奸細(xì)，我們必須把他除掉！”

特種兵小隊(duì)自從進(jìn)入?yún)擦忠詠恚幪幨茏瑁M(jìn)展很不順利，已經(jīng)有四位兄弟陣亡。現(xiàn)在只剩下八個(gè)人，大家都已經(jīng)到了崩潰的邊緣。聽到瓊斯隊(duì)長突然這么說，大家都很詫異：“那么他是誰呢？奸細(xì)又不會(huì)自己承認(rèn)。”

上尉冷冷地一笑：“雖然我不知道他是誰，但上帝一定知道。而且，上帝很樂意指明誰是告密者！上帝告訴我一個(gè)方法，很快就能把奸細(xì)找出來。”

上尉說：“從我開始是１號(hào)，以順時(shí)針的方向，２號(hào)是費(fèi)舍，３號(hào)是加里，依此類推是哈維、伊恩、卡爾、李、馬休，大家站成一個(gè)圈子。上帝給我兩顆骰子，我同時(shí)將兩顆骰子擲出，看擲出的是幾點(diǎn)，把兩個(gè)點(diǎn)數(shù)加起來，記住這個(gè)數(shù)，并一直按這個(gè)數(shù)數(shù)下去。從我開始以順時(shí)針方向數(shù)起，每當(dāng)數(shù)到這個(gè)點(diǎn)數(shù)時(shí)，這個(gè)人就離開，然后繼續(xù)，再有一個(gè)人離開……直到剩下最后一個(gè)人，那么這個(gè)人就是清白的。然后再擲，我們?cè)儆眠@個(gè)方法鑒別出下一個(gè)清白者——直到七個(gè)清白者都被鑒定出來，剩下的那個(gè)就是叛徒，我們要處決他！”

“你瘋了？”副隊(duì)長費(fèi)舍中尉喊道，“怎么能開這種玩笑？”

隊(duì)長很堅(jiān)定地說：“我沒開玩笑。不這樣大伙兒都得死！現(xiàn)在說不定只死一個(gè)，其他的七個(gè)人都能活下去！”

馬休問：“被上帝證明是清白的人就不必繼續(xù)參加這個(gè)游戲了吧？”

隊(duì)長回答說：“不，他還是要參加，因?yàn)榍灏渍哂辛x務(wù)為其他的清白者作證。”

其他人默默無語，游戲就這樣開始了。但沒有人知道，隊(duì)長早有預(yù)謀：站在某個(gè)位置上是必死的，因?yàn)樗呀?jīng)懷疑到其中一個(gè)人了。那么請(qǐng)問：隊(duì)長懷疑誰是奸細(xì)？

（方華摘自《國內(nèi)外數(shù)學(xué)趣題集錦》，上海科技教育出版社）

提示：

這道題是所謂的約瑟夫斯問題的變形。

約瑟夫斯是公元一世紀(jì)的猶太歷史學(xué)家，他領(lǐng)導(dǎo)了反抗羅馬帝國的武裝起義，但是失敗了。彈盡糧絕之時(shí)，他和四十名猶太士兵被困在一個(gè)山洞里。這四十名猶太勇士寧死不屈，決定殺身成仁，但約瑟夫斯卻另有想法。

于是，他對(duì)四十個(gè)同伴說：“上帝是不允許自殺的。但我這里有一個(gè)不用自殺又可以殉國的方式——我們大家圍成一個(gè)圓圈，從某個(gè)人開始，一二三一二三地?cái)?shù)，凡是數(shù)到三的人，就由旁邊的人成全他，讓他升天，直到剩下最后一個(gè)人。雖然這個(gè)人仍然要自殺，但總比大家都自殺要好得多。”

一心赴死的猶太士兵當(dāng)然不會(huì)反對(duì)，于是便隨便指了一個(gè)人開始，反正都是要死，誰先死已經(jīng)不再重要了。約瑟夫斯有意地站在了31號(hào)的位置上，結(jié)果他就是剩下的那個(gè)人，他沒有選擇自殺，而是投降了羅馬人，作為事件的記錄者活了下去。

而這道題中，隊(duì)長要找出七個(gè)“約瑟夫斯”，把另外那個(gè)“倒霉鬼”干掉。

這類問題，初看很簡(jiǎn)單，但實(shí)際上卻涉及到一些讓人腦感到棘手的問題，直到發(fā)明了計(jì)算機(jī)，這類問題在計(jì)算上的障礙才得以解除。而現(xiàn)在，約瑟夫斯問題已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)編程的典型練習(xí)題。想知道人腦和電腦的區(qū)別在哪里嗎？來看看這道題吧。

首先我們復(fù)習(xí)兩個(gè)概念。

第一個(gè)是整除求余數(shù)，數(shù)學(xué)符號(hào)是mod。如果你覺得用字母眼暈，也不要緊，反正不是正式場(chǎng)合，我們可以換個(gè)符號(hào)，比如“→”；如果你不介意自己的英語有口音，也可以把它稱為“貓的”。舉個(gè)例子： 4÷5＝0余4，則4貓的5就等于4。6÷4＝1余2，則6→4=2。

第二個(gè)概念是映射，說白了就是一個(gè)蘿卜對(duì)著一個(gè)坑，我們要往坑里填蘿卜。

概念介紹完，我們不妨試做一下。八個(gè)人，假設(shè)我們投出骰子點(diǎn)數(shù)和是10。那么2號(hào)首先出局，用算式表示就是10→8＝2。

然后剩下的七個(gè)人重新排隊(duì)，最初8個(gè)蘿卜各司其位，號(hào)碼數(shù)與坑號(hào)相同，現(xiàn)在2號(hào)被剔除，那么3號(hào)蘿卜要栽進(jìn)2號(hào)坑、4號(hào)蘿卜栽進(jìn)3號(hào)坑……一直到8號(hào)蘿卜占上7號(hào)坑，8號(hào)坑空著。這時(shí)你就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘿卜一個(gè)坑的好處，不然很容易搞亂。

這時(shí)開始第二輪挑選，我們要從2號(hào)坑開始數(shù)（現(xiàn)在里面裝的是3號(hào)蘿卜）再數(shù)10個(gè)，結(jié)果好像應(yīng)該是（2＋10）→7＝5，可是如果一個(gè)一個(gè)查，查到的明明是4號(hào)坑。哈哈，出問題了吧，我們退回第一步，10→8＝2那里，結(jié)果雖然正確，但實(shí)際上省略了兩個(gè)步驟——我們沒有考慮從哪個(gè)人開始查。我們從第一個(gè)人開始查，查“到”第10個(gè)，所以實(shí)際經(jīng)過了9個(gè)，是（1+10－1）→8＝2，所以第一輪結(jié)果雖然是正確的，但用做通項(xiàng)就不行了。這個(gè)問題雖然簡(jiǎn)單，但確實(shí)有很多人查數(shù)時(shí)會(huì)犯這種錯(cuò)誤。

所以第二輪正確的式子應(yīng)該是 (2＋10－1)→7＝4。

4號(hào)坑，栽的是5號(hào)蘿卜。

這時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們數(shù)的不是蘿卜號(hào)，而是填滿的坑；算式里說的也不是蘿卜號(hào)，而是填滿的坑號(hào)。有時(shí)候結(jié)果會(huì)出現(xiàn)0，但聰明的你應(yīng)該會(huì)知道，余0就是整除，那么坑號(hào)當(dāng)然就是該輪的倒數(shù)第一個(gè)坑。

剩下的6個(gè)人再重新排序——1號(hào)不變；3號(hào)進(jìn)2坑；4號(hào)進(jìn)3坑；6號(hào)進(jìn)4坑；7號(hào)進(jìn)5坑；8號(hào)進(jìn)6坑。第三輪從4號(hào)坑開始數(shù)，得出的算式是（4＋10－1）→6＝1，1號(hào)坑，是原裝的1號(hào)蘿卜，那么1號(hào)又被挑了出去。

接下來，剩了5個(gè)人，分別是3號(hào)、4號(hào)、6號(hào)、7號(hào)、8號(hào)。重新排序，不難算出，先后出局的分別是8、4、6、3，剩下的是7號(hào)。

當(dāng)骰子擲出10的時(shí)候，7號(hào)被“證明”是清白的。

還要繼續(xù)用這個(gè)方法找出其他的“約瑟夫斯”嗎？不必了吧，因?yàn)槟阋苍摪l(fā)現(xiàn)了，重新排序是多么讓人抓狂的事。這是電腦的算法，因?yàn)樵陔娔X計(jì)算中，給坑里插蘿卜卻是最簡(jiǎn)單不過的——電腦的儲(chǔ)存空間和計(jì)算頻率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于人腦，而且電腦不會(huì)因重復(fù)同樣的過程而感到厭煩。

人腦的優(yōu)勢(shì)就完全不同。人腦適合于直觀的感覺，并且富于創(chuàng)造性——至今都沒有哪臺(tái)電腦能下好圍棋，也沒有哪臺(tái)電腦能聽出什么叫諷刺。

這里有種更適合人腦的求值方法：拿一張紙，畫上8×20的格子，每行保證8個(gè)格，行數(shù)則多多益善，如果20行不夠，還可以繼續(xù)添加。然后一行一行往里填數(shù)，比如1、2、3……填到10的時(shí)候，把這個(gè)格子涂黑，這個(gè)格子對(duì)應(yīng)的是2號(hào)，那么把2號(hào)這一豎列都涂黑【圖1】，然后繼續(xù)填，1、2、3、4……遇到黑格子就跳過去，又?jǐn)?shù)到10，再涂黑【圖2】，然后把這一列也都涂黑；重復(fù)這個(gè)過程，最后當(dāng)你發(fā)現(xiàn)只剩一列格子沒有涂黑了，恭喜你，這列格子的號(hào)碼就是你要的答案！【圖3】

這種方法直觀得令人發(fā)指，不需要計(jì)算，也不需要公式，直接拿眼睛看就行了。雖說這種涂格子要比計(jì)算機(jī)算法計(jì)算量大，但它卻絕對(duì)比計(jì)算機(jī)算法容易理解。

越好學(xué)的方法越難用，越難理解的方法計(jì)算越方便！這種現(xiàn)象已經(jīng)滲透到生活的各個(gè)領(lǐng)域，比如五筆和拼音輸入法之爭(zhēng)，蘇式武器和美式武器之爭(zhēng)。雙方各有各的優(yōu)勢(shì)，當(dāng)你要采集你所需的復(fù)雜信息時(shí)，總不可能一切如你所愿，不是把成本花在學(xué)習(xí)方法上，就是把成本花在煩瑣的計(jì)算上。

死亡游戲已經(jīng)開始，你能幫瓊斯隊(duì)長把那個(gè)嫌疑人找出來嗎？