動靜轉換在數學解題中的應用
2006-04-12 00:00:00吳仲奇
發明與創新·中學生 2006年7期
動與靜是事物狀態表現的兩個側面，在數學解題中，以動求靜，利用特殊圖形去求解，不僅能起到事半功倍的效果，而且能使我們感覺到其中的趣味和奧妙。
舉例如下：
例1、如圖一，兩個半圓中長為4的弦AB與直徑CD平行且與小圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于______。
分析：本題條件較少，按常規解法很繁，怎樣才能迅速解題呢?若將小半圓沿CD平行移動到特殊位置，使其與大半圓同心，如圖二，求之較易。
此題常規證法為：將線段OP向兩方延長交⊙O于C、D兩點，根據相交弦定理，有：PA·PB：PC．PD=(R-PO)(R+PO)=R2-PO2(其中R為圓O半徑)即PA，PB+PO2=R2(為定值)
本題若聯想到P點為AB上任意一點，就可使P點運動到AB的中點這一特殊位置(如圖四)，證明定理便輕而易舉，連OA則有OA2-PO2=PA2=PA·PB即PA·PB+P02=OA2=R2
例3、如圖五，已知P為正方形ABCD內一點且PA：PB：PC=1：2：3，求證：∠APB為定值。
分析：已知PA：PB：PC=1：2：3不妨設PA=X；PB=2X，PC=3X，而這些條件較分散，直接通過計算求解十分復雜，若能考慮到利用正方形的特點，設法把PA、PB、PC相對集中起來，為此把△CPB順時針旋轉90°到△ABE的位置，再連PE，于
