從反面來思考

這是一個真實的故事.

羅納德·思穆里安是美國普林斯頓大學的一名學生，他深深地暗戀上他的一位女同學，但不知怎樣向她表白.思索良久，他終于想出了一個好辦法.

一天，羅納德看見這位女同學坐在校園里看書，便鼓起勇氣，慢慢地走近她的身邊，對她說：“你好，我在這張字條上寫了一句關于你的話，你看了以后，如果覺得我寫的是事實，就請你送我一張照片好嗎？”

女同學立即意識到，這又是一個找借口來追求自己的男孩.她想：你不要妄想，我不管你寫的是什么，只要堅持說“不是事實”，這樣不就可以了嗎？于是她欣然答允了羅納德的要求.

羅納德把字條遞給了這位女同學.她胸有成竹地打開字條.但是，當她看完字條上的字以后，立即皺起了眉頭，因為她想不出拒絕羅納德的方法.

羅納德究竟在字條上寫了什么呢？他寫的僅僅是一句很普通的話：“你不會吻我，也不愿把你的照片送給我.”這位女同學如果仍堅持說“不是事實”，那么既然不愿送照片不是事實，她就應該送照片給羅納德；如果肯定羅納德寫的是事實，她也要履行承諾送上照片.不管她怎樣回答，她都應該送照片給羅納德.羅納德的巧妙設計使她陷入了兩難境地.

聰明的羅納德后來成為美國著名的邏輯學家，而那個女同學，成了他的妻子.

這個邏輯方面的小故事也給了我們一個啟發：要想解決一個問題，如果從正面思考有困難，不妨從反面來思考，考慮命題不成立的情況.這就是反證法思想的源泉.反證法是數學中一種重要的證題方法.

凡是命題，都有條件和結論.要證明一個命題正確，不妨先否定它的結論，然后據此推理，得出不合理的結果，而推理過程一直都是正確的.這就是說，原命題的結論是不能否定的.既然原命題的結論的反面是錯誤的，那么原命題的結論一定是正確的，也就是說原命題是正確的.所以，歸納反證法的步驟有三：反設——即否定原命題的結論，歸謬——推導出不合理的結果，結論——肯定原命題是正確的.

下面，我們用反證法來證明兩個例題.

例1 求證：兩直線相交，交點是唯一的.

證明 假設此兩條直線有兩個交點.

那么，這兩條直線都過這兩點，這與“過兩點可以且僅可以畫一條直線”的基本事實不符.

所以，兩直線相交，交點是唯一的.

例2 如圖，已知直線l₁∥l₂，l₃與l₂相交于P點.

求證 l₃也必與l₁相交.

證明 假設l₃不與l₁相交.

由平面上二直線的位置關系可知，l₃必平行于l₁. l₃、l₂都過P點，且都與l₁平行，這與“過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行”的基本事實不符.

所以，l₃必與l₁相交.