不等式ａ^２＋ｂ^２≥２ａｂ的證明

在常規的數學教學中，對不等式a2+b2≥2ab的證明，一般來說都是采用公式推導的方法。這種方法具有一定的抽象性，使得學生的學習缺乏直觀感，對不等式的本質意義理解不到位。如果我們在此不等式的證明教學過程當中，采用Flash動畫來輔助證明，教學效果將得到明顯提高。課件播放界面如上圖所示。（需要課件源程序者可聯系作者，郵箱是：siguix@163.com。）

課件功能

通過選擇播放、暫停按鈕可以動態顯示三角形BEG、BCD及矩形EBCF的面積關系，從而證明不等式a2+b2≥2ab。

使用方法

課件使用非常簡單，初始狀態為暫停播放，用戶只需單擊播放按鈕即可觀看效果，并可以通過暫停按鈕在動畫播放的任意位置暫停。

設計思路

1.我們想通過一種直觀的方式使學生掌握不等式a2+b2≥2ab。于是，我們試圖把該問題的證明轉化到圖形面積大小的問題上，因為，圖形面積的大小是我們用眼睛能直接觀察到的。把不等式a²+b²≥2ab的左右兩邊都轉化成能表示一個圖形的面積形式，在不等式的兩邊同時除以2，得到的不等式為（a²/2）+（b²/2）≥ab。此時不等式a2+b2≥2ab的證明就等價于不等式（a²/2）+（b2/2）≥ab的證明，而不等式（a²/2）+（b²/2）≥ab的左邊正好是兩個等腰直角三角形的面積之和，兩個等腰直角三角形的直角邊長分別是a和b，不等式右邊是一個長和寬分別為a和b的矩形的面積。此時，我們已經把該問題的證明轉化到了面積大小對比的觀察上。

2.有了上面一步的分析之后，我們現在的問題是怎樣把不等式（a²/2）+（b²/2）≥ab左右兩邊（左邊的兩個直角三角形、右邊的矩形）同時放到一個圖形中去，讓學生一眼就看出不等式是成立的（如圖所示）。

3.證明（a²/2）+（b²/2）≥ab：ABCD是一個邊長為a的正方形，EF交BD于G點，要證明（a²/2）+（b²/2）≥ab，我們只要證明圖中三角形BEG的面積（b²/2）+三角形BCD的面積(a²/2)≥矩形EBCF的面積（ab），而這是顯而易見的。從動畫中我們可以看到b的值可以在從0到a的范圍內變化，（a²/2）+（b²/2）的面積比ab大的部分剛好是三角形DFG，當b=a時，即EF與AD重合時，三角形DFG的面積等于0，于是，不等式（a²/2）+（b²/2）≥ab就得到了證明。

技術實現

1.我們采用Flash 8來實現該動畫，主要用到關鍵幀動畫、變形動畫、Flash腳本語句、遮罩等技術，其中的關鍵技術是遮罩的運用。

2.制作中用到兩個簡單的腳本語句：

播放按鈕：on(release){play();}

暫停按鈕：on(release){stop();}

3.在動畫的運行過程中，我們要注意體現出不等式（a²/2）+（b²/2）≥ab中b這一變量的變化，上圖中標有b的這條線段的長度要能夠隨BE變化而變化。為了便于形象的觀察，我們讓b字母保持在這條線段的中部，EF是另外的一條單獨線段，要使它從AD運動到BC，并使之與遮罩運動的速度一致，它與BD的交點G也必須是動態的。