小波基和噪聲對信號奇異性檢測性能的影響

摘要：在分析小波變換物理本質和奇異性檢測原理的基礎上，研究了小波基和白噪聲對信號奇異性檢測性能的影響。仿真結果表明，對于信號本身的突變性，支撐區較短的小波基具有較好的檢測效果，且檢測性能一般不受噪聲的影響；而對于K階奇異信號，只有具備K階或K+1階消失矩的小波基才能檢測出這類信號的奇異性。同時，由于這類信號的奇異性十分微弱，易被噪聲擾動，因此難以保證在噪聲背景下準確檢測信號中的奇異性質。

關鍵詞：奇異性檢測； 小波基； 噪聲； 小波變換

中圖法分類號：TN911．72文獻標識碼：A

文章編號：1001－3695(2007)01－0238－03

長期以來，傅里葉變換（Fourier Transform，FT）作為信號處理的常用工具被廣泛應用于各種工程實踐。但由于FT是整個時間域內的積分，變換所得的傅里葉譜表達的是信號的統計特性，因此FT不具備局部化分析信號的能力。后來在FT基礎上發展起來的短時傅里葉變換（Short Time Fourier Transform，STFT）采用信號加窗的辦法使得分析特定時間間隔內所包含的頻率特性成為可能，但由于STFT采用固定的時頻窗口，難以滿足非平穩信號分析中自適應時間/頻率分辨率的要求，使STFT的應用范圍受到了很大限制。借鑒STFT信號加窗的思想，小波變換（Wavelet Transform，WT）采用變化的時間和頻率窗，成功地解決了非平穩信號分析中的時頻局部化問題[1， 2]。小波分析的自適應性和局部分析能力，使得它在信號的奇異性檢測、趨勢預測、噪聲處理以及自相似分析中顯示出了非凡的優越性[3~10]。

奇異性檢測一直是信號處理中一個非常重要的方向。信號的不規則部分和奇異點往往包含信號比較重要的信息，這在信號特征提取、故障診斷中具有非常重要的意義。小波變換良好的時頻局部化能力對信號的奇異性檢測具有無比的優越性。通過信號的小波分析，不但可以準確檢測出信號發生突變的瞬時位置以及突變的類型，還可以定量描述信號局部奇異性的大小。在將小波變換應用于信號奇異性檢測的研究中，首先必須面臨的是小波基的選擇問題。盡管近年來已有一些關于如何選擇小波基的文獻報道[5~8]，但這些文獻主要考慮的均是具有明顯突變或緩變的信號（相當于本文中的第一類間斷點信號），并且均未考慮噪聲對檢測結果的影響。實際工程信號中存在著大量沒有明顯突變結構的信號形式，而且在信號的傳輸、采集和處理過程中難免不受噪聲的影響。因此本文旨在分析小波變換物理本質以及信號奇異性檢測原理的基礎上，通過系列仿真實驗，研究小波基的選擇以及噪聲的存在對奇異性檢測性能的影響。

1小波變換的定義及物理本質

小波概念的產生是時頻分析中時頻局部化的需要。對于L2(R)空間中能量有限的信號f(t)，其連續小波變換定義為[1]

可見，信號f(t)的連續小波變換相當于f(t)通過一單位沖擊響應為ha(t)的系統的輸出。注意到ha(t)與Ψ(t)的關系以及Ψ(t)的帶通特性，則連續小波變換的結果也可看作是一系列帶通濾波器Ψ(t)對信號f(t)濾波后的輸出。其中，伸縮因子a反映了帶通濾波器的帶寬和中心頻率，平移因子b反映了濾波后輸出的時間參數。小波變換便是從帶通濾波的角度實現對信號的奇異性檢測的。

2信號的奇異性描述及檢測原理

信號的奇異性一般可分為兩種情況：①信號在某一時刻的突變引起信號的不連續（稱為第一類間斷點）;②所謂的高階奇異信號（稱為第二類間斷點），即信號的外觀很光滑，其幅值沒有突變，但其K階導數存在突變點。為了描述一個函數f(x)的奇異性，數學上通常采用Lipschitz指數α。Lipschitz指數的定義如下[8， 10]：

Lipschitz指數α本質上是對函數光滑程度的度量。α越大，函數在該點的光滑度越高；α越小，函數在該點的奇異性越大。函數f(x)在一點連續、可微，則Lipschitz指數α=1；如果f(x)在該點為不連續但為有界函數，則Lipschitz指數α=0。當在一個點處函數f(x)的Lipschitz指數α<1，則該點即為函數的奇異點。可見，Lipschitz指數α完全刻畫了函數的奇異性。

但實際測量得到的信號f(t)經常由于測量過程和不可避免的噪聲影響而被模糊化了。這相當于f(t)是原真實信號被某一低通光滑函數光滑化后的結果。光滑的過程相當于卷積運算，設原真實信號為h(t)，光滑函數為θ(t)，也即f(t)=h(t)×θ(t)。數學上已經證明[4]，信號經光滑后再求導，等效于直接用低通光滑函數θ(t)的導數對信號進行處理，而且θ(t)的導數（如dθdt，d2θdt2）必須為帶通函數。這樣便可以構造光滑函數，然后用它的導數構造母小波，利用小波變換的方法來研究信號的奇異性。

實際的信號分析中，光滑函數常取下面的高斯函數：

則可構造母小波：

這樣，利用Ψ(1)(t)或Ψ(2)(t)對信號f(t)進行小波變換，則小波變換的過零點（CWTfa，b＝0）即對應df(t)/dt=0的點，也就是f(t)的極值點；而小波變換的極值點（CWTfa，b＝max或min）則對應d2f(t)/dt2=0的點，即f(t)的轉折點。因此，只要通過小波變換的過零點或極值點便可以檢測信號f(t)的奇異點。但比較而言，用極值點檢測比過零點更為優越，因為過零點的位置易被噪聲擾動。

3仿真結果與討論

（1）s1(t)為包含兩個頻率斷點的信號，兩個斷點均屬于第一類間斷點。在無噪聲情況下，db1～db8小波均較好地在d1，d2細節檢測到了這兩個突變點的瞬時位置而且奇異點的定位性能非常好，但相對而言，db1小波的定位精度更高；而在有噪聲情況下，較低的細節上主要是噪聲信號，低尺度上基本只能檢測到第二個頻率斷點（因為該斷點比第一個頻率斷點明顯），信號的所有突變點需在更大的尺度上觀察，但db1～db8小波同樣能檢測到信號的突變，這是因為信號突變特性明顯，不易被噪聲淹沒，同時由于均勻白噪聲的奇異性特征和信號的奇異性特征不同，致使小波分解具有非常好的去噪能力[7]。值得注意的是，在有噪聲情況下，db1~db8信號斷點被清楚檢測到時所需的尺度越來越大（db1小波在d2，d3尺度，db8小波在d4，d5尺度），而且奇異點定位的能力逐漸下降。這說明在檢測該類斷點時，采用支撐區較短的小波往往更為有效，支撐區較短的小波具有較短的濾波器長度，更利于間斷點的精確定位，這在無噪聲情況下也一樣。Haar小波由于具有較短的支撐區，通常是該類奇異性檢測的較佳選擇。

（2）s2(t)和s3(t)信號表面上看是非常光滑的曲線，但實際上分別為1階、2階導數不連續的信號，奇異點均位于信號的第500個采樣點。在無噪聲情況下，對于信號s2(t)，Haar小波無法正確識別出該突變點，而對于s3(t)，Haar，db2小波無法進行正確的識別。這表明對于K階導數不連續的信號，必須選擇具有足夠正則性、至少具備K階消失矩的小波基才能檢測出該類信號中的奇異點。仿真實驗同時表明，對于s2(t)，db2和db3具有較好的檢測結果；對于s3(t)，db3的檢測效果明顯好于db8。因此，可以進一步得到這樣的結論：對于K階奇異信號，選擇K或K＋1階消失矩的小波基具有較高的檢測精度。這與文獻[5]中按規則性系數相似的方法進行小波基選擇的結論是一致的。實際上，對于Daubechies小波dbN，其正則性系數約為0.2N～0.3N，小波消失矩為N-1，兩者隨N的變化趨勢基本相似。

（3）對于s2(t)和s3(t)信號，在有噪聲的情況下，所選的db1～db8小波無一能檢測到信號的突變點，即使實驗中將噪聲的幅度降低一半也是如此。其中的原因可能是因為該類間斷點相比第一類間斷點而言非常微弱，對噪聲的擾動非常敏感，小波分解盡管能在a5尺度上提取出信號的主要特征，但卻在去噪的過程中平滑了信號中本來就十分微弱的間斷特性。因此，進一步研究在去噪過程中保持信號的高階奇異性是一個十分有意義的課題。同時，這也證明在實際的信號處理中，在低信噪比條件下檢測出的高階奇異性本身的可信度相對較低。

4結論

從文中的仿真結果和討論分析不難看出，對于具有第一類間斷點的奇異信號，支撐區較短的小波基(如Haar小波)往往具有較好的檢測效果，而且由于此類信號突變特性明顯，一般檢測結果不受噪聲的影響。而對于K階奇異信號，選擇具有K或K+1階消失矩的小波基可保證檢測的精度。但是，由于高階奇異信號的奇異性十分微弱，非常容易被噪聲擾動，難以保證在噪聲背景下準確檢測到信號本身所固有的奇異性。因此，研究如何在去噪的過程中保留高階奇異信號的奇異特征，對實際的信號處理具有重要意義。

參考文獻：

［1］程正興. 小波分析算法與應用[M]. 西安：西安交通大學出版社， 1998.

［2］Daubechies I. The Wavelet Transform， Timefrequency Location and Signal Analysis[J]. IEEE Trans. on Information Theory， 1990，36(5):9611005.

［3］Mallat S， Xhong S. Characterization of Signal from Multiscale Edges[J]. IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 1992，14(9):710732.

［4］Mallat S， Huang Wenliang. Singularity Detection and Processing with Wavelets[J]. IEEE Trans. on Information Theory， 1992，38(2):617643.

［5］周小勇， 葉銀忠. 故障信號檢測時的小波基選擇方法[J]. 控制工程， 2003，10(4):308311.

［6］趙學智， 林潁， 陳文戈，等. 奇異性信號檢測時小波基的選擇[J]. 華南理工大學學報(工學版)， 2000，28(10):7580.

［7］何正友， 錢清泉. 電力系統暫態信號分析中小波基的選擇原則[J]. 電力系統自動化， 2003， 27(10): 4548.

［8］張小飛， 徐大專， 齊澤鋒. 基于小波變換奇異信號檢測的研究[J]. 系統工程與電子技術， 2003， 25(7): 814816.

［9］張曉春. 小波變換在奇異信號檢測中的應用[J]. 傳感器技術， 2002， 21(3): 3335.

［10］向陽，蔡悅斌， 楊毓英，等. 小波分析在信號奇異性探測及瞬態信號檢測中的應用[J]. 振動與沖擊， 1997， 16(4): 2330.

作者簡介：

普運偉(1972)， 男， 博士， 主要研究方向為智能信息處理、模式識別、信號處理；朱明，男，講師，博士，主要研究方向為智能信息處理、信號識別；金煒東，男，教授，博導，主要研究方向為智能信息處理、優化理論與優化方法、系統仿真；胡來招，男，高工，博導，主要研究方向為電子偵察、雷達對抗等。

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文