基于小波—卡爾曼濾波混合預報的處理ＥＭＤ邊緣問題新方法

摘要：經驗模式分解(EMD)方法的提出為信號處理提供了新的方法。在已有經驗模式分解的過程中，由于常用三次樣條插值來擬合信號的上下包絡，因此時常會出現邊緣效應，從而影響了信號處理的質量。針對上述情況，利用周期性信號序列經離散小波變換后，使小波系數構成的周期性新序列具有隨機游走特性；利用小波與卡爾曼濾波混合預報器對信號進行邊界延拓，從而有效地抑制了EMD分解中的邊緣效應。仿真結果驗證了該方法的有效性。

關鍵詞：經驗模式分解； 卡爾曼濾波； 小波變換； 邊緣效應

中圖法分類號：TP301．6文獻標識碼：A

文章編號：1001－3695(2007)01－0051－03

1998年， N.E.Huang[1]為了有效地分解非線性非平穩信號，首次提出了經驗模式分解希爾伯特譜(Empirical Mode Decomposition/Hilbert Spectrum，EMD/HS)的概念， 從而使瞬時頻率有了確切的物理意義。眾所周知，小波和傅里葉變換都是將信號在一簇基函數上展開。傅里葉變換能夠在頻域內得到非常高的分辨率，但是在時域內卻失去了分辨能力；小波雖然能在時域和頻域內同時具有較高的分辨率，但是由于頻率空間的范圍越來越小， 代表比較高級別的細節分量的小波也越來越少， 即每次小波變換后變換點的數目就減少一倍，這樣對于分析的結果很不利[2]。基于EMD的方法僅依據數據本身的信息進行分解，與小波分析相比不但具有小波分析的全部優點，而且在分辨率上能消除小波分析的模糊和不清晰，還能準確地反映出原信號的物理特征[3]。EMD方法是將原信號展開成各個IMF(Intrinsic Mode Function)及殘值和的形式后，再對每個IMF進行Hilbert變換，從而得到原信號的瞬時頻率，若利用IMF和殘值也可實現對原始信號的無損重構。在已有的EMD方法中，是利用樣條插值來擬合信號的上下包絡，因而時常出現邊緣效應，這樣大大影響了信號分解的質量。雖然在處理較長的數據序列時，可采取拋棄兩端數據的措施來保證所得到包絡的準確性，但對于較短的數據序列而言，就不宜采取這樣的操作。本文將利用卡爾曼濾波所具有的實時性和遞歸性以及小波變換的多尺度分析特征將兩者有機地結合起來，對周期性信號進行向前幾步的預測和向后幾步的平滑，從而有效地解決邊緣效應對信號的影響，提高信號的特征提取精度。

1EMD方法及其分析

1．1EMD的介紹

EMD信號分解方法是Huang提出來的，其目的是要通過對非線性非平穩信號的分解獲得一簇能表征時間—尺度的IMF。由于得到的各個IMF都是窄帶信號， 因此就可以進行有效的HS分析。

IMF的特點包括：①信號中的極值點（極大值或極小值）的數目與過零點的數目相等或者最多相差一個；

②信號的極大值點構成的上包絡與極小值點構成的下包絡關于時間軸對稱。

根據IMF的特點， 可通過使用樣條插值來實現對信號x(t)的經驗模式分解。具體步驟如下：

(1)找到x(t)所有的局部極值點。

(2）對極大值點和極小值點利用樣條插值的方法分別建立信號的極大值包絡和極小值包絡，記為emax(t)和emin(t)。

(3)在每個時間t上，計算上包絡和下包絡的均值

(4)從輸入信號x(t)中減去均值，得到

從上面的分析過程可以看出，經過Hilbert變換后得到的振幅和頻率都是關于時間的函數，這與傅里葉變換不同，在傅里葉變換中的{aj}和{ωj}分別是一簇常數，如果將振幅顯示在時間—頻率平面上就可以得到Hilbert譜。所以說，用Hilbert譜能刻畫一個數據在時間上變化的規律。

1．2EMD過程中存在的問題

在EMD的過程中，需要擬合上下包絡，通常用到的擬合方法是三次樣條插值。為了滿足IMF的條件，均值的確定需要迭代很多次，而且隨著分解層次的增加，計算量將迅速地增大，這樣就會降低算法的時效性；又因為分析信號的長度通常是有限的，所以在信號兩端不能有效地確定極值點。當我們利用三次樣條進行插補時，必然導致信號上下包絡在信號的兩端發生嚴重的扭曲。特別是當原始信號數據集較短時， 引入的誤差會嚴重影響EMD的質量， 使得分解出來的各個IMF分量失去原有的物理意義[4]。

從圖2中可以看出，經過三次樣條插值后，在兩端出現了嚴重的扭曲現象，這會對以后分解的精度和效能造成很大的影響。這是因為三次樣條插值需要用到前后兩個臨近的極值點，而解決這一問題的方法通常只要在兩端各增加兩個極大值點和極小值點即可。一些學者已對減少EMD中的邊緣效應進行了大量研究[1，7]。文獻[1]中采用的是在數據兩端增加兩組特征波的方法，但是由于在數據序列中通常含有不同的特征尺度，因此簡單地利用特征波的方法進行數據延拓會引入新的誤差；文獻[7]中采用的是基于神經網絡的方法對短時信號進行處理，但是神經網絡的方法缺乏自適應性，對于不同的信號，往往需要選擇不同類型的神經網絡算法，因此這種方法不具有通用性。 

卡爾曼濾波（Kalman Filtering，KF）方法是在誤差協方差最小準則下的最優估計方法，由于該方法具有實時性和遞歸性等特征，因而得到了廣泛的應用；小波變換方法具有多尺度特性，其時域和頻域均具有表征信號局部特性的能力和多分辨率分析的特點，被譽為數學顯微鏡。由于平穩信號和一些非平穩信號的小波系數常具有隨機游走的性質[5]，所以在對信號進行小波分解后得到的小波系數就可以被描述成符合卡爾曼濾波的狀態方程形式。因此，將KF和小波分析結合起來，能有效地利用它們各自的優勢對周期信號進行很好的預測。

2小波—卡爾曼濾波混合預報算法的具體實現

得到了狀態方程和測量方程后就可以對序列進行卡爾曼濾波分析，用卡爾曼濾波的方法對信號兩端分別進行向前幾步的預測和向后幾步的平滑，這樣我們就得到預測邊緣處的數據點，從而實現了對信號的延拓。利用這種數據延拓算法對第1．2節中給出的模擬信號進行延拓，得到的上下包絡如圖3所示，與圖2相比，已較好地解決了邊界問題。表1也給出了新方法的絕對誤差均值與以前方法的比較，可以看出由小波—卡爾曼濾波混合預報方法得到的絕對誤差均值遠遠小于以前的方法。雖然小波—卡爾曼濾波混合預報方法得到的上下包絡與真實值之間還存在一定的偏差，但整體來講，包絡線的形式和數值都相當逼近于真實值了。

表1兩種算法的絕對誤差均值比較

3結論

本文利用小波—卡爾曼濾波混合預報方法對一個數據序列進行端點延拓，根據數據序列進行小波分解后得到的小波系數具有隨機游走的性質，用卡爾曼濾波來預測和平滑，成功地在數據兩端增加了所需的極值點，從而避免了邊界處的失真問題。通過模擬信號的測試可以看出，這種數據序列延拓方法的準確性是相當高的。但是文中的狀態方程是在隨機游走的前提下建立的，然而很多非平穩序列的小波系數并不能滿足隨機游走的條件。因此，當建立的模型（式(22)）與實際的情況不完全匹配時，我們可以考慮用強跟蹤濾波方法[8]，這樣可以大大緩解由于模型不確定性的影響造成濾波器狀態估計值偏離系統狀態的現象，有效地克服卡爾曼濾波器的缺陷，這也將是我們下一步研究的重點。

參考文獻：

［1］Huang N E，et al.The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Nonstationary Time Series Analysis[C]. Proc. of Royal Society， 1998.903995.

［2］王建. 小波變換和模糊識別技術在人體血壓信號處理中的應用[J]. 信息與控制， 2002，31(1)：9396.

［3］黃大吉，趙進平，蘇紀蘭. 希爾伯特—黃變換的端點延拓[J]. 海洋學報， 2003，25(1)：111.

［4］陳忠， 鄭時雄. EMD信號分析方法邊緣效應分析[J]. 數據采集與處理，2003，18(1)：114118.

［5］Tongxin Zheng， Adly A Girgis，Elham B Makram. A Hybrid WaveletKalman Filter Method for Load Forecasting[J]. Electric Power Systems Research， 2000，54(1)：1117.

［6］任慧玉. 最優估計與小波分析理論在經濟分析中的應用研究[D].開封： 河南大學，20-04.

［7］鄧擁軍，王偉，錢成春. EMD方法及Hilbert變換中邊界問題的處理[J]. 科學通報， 2001，46(3)：257263.

［8］文成林， 周東華.多尺度估計理論及其應用[M].北京：清華大學出版社， 2002.

作者簡介：

曾峰(1982），女，碩士研究生，主要研究方向為數字信號處理、多尺度估計理論及應用；

文成林(1963），男，教授，博導，博士后，先后主持國家自然科學基金重點項目1項（聯合）、國家自然科學基金3項，發表學術論文80余篇，出版學術專著1部，主要研究方向為復雜環境下的系統建模與多源信息融合、多尺度估計理論、動態系統基于多模態的安全檢測、監控與故障診斷技術等；王松偉(1979)，男，碩士研究生，主要研究方向為多尺度時間序列分析。

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