解讀《絕對(duì)值》

本文是筆者在使用華東師大版課標(biāo)《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)《絕對(duì)值》所進(jìn)行的教材解讀。

1 定義絕對(duì)值概念的必要性

（1） 汽車行駛耗油量與行駛路程有關(guān)而與行駛方向無關(guān)。又如，股票交易費(fèi)與交易額有關(guān)而與買進(jìn)或賣出無關(guān)。只談數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離時(shí)，與方向無關(guān)。因此，不考慮方向的量是客觀存在的。

（2） 數(shù)已經(jīng)被賦予了正號(hào)或負(fù)號(hào)(也稱作性質(zhì)符號(hào))，對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上已經(jīng)被賦予了關(guān)于原點(diǎn)的方向。而現(xiàn)在又重新不考慮方向。應(yīng)怎樣表達(dá)這種還原現(xiàn)象?

（3） 從代數(shù)的角度觀察6與-6的相同之處。6與-6互為相反數(shù)。撇開符號(hào)(負(fù)號(hào))，即可見其相同之處，6 應(yīng)如何來描述這個(gè)現(xiàn)象?

（4） 從幾何的角度觀察，在數(shù)軸上表示6和-6的點(diǎn)，與原點(diǎn)的距離相等。撇開方向，即可見其相同之處。應(yīng)怎樣來刻劃這個(gè)現(xiàn)象?

2 定義絕對(duì)值概念的合理性

在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。

由于距離既是一個(gè)幾何概念，也是一個(gè)物理概念，因此，除了零，距離是用正數(shù)來衡量的，除了零，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)。

(1) 表示零的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是零距離。因此，零的絕對(duì)值是零，即|0|=0。而且，只有零的絕對(duì)值才是零。反過來說，絕對(duì)值是零的數(shù)只能是零(聯(lián)想與類比，相反數(shù)是零的數(shù)只能是零)。另外，從代數(shù)的角度看，+0與-0的相同之處就是0。這就給予零的絕對(duì)值是零的又一個(gè)合理性解釋。

(2) 從代數(shù)的角度看，6的絕對(duì)值是6，-6的絕對(duì)值也是6。因此，絕對(duì)值反映了6與-6的相同之處，即6。由于6是-6的相反數(shù)，因此-6的絕對(duì)值就是-6的相反數(shù)。反過來，6既是+6的絕對(duì)值，又是-6的絕對(duì)值。

(3) “絕對(duì)”是對(duì)“相對(duì)”而言的。如果說，相反數(shù)呈現(xiàn)出的是“相對(duì)”的特征(正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù))。那么，就可以說，絕對(duì)值呈現(xiàn)出的是“絕對(duì)”的特征(不管是正數(shù)，還是負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值都是正數(shù))。如，6與-6是相對(duì)的，但6與-6的相同之處，即共同的特征，6，則是絕對(duì)的。

(4) 一個(gè)有理數(shù)就可以說是由兩個(gè)方面來確定，一是它的符號(hào)（正負(fù)號(hào))，二是它的絕對(duì)值。這是對(duì)有理數(shù)的又一次命名和一種確認(rèn)方式。用絕對(duì)值來代替“過去學(xué)過的數(shù)”。

3 絕對(duì)值概念的內(nèi)涵

(1) 正數(shù)的絕對(duì)值是它本身。這說明，絕對(duì)值具有保正數(shù)的功能。另外，零的絕對(duì)值是零，也是它本身。因此，反過來，絕對(duì)值是本身的數(shù)是正數(shù)或零。

(2) 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。另外，零的絕對(duì)值是零，零的相反數(shù)是零，因此，也可以說，零的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。由此，反過來，絕對(duì)值是相反數(shù)的數(shù)是負(fù)數(shù)或零。再一次體現(xiàn)了零的特殊性，零像一個(gè)蝸牛，雌雄同體。

（3） 距離，是因?yàn)椴顒e而產(chǎn)生的。因此，可以說，有差別就有距離，有距離就會(huì)有絕對(duì)值。由于

2=|2|=|2-0|，

對(duì)照絕對(duì)值的定義，它就可以表示在數(shù)軸上2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。另外，由于

2=|-2|=|-2-0|，

它就同樣可以表示在數(shù)軸上-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。又由于

2=|2|=|5-3|，

這就使得絕對(duì)值的概念得以延伸，它可以表示5與3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離。

（4） 絕對(duì)值是非負(fù)的。這是首次提到的數(shù)的“非負(fù)性”。由此，存在絕對(duì)值最小的數(shù)，即零。

（5） 正數(shù)、負(fù)數(shù)、相反數(shù)與絕對(duì)值之間的關(guān)系：

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；

絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)；

絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；

負(fù)數(shù)可以表示為它的絕對(duì)值的相反數(shù)；

正數(shù)可以表示為它的相反數(shù)的絕對(duì)值。

4 絕對(duì)值的其他功能

（1） 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，這里實(shí)際上隱含著方向，因?yàn)樨?fù)數(shù)與它的相反數(shù)是“方向相反的”。這說明，絕對(duì)值具有改變負(fù)數(shù)的符號(hào)(即負(fù)號(hào))的功能。

起初，數(shù)的家族先是引進(jìn)了負(fù)數(shù)，接著，相反數(shù)的概念把負(fù)數(shù)同化為正數(shù)，當(dāng)然，同時(shí)正數(shù)也被異化為負(fù)數(shù)。這說明，至此，成員、規(guī)則與家族是和諧的。現(xiàn)在，在絕對(duì)值的作用下，負(fù)數(shù)再一次被同化為正數(shù)。

也可以說，絕對(duì)值具有“返祖”功能。它能使負(fù)數(shù)回歸到正數(shù)，如|-2|=2。

（2） 在絕對(duì)值的作用下，正數(shù)沒有被改變，仍是它本身(正數(shù))；零也沒有被改變，還是零(本身)；而負(fù)數(shù)則被改變?yōu)樗南喾磾?shù)(正數(shù))。由此可見，絕對(duì)值像是一個(gè)陷阱、一個(gè)閥門，進(jìn)得來，不一定出得去。只有零能夠自由地出入，天馬行空，獨(dú)來獨(dú)往。正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，還是正數(shù)，但反過來，絕對(duì)值是正數(shù)的數(shù)不一定是正數(shù)，它可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，兩種情況。

（3） 絕對(duì)值符號(hào)，在一個(gè)數(shù)的兩旁各畫一條豎線，|#8226;|，這是兩點(diǎn)間的距離的非常形象化的表示。這是又一個(gè)新的記數(shù)法。聯(lián)想與類比：負(fù)數(shù)，如-2，正數(shù)，如+3；相反數(shù)，如-4的相反數(shù)可表示為-(-4)。表示數(shù)本身，如-6本身可表示為+(-6)。每一個(gè)記數(shù)法本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。記數(shù)法是數(shù)學(xué)模型的一種基本單元。

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