本文是筆者在使用華東師大版課標(biāo)《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)《絕對(duì)值》所進(jìn)行的教材解讀。
1 定義絕對(duì)值概念的必要性
(1) 汽車行駛耗油量與行駛路程有關(guān)而與行駛方向無關(guān)。又如,股票交易費(fèi)與交易額有關(guān)而與買進(jìn)或賣出無關(guān)。只談數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離時(shí),與方向無關(guān)。因此,不考慮方向的量是客觀存在的。
(2) 數(shù)已經(jīng)被賦予了正號(hào)或負(fù)號(hào)(也稱作性質(zhì)符號(hào)),對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上已經(jīng)被賦予了關(guān)于原點(diǎn)的方向。而現(xiàn)在又重新不考慮方向。應(yīng)怎樣表達(dá)這種還原現(xiàn)象?
(3) 從代數(shù)的角度觀察6與-6的相同之處。6與-6互為相反數(shù)。撇開符號(hào)(負(fù)號(hào)),即可見其相同之處,6 應(yīng)如何來描述這個(gè)現(xiàn)象?
(4) 從幾何的角度觀察,在數(shù)軸上表示6和-6的點(diǎn),與原點(diǎn)的距離相等。撇開方向,即可見其相同之處。應(yīng)怎樣來刻劃這個(gè)現(xiàn)象?
2 定義絕對(duì)值概念的合理性
在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值,記作|a|。
由于距離既是一個(gè)幾何概念,也是一個(gè)物理概念,因此,除了零,距離是用正數(shù)來衡量的,除了零,任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)。
(1) 表示零的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是零距離。因此,零的絕對(duì)值是零,即|0|=0。而且,只有零的絕對(duì)值才是零。反過來說,絕對(duì)值是零的數(shù)只能是零(聯(lián)想與類比,相反數(shù)是零的數(shù)只能是零)。另外,從代數(shù)的角度看,+0與-0的相同之處就是0。這就給予零的絕對(duì)值是零的又一個(gè)合理性解釋。
(2) 從代數(shù)的角度看,6的絕對(duì)值是6,-6的絕對(duì)值也是6。因此,絕對(duì)值反映了6與-6的相同之處,即6。由于6是-6的相反數(shù),因此-6的絕對(duì)值就是-6的相反數(shù)。反過來,6既是+6的絕對(duì)值,又是-6的絕對(duì)值。
(3) “絕對(duì)”是對(duì)“相對(duì)”而言的。如果說,相反數(shù)呈現(xiàn)出的是“相對(duì)”的特征(正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù))。那么,就可以說,絕對(duì)值呈現(xiàn)出的是“絕對(duì)”的特征(不管是正數(shù),還是負(fù)數(shù),其絕對(duì)值都是正數(shù))。如,6與-6是相對(duì)的,但6與-6的相同之處,即共同的特征,6,則是絕對(duì)的。
(4) 一個(gè)有理數(shù)就可以說是由兩個(gè)方面來確定,一是它的符號(hào)(正負(fù)號(hào)),二是它的絕對(duì)值。這是對(duì)有理數(shù)的又一次命名和一種確認(rèn)方式。用絕對(duì)值來代替“過去學(xué)過的數(shù)”。
3 絕對(duì)值概念的內(nèi)涵
(1) 正數(shù)的絕對(duì)值是它本身。這說明,絕對(duì)值具有保正數(shù)的功能。另外,零的絕對(duì)值是零,也是它本身。因此,反過來,絕對(duì)值是本身的數(shù)是正數(shù)或零。
(2) 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。另外,零的絕對(duì)值是零,零的相反數(shù)是零,因此,也可以說,零的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。由此,反過來,絕對(duì)值是相反數(shù)的數(shù)是負(fù)數(shù)或零。再一次體現(xiàn)了零的特殊性,零像一個(gè)蝸牛,雌雄同體。
(3) 距離,是因?yàn)椴顒e而產(chǎn)生的。因此,可以說,有差別就有距離,有距離就會(huì)有絕對(duì)值。由于
2=|2|=|2-0|,
對(duì)照絕對(duì)值的定義,它就可以表示在數(shù)軸上2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。另外,由于
2=|-2|=|-2-0|,
它就同樣可以表示在數(shù)軸上-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。又由于
2=|2|=|5-3|,
這就使得絕對(duì)值的概念得以延伸,它可以表示5與3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離。
(4) 絕對(duì)值是非負(fù)的。這是首次提到的數(shù)的“非負(fù)性”。由此,存在絕對(duì)值最小的數(shù),即零。
(5) 正數(shù)、負(fù)數(shù)、相反數(shù)與絕對(duì)值之間的關(guān)系:
互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等;
絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù);
絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù);
負(fù)數(shù)可以表示為它的絕對(duì)值的相反數(shù);
正數(shù)可以表示為它的相反數(shù)的絕對(duì)值。
4 絕對(duì)值的其他功能
(1) 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),這里實(shí)際上隱含著方向,因?yàn)樨?fù)數(shù)與它的相反數(shù)是“方向相反的”。這說明,絕對(duì)值具有改變負(fù)數(shù)的符號(hào)(即負(fù)號(hào))的功能。
起初,數(shù)的家族先是引進(jìn)了負(fù)數(shù),接著,相反數(shù)的概念把負(fù)數(shù)同化為正數(shù),當(dāng)然,同時(shí)正數(shù)也被異化為負(fù)數(shù)。這說明,至此,成員、規(guī)則與家族是和諧的。現(xiàn)在,在絕對(duì)值的作用下,負(fù)數(shù)再一次被同化為正數(shù)。
也可以說,絕對(duì)值具有“返祖”功能。它能使負(fù)數(shù)回歸到正數(shù),如|-2|=2。
(2) 在絕對(duì)值的作用下,正數(shù)沒有被改變,仍是它本身(正數(shù));零也沒有被改變,還是零(本身);而負(fù)數(shù)則被改變?yōu)樗南喾磾?shù)(正數(shù))。由此可見,絕對(duì)值像是一個(gè)陷阱、一個(gè)閥門,進(jìn)得來,不一定出得去。只有零能夠自由地出入,天馬行空,獨(dú)來獨(dú)往。正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,還是正數(shù),但反過來,絕對(duì)值是正數(shù)的數(shù)不一定是正數(shù),它可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù),兩種情況。
(3) 絕對(duì)值符號(hào),在一個(gè)數(shù)的兩旁各畫一條豎線,|#8226;|,這是兩點(diǎn)間的距離的非常形象化的表示。這是又一個(gè)新的記數(shù)法。聯(lián)想與類比:負(fù)數(shù),如-2,正數(shù),如+3;相反數(shù),如-4的相反數(shù)可表示為-(-4)。表示數(shù)本身,如-6本身可表示為+(-6)。每一個(gè)記數(shù)法本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。記數(shù)法是數(shù)學(xué)模型的一種基本單元。
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