淺談數學中的奇異美和抽象美

數學美是一種真實的美，是美的高級形式，是理論思維與審美意識交互的產物．數學美體現在很多方面，主要有簡單美、和諧美、對稱美、奇異美和抽象美．本文主要就奇異美和抽象美做一些敘述．

1數學的奇異美

奇異美是數學美的另一個基本內容．它顯示出客觀世界的多樣性，是數學思想的獨創性和數學方法新穎性的具體表現．英國哲人培根(Bacon)說過：“沒有一個極美的東西不是在調和中有著某些奇異．”①他甚至還說：“美在于獨特而令人驚異．”②

奇異，包含著多方面的含義．一是新穎、富有創造性，具有某種獨到之處；二是新奇，出乎常識和預料，使人贊嘆、驚愕．數學中的奇異美，常表現在數學的結果和數學的方法等各個方面．

1．1數學結果的奇異美

奇異的數學結果，能以獨特的內容或形式，給人以新穎、新奇的美感．例如：153是一個極為普通的數，但卻有許多有趣的性質：1+2+3+…+17=153

1！+2！+3！+4！+5！=153

圖1

再如，1899年莫萊（Morley）發現：如果畫出一個三角形的每個頂角的三等分線，則相鄰的三等分線就相交于一個等邊三角形的頂點(如圖1)，這個命題通常稱為莫萊定理，是初等幾何中最令人驚訝的定理之一．它的新奇之處，在于涉及角的三等分線．直到19世紀中葉，沒有一個數學家會去考慮這些線，因為當時只有可以作圖的那些元素和圖形才被認為在歐氏幾何中是合法的．

讓我們再來看看數學中其他一些奇異的結果．方程3x²-y²=2有無數組有理解，但x²-3y²=2卻沒有有理解；在平面幾何的尺規作圖中，把圓周分成2、3、4、5、6等份均可作出，可是7等份圓周利用尺規卻無法實現；

1．2數學方法的奇異美

數學方法的奇異性，一般表現為構思奇巧、方法獨特，具有新穎性和開創性等特征．數學中對于2是無理數的論證體現出來的就是一種富有奇異美的數學方法．要證明2是無理數，如果從正面去證明它是無理數，那么就要通過對2開方，計算出它確是一個無限不循環小數．實際上這是不可能做到的，你可以計算到小數點后萬位、百萬位、億萬位，但永遠也算不到無限．可是，從“反面”來證明，即用反證法假設2是有理數，根據有理數都可以表示為既約分數qp（既約總是可以事先做到的，因而可假定），然后得出矛盾，奇妙的證明了結論的正確性．

許多人之所以對數學會引起濃厚的興趣與廣泛的關注，歸根到底還是數學的奇妙，更進一步講是數學方法的巧妙和推陳出新．如果在解決某一數學問題的過程中用一種絕妙的思想方法把它解決了，會給人以一種美的享受．我們可以來看一個例子：

說明：本題的證明打破常規，令辟蹊徑，給人巧妙新穎之感，體現了奇異之美．

2數學的抽象美

“抽象”一詞，來源于拉丁文“abstractic”，原意為“排出”、“抽出”之意，數學很抽象，抽象性是數學的最基本的性質．數學家所研究的是抽象的事物，他們所采取的研究方法也是抽象的方法．英國數學家懷特海(Whitehead)曾經說過：“數學是在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行的研究．”③但就是在這種研究活動中，數學家們感受到了數學的美：抽象性的極度的純潔性、清晰性、嚴密性、深刻性、精確性、宏偉性等等．抽象美是數學美不可缺少的一項最基本的內容．

2.1數學抽象概念分析

(1)從認識論的角度講，人們對客觀世界的認識都是由具體到抽象、由感性認識到理性認識，以至無窮的循環往復過程．

人們對數學科學的認識從具體的丈量土地、觀察天象得到具有明顯直觀意義的初等幾何和簡單的數字計算，將具有明顯直觀意義的概念稱為“初始概念”．人們又借助于已有的初始概念以邏輯理論(包括形式邏輯、數理邏輯、辯證邏輯)為工具得到不具有明顯直觀意義的一系列概念稱為“派生概念”．

數學研究工作者及工程技術人員等又借助于邏輯理論由派生概念出發建構遠離現實世界的數學抽象物，這些抽象物常被說成是“思維中的自由創造物”，這些具有豐富內涵的自由創造物構成了所謂的數學結構體系．所以數學的抽象性是人們在認識論的高度觀點指導下對數學研究對象的不斷升華的認識結果．

(2)從數學的自身來看，現代數學的“自由性”決定了它的研究模式的極大拓廣，也就是由已給出的量的關系或形式，拓廣到了新的量的關系和形式；由線性模式拓廣到了具有廣泛應用性的非線性模式問題．這就表明了數學科學的抽象性的自身發展，并且隨社會發展形成更高層次的抽象．

(3)從數學的應用來講，人們研究數學的最終目的在于應用，也就是說，我們所研究的數學模式要有科學價值，在社會科學、自然科學中具有指導意義或應用性，這必然要求我們抽象出的數學模式具有較強的概括性．正如著名數學家波利亞(Polya)在《數學發現》中所指出的：“對于一個特例所以要進行這樣周密的描述，其目的就是為了從中提出一般的方法或模式，這種模式在以后類似的情況下，對于讀者求解問題，可以起指引作用”．

2．2從抽象分析方法中體現數學抽象美

數學抽象美不僅在于數學內容難以想像，還在于我們可以用抽象分析的方法去解釋抽象的事情，去揭示眾多事物的共同屬性．

例如古代印度人兩塔發明了(國際)象棋，當政的國王十分開心，決定重賞兩塔，而兩塔所要的賞賜看似簡單：在棋盤上賞些麥子．第一格放一粒，第二格放二粒，以后每格放的麥粒都是前一格的2倍，直至放滿64格．國王以為幾粒麥子算什么，殊不知一動手放麥粒，國王傻了眼．原來這些麥子總數為1+2+2²+…+2⁶³=2⁶⁴-1，它們的體積有12×10¹²m³，若把它們堆成高3m、寬10m的麥墻，將有4×10⁸km長，這大約是全球兩千年所產小麥的總和．這個例子說明數學中基本元素“數”的抽象，那些貌不驚人的“數”，竟會大得使人難以想像．

再如367人中，肯定會有兩個人的生日相同；13個人中至少有兩個人的屬相相同；全世界任意找6個人，其中至少有3個人彼此相識或彼此不相識……這些事也許使人想不通，但事實正是如此，它們都可以借助數學中的“抽屜原理”得到證明．體現了抽象的數學問題閃耀著神秘之美，令人由衷地贊嘆．

圖2

數學中不少新的概念、新的學科、新的分支的產生，是通過“抽象分析”得到的．如經濟學中成本、收入、利潤等概念，以及它們之間相互關系總讓人感到很復雜，但我們引入成本函數、收入函數、利潤函數等．利用函數圖像、抽象分析它們的關系，如圖2：C=C₀+C₁q為收入函數，R=pq為收入函數，L=R-C為利潤函數(其中C₀固定成本，C₁為單位可變成本，q為產量，p是銷售單價)這樣我們很容易理解深奧的經濟理論，解釋經濟現象．

不論是在實際生活中還是在數學理論中，數學抽象思維的應用都是非常廣泛的．也正是人們運用抽象邏輯把事物結合起來，才使得形形色色的復雜問題都迎刃而解了．

3總結

數學中還存在著有序美、統一美、朦朧美等．對于數學美的探討，可啟迪人們的思維，開闊人們的視野，激發人們的熱情，同時又可喻示數學發展前景，指明研究方向與方法．可以這樣說：數學的發展是人們對于數學美的追求的結晶．

參考文獻

1歐剛維誠．數學科學與人文的共同基因［M］．長沙：湖南師范大學出版社，2000

2姜樹民．淺談射影幾何中的美學因素和美學思想［J］．松遼學刊（自然科學版），2001（11）

3駱洪才，瘳六生．數學抽象性的研究與思考［J］．數學教育學報，2001（5）

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文