精彩在生成中飛舞

《全日制義務教育數學課程標準》（實驗稿）提出數學教育的基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展. 數學課堂生成教學正是基于這樣的新課程教學理念，以數學知識生成的形式來突破傳統課堂教學中的“教師”與“學生”呆板的“講授”與“接受”的教學方式，引導學生主動參與教學環境并進行富有個性的學習.

那么什么是生成呢？生成是一個相對于“預成”、“既定”的概念，《辭海》中的解釋是“自然形成”. 這一概念與“教學”相連，構成一種新的教學形態——課堂生成教學. 它反對的是教師對學生的一味“塑造”，強調教學的過程性，突出教學個性化建構的成分，追求學生的生命成長，是一種開放的、互動的、動態的、多元的教學形式.

在課堂上，學生的生成可以說隨時都可能出現：有的在演繹推理中生成，如證明方法多樣，證明思路靈活，出乎教師意料；有的在合情推理中生成，如大膽猜想、想象；有的在自我建構中生成，由于每個人的學習經驗不同，認知建構的起點不一，在解決綜合問題上存在路徑差異，特別是在最優路徑上差異明顯，因而就會出現生成的思路.

一方面是學生的生成在課堂上頻頻出現，而另一方面我們的教師對此卻沒有引起足夠的重視，或面對學生的生成感到束手無策，更有甚者對學生的生成一味“消除”. 原因是長期以來，“師道尊嚴”一直是傳統的師生關系準則. 教師不僅是教學過程的組織者和設計者，更是教學內容的確定者，這樣的體制使教師成為了教學上的絕對權威. 教師往往按照自己的設計來進行教學，總是習慣冷落學生與預設不符的見解. 在這些教師看來，學生的“越軌”對于“經濟”、“高效”地完成認知性教學任務、順利地維持課堂秩序而言，都意味著一定的風險，因而視之為和諧課堂上的噪音并盡力去消除. 只是“消”的方式有所不同而已：有的是“硬消”，即為固守自己的“預設”，對生成不予理睬或生硬地拒之. 有的是“預消”，為了防止生成的產生，教師通過精心設計，把本來可供探索的問題分解為較低水平的“結構性問答”，學生只需調動記憶中的相關知識點就可以機械地應答，從而使生成胎死腹中. 還有的是“導消”，教師為了顯示學生的“主體”地位而允許生成產生，但卻令它無法生存，在教師循循善誘的“主導”下，生成被“順利”導向“預設”. 終其結果，便是造成具有活力的生命個體被壓制，本來應該充滿生機的課堂被程序化、“沙漠化”.

從現代教學論來看，課堂教學過程是師生交往、積極互動、共同生成和發展的過程. 應該說，沒有課堂教學的生成，就不存在或未發生教學，那些只有教學的形式表現而無實質性交流發生的“教學”是失效教學，所以課堂教學需要生成.

從學生知識結構演化的情況來看，學生的思路反映著他對知識的理解程度，學生的思路若與預設相吻，這當然能反映出他的認識發展狀態，但相比之下，學生的課堂生成往往更能揭示學生個體在認識發展過程中的獨特狀況. 這種獨特情況很可能是從另一個角度所作的創造性思考抑或可能正是學生思維發生障礙的關鍵因素. 因此對于課堂教學生成，我們應該有一個理性科學的對策. 正如前蘇聯著名教育家蘇霍姆林斯基所說：“教育的技巧并不在于能預見到課堂的所有細節，而是在于根據當時的具體情況，巧妙的在學生不知不覺中做出相應的變動. ”

對于課堂因生成而產生的精彩現象，筆者深有感觸. 下面筆者僅舉一則沒有完成預定教學任務的課例來說明生成的巨大潛能.

當時所上課題為“四邊形的內角和”. 課本中所繪的“軌跡”是①給出四邊形的定義→②合作學習（剪拼得出四邊形的內角和等于36°）→③證明四邊形的內角和等于360°→④此定理的應用（應用之一是證明四邊形的外角和等于360°；二是已知四邊形的四個內角比，求四個角的度數）.

教師預設是：基于學生在小學里已用剪拼、測量和圖形特殊化等方法得出四邊形的內角和等于360°，因而在執教本課例時筆者略去了書本中的合作學習，把四邊形的內角和等于360°作為學生已知的事實進行回顧，接著把學生直接引入課本“軌跡”③和④，然后再補充一些定理應用的練習.

上課進行時：當講解到四邊形的內角和等于360°的證明時，師生一起得到了“預設”中的兩種“傳統”方法（如圖1、2）.

在討論以上兩種方法時，學生的生成突然出現：

受到圖2證明方法的啟迪，馬上有學生舉手發言.

生1：老師，我在四邊形一邊上任取一點，再與該邊相對的頂點連接

起來（圖3），把四邊形分割成三個三角形來證明（3?180°-180°=360°）

生2：老師，我是通過添平行線來考慮的（如圖４），把四邊形的四個內角之和轉化為圖中粗線所圈的四個角（平行線的同旁內角為180°和一個內角）．生3：我從特殊到一般進行思考，通過添畫成長方形去證明（如圖5）. 長方形的四個角都為90°，和為360°. 先畫一個長方形，再在里面“裝”一個四邊形就證明出來了. 因∠4=∠5+∠6，而∠6=∠7+∠8，∠5+∠1=∠2+∠3，所以∠1+∠4=∠1+∠5+∠6=∠1+∠5+∠6=∠1+∠5+∠7+∠8=∠2+∠3+∠7+∠8， 所以四邊形的內角和就轉化為長方形的內角和.

可能受到生3的影響，生4：平行四邊形內角和為360°，可以先畫一個平行四邊形，再在里面“裝”一個四邊形（如圖6）；當然但把四邊形畫在外面更加簡單（如圖7）. 因為∠1+∠2=∠3+∠4，所以四邊形的內角和就轉化為平行四邊形的內角和.

這些學生能自發地從自己的“最近發展區”找到需要的模型，加以思量，從而多途徑地解決問題，這可以說是教師始料未及的.

筆者干脆順水推舟，放棄自己原來的“預設”， 想通過“互動”，給創設讓學生生成的空間來進一步激發學生的生成. 于是提出既然有多種方法可以證明四邊形內角和為360°，那么就來個證法大比拼，比試誰的解法多，誰的更有創意. 結果各種方法在黑板上“爭奇斗艷”，一發而不可收. 以下是學生展示作品中的一部分（圖8～圖16，四邊形的內角和最終轉化為圖中粗線所標的圈角的和）：

如果到此為止，表面上看來，學生的生成的價值已經充分體現，通常所說的一題多解、一題多證等都實現了. 但是，如果把這些可貴的教學新資源進行再開發，就有可能使它釋放出更大的能量. 于是筆者故意“露拙”，指出以上16幅圖間必有某種關聯，“引導”學生一起探求其中的奧秘. 首先讓學生對這16幅圖進行分類. 通過大家的合作、交流，很快學生提出了多種分類方法.

生1：這16幅圖按是否添平行線來分類. 有的將添平行線的（圖4、5、6、7、8、10、11、12、13、14、16）歸為一類；不添平行線的（圖1、2、3、9、13）歸為另一類；

生2：這16幅圖可按能否轉化為平行四邊形或梯形（特殊四邊形）內角和分類. 有的將最后能轉化為平行四邊形或梯形（特殊四邊形）內角和的（圖5、6、7、10、11、14）歸為一類；其余不能轉化的歸為另一類；

生3：我把它們分成三類：將最后能轉化成一個360°的（圖8、9）歸為一類，轉化成180°+180°的（圖1、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15、16）歸為一類，轉化成3×180°－360°的圖3歸為一類，轉化成4×180°－360°的圖2歸為最后一類.

由此可見，學生們的創造多么精彩，特別是這最后一種分法，很像玩“24點”游戲. 而這里“玩”的就是“360點”，即360°的拆數游戲（把360°拆分成幾個特殊角的和、差、倍、分形式，從而將問題轉化）. 如360°=4×90°（圖5，矩形的四角和）=180°+180°=180°+90°+90°=4×180°-360°=…而關于360°的又有：①周角、②三角形三個外角的和；關于180°角又有：③平角、④兩條平行線被第三條直線所截而成的同旁內角、⑤三角形的內角和. 由于有①所以有圖8；有②就有了圖9；而180°+180°的想法因為有了③④⑤就產生了6種組合方式，從而派生了圖1、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15、16.

當規律一一被揭示時，學生各自的思維終成一體. 這潛存的規律不僅是師生認知上的一個重大飛躍，同時也使“預設”得到了升華.

由于生成的產生，繼而引發規律性的思考，由此發出的能量不可低估. 在后續學習梯形的有關內容時，學生已能自覺地把梯形問題通過添置輔助線化歸為平行四邊形和三角形進行解決（如下圖）.

以上課例雖然沒有完成預定的教學任務，卻激發出了學生生成的巨大潛能. 所謂“失之東隅，收之桑榆”正是這個道理. 這些“生成”潛能主要可以概括為三個方面：

一是共振的“思維場”，衍生新的教學資源. 課堂中學生的“生成”除了本身所具有的發現性和創造性外，還有對其它思路起潤滑和催化作用的功能，很可能會“引爆”更多人（學生或老師）的思考，從而使不同人的思維互相激活，形成共振的“思維場”. 而由“思維場”輻射出的能量是不可估量的，它有可能使“預設”得以升華，成為新的教學資源.

二是開放的“探索路”，感受學習成功的快樂. 英國哲學家約翰?密爾曾說過：“天才只能在自由的空氣里自由自在地呼吸.” 而心理學研究也表明：人在輕松和諧的環境里，思維才表現得最為活躍. 一個“生成”會引發出一個可探究的靈活空間，在這里不同的思路得到充分敞現和碰撞并被評價和接納. 當學生感受到自己被尊重、被重視時，會更為主動地關注學習活動中不斷呈現的資源，對學習結果產生更為積極的預期. 原本被老師的“預設”操縱著的“死”的課堂，也因了學生“生成”的注入而活力四射. 學生們會在自己的思路被接納或被證實時感受到成功的快樂，而這又會成為他們學習數學更強的內驅力. 當然，即便是錯誤的思路也可能成為亮麗的風景，因為師生在共同反思的過程中獲得了經驗.

三是學習的“共同體”，動搖教師“霸主”地位. 由于學生“生成”的產生是一個自主建構的過程，因而往往具有其思維的獨特性. 獨特的“生成”可能會涉及到教師未知的或已知但未挖掘的領域. 這對教師而言無疑是一種挑戰. 教師原有的認知和經驗可能已無法足以讓他們“笑傲江湖”、“雄霸武林”. 所謂“道高一尺，魔高一丈”，為了打破預定的預設，教師勢必要重新修煉，和學生一起營造學習的共同體. 只有不斷提高自己的業務理論水平，不斷對自身的教學進行反思與評價，才能為學生提供更廣闊的發展空間.

學生的“生成”既然有如此巨大的潛能，在教學過程中，我們確實應該采取有效的策略，“審時度勢，合理調控”，運用高超的教學技巧使學生的“生成”中所具有的價值得到充分利用.

一是通過“ 巧設”，有意讓學生“出軌”. 把原來環環相扣、精細嚴密的設計，變成精心而不精細、有意留白的巧設，只考慮整體布局和板塊結構而不預設細節，在課堂教學過程中，給學生騰出思考的時間，有意讓學生優先起跑，讓學生的“生成”有產生的空間.

二是通過“露拙”，讓學生走得更自信. 教師適當露拙，可以激勵學生思考，勇于創新，不怕出錯和露短，使學生對自己的“生成”更有自信. 否則，教師遮遮掩掩，只會扼殺“生成”. 不必擔心我們的“露拙”會讓學生看不起. 其實教師的坦率，不僅不會降低教師的威信，反而會使師生間的距離接近.

三是通過“誘導”，讓學生走得更遠. 與上文所說“導消”將“生成”導向“預設”不同，這里所說的“誘導”是指遵循學生的“生成”，誘發其產生更多的“出軌”機會，從而引發出更多潛在的、規律性的認知，這些新的認知遠遠超出教師原有的預設，同時也將拓展更大的探究空間. 從而充分發揮學生的潛能，激發學生的思維，讓數學的精彩在“生成”中飛舞起來！