實踐操作型試題析解

所謂的實踐操作試題，就是讓學生通過具體的操作或借助于計算機技術，來獲得感性認識，建構數學知識，以達到動手、動腦能力的目的的一類數學問題，具有較強的實踐性與思辨性. 解決實踐操作試題一般需要經歷觀察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等實踐活動，利用自己已有的生活經驗，感知與發現結論，從而解決問題.

下面舉例說明.

例1 （浙江）現有一張長和寬之比為2∶1的長方形紙片，將它折兩次（第一次折后也可打開鋪平再折第二次），使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個部分（稱為一個操作），如圖1（虛線表示折痕）.

除圖1外，請你再給出三個不同的操作，分別將折痕畫在圖3～5中（規定：一個操作得到的四個圖形，和另一個操作得到的四個圖形，如果能夠“配對”得到四組全等的圖形，那么就認為是相同的操作. 如圖1和圖2是相同的操作）.

析解 要正確的解答本題，要先審請題意，明確題目的要求，本題應讀懂操作與相同的操作的含義.

答案例舉如下：

例2 我們做一個拼圖游戲：用等腰直角三角形拼正方形. 請按下面規則與程序操作：

第一次：將兩個全等的等腰直角三角形拼成一個正方形；(圖6)

第二次：在前一個正方形的四條邊上再拼上四個全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜邊與正方形的邊長相等），形成一個新的正方形；

以后每次都重復第二次的操作……

（1）請你在第一次拼成的正方形的基礎上，畫出第二次和第三次拼成的正方形圖形；

（2）若第一次拼成的正方形的邊長為a，請你根據操作過程中的觀察與思考填寫下表：

析解 要正確的解答本題，應明確怎樣拼圖，也就是明確拼圖游戲的規則與程序.

解 （1）圖略.

(2)2a²，4a²，8a²，…，2ⁿa².

例3嘗試：如圖7，把一個等腰直角△ABC沿斜邊上的中線CD（裁剪線）剪一刀，把分割成的兩部分拼成一個四邊形A′BCD，如示意圖7. （以下有畫圖要求的，工具不限，不必寫畫法和證明.）

（1）猜一猜：四邊形A′BCD一定是________;

（2）試一試：按上述的裁剪方法，請你拼一個與圖7不同的四邊形，并在圖8中畫出示意圖.

探究:在等腰直角△ABC中，請你沿一條中位線（裁剪線）剪一刀，把分割成的兩部分拼成一個特殊四邊形.

(1)想一想：你能拼得的特殊四邊形分別是______；（寫出兩種）

(2)畫一畫：請分別在圖9、圖10中畫出你拼得的這兩個特殊四邊形的示意圖.

拓廣:在等腰直角△ABC中，請你沿一條與中線、中位線不同的裁剪線剪一刀，把分割成的兩部分拼成一個特殊四邊形.

(1)變一變：你確定的裁剪線是______，（寫出一種）拼得的特殊四邊形是______；

(2)拼一拼：請在圖11中畫出你拼得的這個特殊四邊形的示意圖.

析解 嘗試:(1)平行四邊形；

(2)如圖12所示.

探究:(1)平行四邊形、矩形或者等腰梯形，（答其中兩個即個）

(2)如圖13～16所示. （畫其中兩個即可)

拓廣:(1)裁剪線是：將斜邊繞斜邊中點旋轉任意角度所得的直線；或者將平行于BC邊（直角邊）的中位線平移與AC交于點D，使AD∶DC=∶1的看線；或者將平行于AB邊（斜邊）的中位線平移與AC交于點D，使AD∶DC=∶1的直線.拼得的特殊四邊形是直角梯形.

(2)如圖17～19所示. （畫其中一個即可）

例4 操作與探究：

（1）圖20是一塊直角三角形紙片. 將該三角形紙片按如圖方法折疊，點A與點C重合，DE為折痕. 試證明△CBF為等腰三角形；

（2）再將圖20中的△CBE沿對稱軸EF折疊（如圖21）. 通過折疊，原三角形恰好折成兩個重合的矩形，其中一個是內接矩形，另一個是拼合（指無縫無重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個矩形為“組合矩形”. 你能將圖22中的△ABC折疊成一個組合矩形嗎？如果能折成，請在圖22中畫出折痕；

（3）請你在圖23的方格紙中畫出一個斜三角形，同時滿足下列條件：①折成的組合矩形為正方形；②頂點都在格點（各小正方形的頂點）上；

（4）有一些特殊的四邊形，如菱形，通過折疊也能折成組合矩形（其中的內接矩形的四個頂點分別在原四邊形的四條邊上）. 請你進一步探究，一個非特殊的四邊形（指除平行四邊形、梯形外的四邊形）滿足何條件時，一定能折成組合矩形？

析解 （1）因為∠ECB=90°-∠DCE，∠B=90°-∠A，又由對稱性知，∠A=∠DCE，所以∠ECB=∠B. 所以△BCE是等腰三角形.

(2)如圖24所示.

(3)如圖25所示，答案不唯一，只要體現一條邊與該邊上的高相等即可.

(4)當一個四邊形的兩條對角線互相垂直時，可以折成一個組合矩形.

例5 操作：

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點. 圖26～28是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況.

研究：（1）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD與PE之間有什么數量關系？并結合圖27加以證明.

(2)三角板繞點P旋轉，△PEB是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由.

(3)若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM∶MB=1∶3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數量關系？并結合圖29加以證明。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。