一道課本習題解法的改進

浙教版義教課標教科書《數(shù)學》七年級上第131頁有這樣一道習題：

題目 一收割機每天收割小麥12公頃，收割完一片麥地的2/3后，該收割機改進操作，效率提高到原來的5/4倍，因此比預定時間提早1天完成. 問這片麥地有多少公頃？

教學參考書解答如下：

解法1 設這片麥地有x公頃. 根據(jù)題意，得：

解得x=180，答略.

參考書的解題思路（簡稱思路1）是從工作時間去找相等關(guān)系，通過收割完整片麥地實際所用時間比預定時間少1天的條件，得出實際時間-預定時間=1的相等關(guān)系，列出方程.

可是這個方程的系數(shù)相當復雜，對剛學習一元一次方程解法的初一學生來說并不輕松. 難道非得從全部的實際時間與全部的預定時間進行比較，才能找到相等關(guān)系，列出方程嗎？有沒有通過其他思路使列出方程簡潔一點，好解一些呢？帶著這兩個問題，筆者對這道題進行解法探索.

思路2 通過審題，我們不難發(fā)現(xiàn)：收割完整片麥地實際所用時間比預定時間少1天，是因為在剩下1/3麥地收割機的效率提高到原來的5/4倍，與開始收割完的麥地的2/3無關(guān)，因此我們可把原來的條件轉(zhuǎn)化為1/3麥地實際工作時間比1/3麥地預定工作時間少1天，這樣列出的方程更簡潔，更容易解.

解法2 設這片麥地有x公頃. 根據(jù)題意，得

解得x=180.

思路3 解法2是從剩下1/3麥地的工作時間去考慮，我們當然也可以從收割整塊麥地所用的時間去思考. 假設收割機一開始就把效率提高到原來的5/4倍，那么所用時間就會比預定時間少1×3天，這樣，我們又可把條件轉(zhuǎn)化為按原來效率5/4倍收割完全部麥地的所用時間比按原來效率所用時間少3天，列出比解法2更簡潔的方程.

解法3 設這片麥地有x公頃. 根據(jù)題意，得：

解得x=180.

評注1 解法1的思路是把實際所用時間分兩段進行計算，解法2的思路是從局部考慮，看透題目的實質(zhì)——“比預定時間提早1天，是因為在剩下1/3麥地時收割機的效率提高到原來的5/4倍”，解法3的思路是則從整體去入手，假設收割機一開始就把效率提高到原來的5/4倍，那么所用時間比預定時間少3天. 若把方程①去括號，左邊前兩項合并就得到方程②；若把方程②兩邊都乘以3，就得到方程③.

以上三種解法都是直接設未知數(shù)，由于題目中預定的效率和后來的效率都是已知的，因此只要求出工作時間，就能求出相應收割的麥地公頃數(shù).

思路4 如果設收割完剩下1/3麥地的預定所用時間為x天，根據(jù)收割剩下1/3麥地工作量的兩種不同表示方法，列出方程求出x，再求出整片麥地公頃數(shù).

解法4 設收割完剩下1/3麥地的預定所用時間為x天，根據(jù)題意，得12x=12×5/4(x-1)，解得x=5，所以3×12x=3×12×5=180.

評注2 解法4與前三種解法相比，解法4從同一個工作量的兩種不同表示方法上列方程，解方程過程中用不到去分母，所有計算都可以通過心算進行，計算不太容易出差，因此在這點上解法4更顯得優(yōu)越.

思路5 解法4是先求出收割完1/3麥地的預定所用時間，其實我們也可以先求出收割完整片麥地的預定所用時間，只不過需要把“收割完整片麥地的預定所用時間比一開始按效率提高5/4倍收割所用的時間多3天”的隱含條件挖掘出來.

解法5 設收割完這片麥地的預定所用時間為x天，根據(jù)題意，得12x=12×5/4(x-3)，解得x=15，所以12x=12×15=180.

實際上，這道習題用算術(shù)方法也會比解法一簡單，以下是筆者給出兩種用算式求解的方法：

解法6 把條件“在收割剩下麥地的1/3，比預定時間提早1天”理解成“當按實際效率收割完剩下1/3麥地時，則按原來效率收割這些麥地，還有1×12公頃沒有收割”. 根據(jù)題意，收割完1/3麥地實際所用時間是(12×1)÷(15-12)=4天，1/3麥地的公頃數(shù)為15×4=60，即這片麥地有60÷1/3=180公頃.

解法7 從條件可看出，單按效率收割完整片麥地比單按原來效率收割完整片麥地少用1×3天，因此單按提高5/4倍效率收割完整片麥地所用時間為(3×12)÷(15-12)=12天，整片麥地為15×12=180公頃.

評注3 解法6從局部考慮，而解法7則從整體去入手，顯然整體考慮比局部考慮思路更清晰，算式更簡單.

數(shù)學教學，說到底就是數(shù)學解題的教學. 通過對典型課本習題的解法分析，我們可以不斷積累解數(shù)學題的思想、策略和方法. 因此在平時解題過程中，我們不要總滿足于已有的一招一式，也不可崇拜課本上的“經(jīng)典”解法，匆匆地閉題而過，失去了提高解題能力的機會，相反此刻我們應該靜下心來，思考已有的解法能不能改進，有沒有更加簡潔自然的思路.