反差緣何而來？

1 緣起

在本學(xué)期末全市的統(tǒng)考中，命題者出了一道證明圓周角定理的題，題目是這樣的：[HTK]在探討圓周角與圓心角的大小關(guān)系時，有一位同學(xué)首先考慮了一種特殊情況（圓心在圓周角的一邊上）. 如圖1所示：

因?yàn)椤螦OC是△ABO的外角， 所以∠AOC=∠ABO+∠OBA，又因?yàn)镺A=OB，所以∠OAB=∠OBA； 即∠AOC=2∠ABO，所以∠ABC=1/2∠AOC.

請你幫這位同學(xué)想一想還有其他的情況嗎？如果有請你在圖（2）、（3）中畫出圖形，猜想結(jié)論又將如何，并請你說明理由.

這道題目的呈現(xiàn)方式同教材^[１]中的完全一致，一般教師在上課時對該定理的猜想及證明應(yīng)該都置于十分重要的地位. 回想自己上課時為了使學(xué)生明確該定理為什么要進(jìn)行分類證明，還特意用幾何畫板進(jìn)行過演示，使學(xué)生觀察到當(dāng)B點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時，圓周角在不同位置的證明方法是不同的，學(xué)生應(yīng)該掌握得不錯. 因此，考前我們預(yù)計(jì)中等以上的學(xué)生應(yīng)該都能順利的做出來，但考后反饋出來的情況令備課組所有教師都大跌眼鏡. 以自己所任教的兩個平行班為例，兩種情況都證明出來的， 84個學(xué)生中只有區(qū)區(qū)8個同學(xué)，證明了一種情形的也只有近一半同學(xué)，甚至一些學(xué)生連題目的意思也沒搞明白. 而整個年級段的情況也大致如此，到底是什么原因使師生間的認(rèn)識產(chǎn)生如此大的反差？

2訪談

帶著巨大的疑問對自己所任教的兩個班級中的一些學(xué)生進(jìn)行了訪談.

T：拿到該題是如何思考的？上課時對于該定理的證明思路是否清晰？

以下是訪談學(xué)生中一些比較典型的想法.

S1：上課時老師是先畫出一個一般的情形讓我們猜，然后引導(dǎo)我們先證明特殊情況，再證明一般情況，因此，上課時對于該定理的猜想及證明思路還是比較清晰的，對課本中的敘述也就沒去看. 考試中拿到該題目，根本沒想到是考定理證明 ，看看題目比較長，還要畫圖，就認(rèn)為它難，心情就比較緊張，審題也沒審清楚，一看到有不同情況，就把B點(diǎn)畫到AC并直接用圓周角與弧的關(guān)系證明了…….

S2：做這道題目時，記得老師好像在課堂上講過，但自己怎么想也想不起來，所以，只好畫了兩個圖，寫上猜想應(yīng)付了.

S3：一開始沒看懂題意，再仔細(xì)讀了一遍，想起上課時老師是引導(dǎo)轉(zhuǎn)化成特殊情形來做的，就模仿例子做了第一種情形，感覺還挺簡單的，又思考第二種情形，連續(xù)添了幾條輔助線但就是找不到轉(zhuǎn)化的方法，現(xiàn)在感覺自己當(dāng)時上課時還是沒有真正理解.

S4：考課本內(nèi)容實(shí)在出乎我的意料，讀完題目有點(diǎn)慌，不知道還有哪種情況，該怎樣證. 上課的印象只留下證明時好像要做一條直徑，別的實(shí)在想不起來了，就瞎蒙了兩種情形，結(jié)果全錯了.

S5：題目的意思我也根本沒弄懂，但圓周角與圓心角的關(guān)系還是知道的，沒有別的辦法，就直接用它們與弧的關(guān)系進(jìn)行了證明…….

3 分析與思考

從學(xué)生反饋的信息看，以下幾點(diǎn)應(yīng)是造成師生之間認(rèn)識迥異的主要原因所在.

3.1 學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣問題

材料的敘述并不復(fù)雜，研究對象也十分清晰，況且還是教材中的內(nèi)容，竟然還有那么多的學(xué)生看不懂題意，實(shí)在令人驚訝. 究其原因，是我們常常認(rèn)為培養(yǎng)閱讀能力是語文教學(xué)的任務(wù)，更不要說指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本了，以致于經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：一堂課下來，學(xué)生的課本始終不曾打開或僅僅是為了做課堂練習(xí)時才打開；有時為了多講些例題，還沒等一些學(xué)生仔細(xì)閱讀完題目，充分理解題意，教師就開始分析了；課后作業(yè)中也幾乎不會涉及閱讀教材的內(nèi)容，學(xué)生看書往往只是為了參考課本中例題的解法……. 長此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣不良、閱讀能力不強(qiáng)是很自然的事，曾有教師進(jìn)行過調(diào)查，目前學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣已接近“零閱讀”的尷尬. 因此，部分學(xué)生對整個教材的體系與內(nèi)容往往了解得一鱗半爪，前因后果都沒搞清楚；遇到信息量稍大的閱讀材料就會心存恐懼，不知如何去收集、分析、處理信息，不知如何溝通條件與結(jié)論之間的橋梁……，這些現(xiàn)象確實(shí)值得我們在平時的教學(xué)中加以重視. 如在課堂上對出示的問題應(yīng)給予足夠的時間供學(xué)生閱讀與思考，并通過師生、生生之間的交流讓他們反思自己在閱讀方面的問題與不足，不斷提高自己的閱讀能力，課后應(yīng)布置一定的閱讀作業(yè)，同時，教師應(yīng)加強(qiáng)對如何指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本等問題的研究，畢竟讀數(shù)學(xué)課本不像讀小說，要指導(dǎo)學(xué)生邊讀邊思邊動手，要鼓勵學(xué)生盡可能獨(dú)立思考，努力嘗試自己解決問題，并將自己的思路與課本的思路加以對照，以期對自己有所修正、補(bǔ)充，有所啟示，從而提高閱讀效果，讓教材在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮它應(yīng)有的作用.

3.2數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解問題

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要理解. 數(shù)學(xué)理解的含義，按皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識論學(xué)說，就是學(xué)生從現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，對外來信息進(jìn)行同化、順應(yīng)及相互平衡，化歸到已知或已解問題網(wǎng)絡(luò)的加工過程. 對于具體數(shù)學(xué)問題的解決而言，理解的更樸素認(rèn)識通常是，明白了問題的條件與結(jié)論，弄清了由條件到結(jié)論間每一步驟的語義與根據(jù)，領(lǐng)悟了體現(xiàn)在步驟與過程中的思想方法^[２]. 就本案例而言，部分學(xué)生顯然對本題的證明方法只是停留在機(jī)械的模仿程度，對為什么要這樣證，如何轉(zhuǎn)化還一知半解，沒有充分領(lǐng)悟其中的證明思想與轉(zhuǎn)化策略；而另一些學(xué)生干脆連問題的條件也沒弄清楚，于是便發(fā)生了把由圓周角定理引申出來的結(jié)果當(dāng)作條件的邏輯錯誤. 反思自己當(dāng)時教這個定理時，從圓周角概念的引出、辨析，到兩種角之間關(guān)系的猜想、實(shí)驗(yàn)，再由特殊到一般的證明思路，在整個教學(xué)過程中看似讓學(xué)生充分經(jīng)歷了知識的發(fā)生、發(fā)展過程，但從實(shí)際情況分析，效果卻并不好. 究其原因，我們往往只是按照自己對內(nèi)容的理解出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì)，缺乏換位思考，忽略了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與思維方式，如本題的分類討論，雖然通過幾何畫板的演示，使學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)分類的必要性，但該怎樣分類，總體感受還是不深刻，關(guān)鍵在演示過程中缺少無限到有限的思想方法引領(lǐng)，即AC所對的圓周角有無數(shù)個，怎樣證明這無數(shù)個圓周角都等于圓心角的一半？能否把證明無限個情形成立的問題轉(zhuǎn)化成證明有限個情形成立的問題^[３]？學(xué)生當(dāng)可從演示過程中發(fā)現(xiàn)，圓心O與圓周角∠ABC有且僅有三種位置關(guān)系；還有對圓心在圓周角外的情況，設(shè)計(jì)時總感覺它的證明思路與圓心在圓周角內(nèi)的情況完全一致，為了急于完成教學(xué)任務(wù)，便采取了降低教學(xué)認(rèn)知水平的行為，卻忽略了這時圖形的復(fù)雜性會給學(xué)生證題帶來一定的困難；另外本課教學(xué)時給予學(xué)生的交流空間狹窄，沒有充分暴露學(xué)生中的思維障礙等等. 這些都是導(dǎo)致學(xué)生對所學(xué)的知識聯(lián)系松散，僅僅靠記憶紐帶維系，難以透徹理解數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的根本原因. 因此，教師必須在教學(xué)設(shè)計(jì)時進(jìn)行換位思考，以學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)知識的生長過程，并努力監(jiān)控這個過程，及時合理調(diào)整，使之和諧生成，切實(shí)使學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下達(dá)到新舊知識的融會貫通，形成有機(jī)的、多功能認(rèn)知網(wǎng)絡(luò).

3.3 考試的評價問題

立足教材、重視雙基、重視基本思想方法，一直是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng). 它有利于學(xué)生重視知識的形成過程，有利于學(xué)生充分理解基礎(chǔ)知識的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系. 在考試中適度的引入對重要定理的考查，就是在這一方面的體現(xiàn). 但由于受到中考指揮棒的影響，特別是近年來，各地中考試題中許多所謂的創(chuàng)新題鋪天蓋地，這些試題中也確實(shí)不乏重視思考、重視過程，反映學(xué)生思維能力的好題. 但那些情境為多數(shù)學(xué)生不熟悉的試題；那些只是從陳題稍作改變，而思路又很奇特的試題；那些會有失背景的公平，無意中鼓勵題海訓(xùn)練的試題卻也為數(shù)不少，而各類雜志上連篇累牘的解讀聲、贊揚(yáng)聲總是不絕于耳，大量所謂名師編制的模擬試題充斥市場. 在這種背景下，各地中考試題的命題組無形之中也會受到一定的影響，加上中考題量與時間的不匹配，這些因素都導(dǎo)致教師特別是初三教師花大量精力去研究試題的類型與解法，并在課堂上不斷呈現(xiàn)，以便讓自己的學(xué)生見多識廣，到時遇到新型題不至于驚慌失措. 在教師的教學(xué)行為影響下，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的已聚焦于考試與升學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生用大量時間和精力花在“記”數(shù)學(xué)、“套”公式而非理解數(shù)學(xué)上，還誤以為題目做得越多越好、公式記得越周詳越好，誤認(rèn)為會解數(shù)學(xué)題就是學(xué)好了數(shù)學(xué)的標(biāo)志^[４]. 這里對雙基的理解已異化為解題的熟練程度和正確性與否上，過程的理解與運(yùn)用已不再重要，至于課本更是已變得可有可無. 這也是對該定理的證明反差極大的緣由之一. 希望通過這一帖清醒劑，提醒我們要重新正確認(rèn)識雙基的作用，要切實(shí)重視知識的形成和探究，要幫學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀念. 當(dāng)然，也希望中考命題時能考慮：考基礎(chǔ)（考一點(diǎn)課本上的東西）； 考能力（考一點(diǎn)思維的過程）；也考一點(diǎn)對雙基的理解.

總之，只有我們認(rèn)真學(xué)習(xí)，加強(qiáng)研究，不斷反思，深刻理解數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，才能切實(shí)改進(jìn)教學(xué)行為，不斷提高課堂教學(xué)的效率.

參考文獻(xiàn)

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。