數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究綜述

我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中體會(huì)到，認(rèn)識(shí)了的數(shù)學(xué)知識(shí)需要加以組織整理，儲(chǔ)存在記憶中，才能有效地加以利用.正如Bruner(1977)所說(shuō)：“獲得的知識(shí)如果沒(méi)有完滿(mǎn)的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí).一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命.”^[1]事實(shí)上，認(rèn)知結(jié)構(gòu)除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進(jìn)理解和應(yīng)用的功能.總之，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一種推動(dòng)人的認(rèn)知活動(dòng)的工具.同樣，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著非常重要的作用，它是學(xué)生接受知識(shí)、掌握知識(shí)、提取知識(shí)和在這個(gè)基礎(chǔ)上形成能力的關(guān)鍵，在任何條件下，已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)總是學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的一個(gè)中心的心理成份.由此，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到研究者的重視.縱觀已有的研究，主要涉及以下幾個(gè)方面：數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵、良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征和建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的措施.在查閱文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，我對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述.

1 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵

1.1 認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念

認(rèn)知結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單地講，是個(gè)人將自己所認(rèn)識(shí)的信息組織起來(lái)的心理系統(tǒng).關(guān)于這個(gè)概念，存在著許多不同的名稱(chēng)：圖式、架構(gòu)、模型、組塊、同化范例等，都是指認(rèn)知結(jié)構(gòu).^[2]關(guān)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)含義，不同的心理學(xué)家(派)對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有不同的理解，簡(jiǎn)述如下：

1.美國(guó)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾認(rèn)為，所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)生頭腦里的知識(shí)結(jié)構(gòu)，廣義地說(shuō)，他是某一學(xué)習(xí)者的觀念的全部的內(nèi)容和組織；狹義地說(shuō)，它是學(xué)習(xí)者在某一特殊知識(shí)領(lǐng)域的觀念、內(nèi)容和組織.關(guān)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的內(nèi)容，奧蘇貝爾作了創(chuàng)造性的分析，他稱(chēng)之為認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量，所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量，是指學(xué)習(xí)者在某一特定領(lǐng)域內(nèi)的現(xiàn)有知識(shí)的實(shí)質(zhì)特征和組織特征.根據(jù)奧蘇貝爾的研究，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)有重大影響的變量主要是以下三個(gè)方面：原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)新的學(xué)習(xí)起固定作用的觀念的可利用性；新知識(shí)同原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中起固定作用的觀念之間的可辨別性；原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中起固定作用的觀念的穩(wěn)定性和清晰性.^[3]

2.皮亞杰是最早提出認(rèn)知結(jié)構(gòu)概念的人.他認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)像生物學(xué)的結(jié)構(gòu)一樣，既不是事先存在于人腦中的，也不是外部世界賦予的，而是個(gè)體由與生俱來(lái)的原生圖式生長(zhǎng)發(fā)展的.圖式是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的胚胎和雛形，通過(guò)與外界的相互作用不斷的建構(gòu).^[4]

3.美國(guó)著名的心理學(xué)家布魯納認(rèn)為認(rèn)知結(jié)構(gòu)是個(gè)體認(rèn)識(shí)事物或?qū)W習(xí)知識(shí)時(shí)在頭腦中所采取的認(rèn)識(shí)模式系統(tǒng).

4.現(xiàn)代信息加工心理學(xué)認(rèn)為，所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是儲(chǔ)存于個(gè)人長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)內(nèi)的陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)（包括自動(dòng)化技能和受意識(shí)控制的策略）的實(shí)質(zhì)性?xún)?nèi)容和他們彼此之間的聯(lián)系.^[5]

可見(jiàn)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念提法，各有不同的側(cè)重點(diǎn).現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)強(qiáng)調(diào)認(rèn)知的結(jié)構(gòu)意義，把認(rèn)知看作是原認(rèn)知結(jié)構(gòu)接納新知識(shí)的一種心理活動(dòng)，用以分析人的認(rèn)知特點(diǎn)和形式.而皮亞杰的心理結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)著重于操作活動(dòng)和理解過(guò)程中各因素的邏輯結(jié)構(gòu).它指人的認(rèn)知及思考的結(jié)構(gòu)，以及它們的發(fā)展對(duì)人與環(huán)境之間的積極影響，因此它更多的指活動(dòng)成分的結(jié)構(gòu).信息加工理論則傾向于內(nèi)容和形式在心理上的組織和表示.全面地看，它們對(duì)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念各有自己特定的貢獻(xiàn)，有利于我們從各種角度了解、掌握有關(guān)的思想，但同時(shí)我們應(yīng)明白，他們畢竟有所不同，不應(yīng)簡(jiǎn)單的混為一談，不加以區(qū)別.^[6]我們現(xiàn)在普遍接受的是奧蘇貝爾對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的解釋?zhuān)麖膶W(xué)習(xí)觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)明認(rèn)知結(jié)構(gòu)，認(rèn)為認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是書(shū)本知識(shí)在學(xué)生頭腦中的再現(xiàn)形式.

1.2 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的界定一直沒(méi)有形成統(tǒng)一的觀點(diǎn).如：

1.著名數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家曹才翰先生提出：“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合著自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu).”^[7]

2.涂榮豹先生提出：“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合而成的心理結(jié)構(gòu).”^[8]

3.張杰民認(rèn)為，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由相互聯(lián)系、相互滲透的各種表象系統(tǒng)和概念系統(tǒng)(包括內(nèi)化了的數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)觀念)，以及非智力因素等基本元素所組成.^[9]

4.李樹(shù)臣指出，所謂數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是人們?cè)趯?duì)數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行感知和理解的基礎(chǔ)上形成的一種心理結(jié)構(gòu).^[10]

還有的學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律，即數(shù)學(xué)的基本概念、公理、定理、方法相互滲透，相互關(guān)聯(lián)而形成的梯形結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);隨著元認(rèn)知理論的一些最新發(fā)展，有人又認(rèn)為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)還應(yīng)當(dāng)包括元認(rèn)知的成分，認(rèn)為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生通過(guò)感知、記憶、表象、思維、想象等認(rèn)知操作，在元認(rèn)知的監(jiān)控調(diào)節(jié)下把數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化到頭腦中所形成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu).

可見(jiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的界定，目前說(shuō)法很多，很不統(tǒng)一.但這其中也有大家比較認(rèn)可的和應(yīng)用比較多的，就是曹才翰先生給出的說(shuō)法，當(dāng)前很多研究都是在這個(gè)基礎(chǔ)上形成的.

由曹先生給出的這個(gè)定義可以看出，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，非其它知識(shí)的結(jié)構(gòu)；是一個(gè)在關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，非數(shù)學(xué)知識(shí)的外部書(shū)本結(jié)構(gòu)等；并且這個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中形成的，是個(gè)人積極思維和能動(dòng)的結(jié)果，不是別人強(qiáng)迫或灌輸?shù)慕Y(jié)果；還有，它帶有明顯的個(gè)人色彩，有自己的特點(diǎn)，因?yàn)樗歉鶕?jù)自己的理解來(lái)形成的.

2 良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以滿(mǎn)足后繼學(xué)習(xí)的需要，最終促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.那么，具備什么特征的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)才是良好的呢？前人從不同的角度進(jìn)行了探討，簡(jiǎn)述如下：

2.1 就一個(gè)具體的新知識(shí)的學(xué)習(xí)而言，根據(jù)美國(guó)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾的觀點(diǎn)可知，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有三個(gè)特征：1.可利用性，即在學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有適當(dāng)?shù)钠鹜饔玫挠^念可以利用；2.可辨別性，即新知識(shí)與學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)觀念是可辨別的；3.穩(wěn)定性，即同化新知識(shí)的原有的觀念是清晰和穩(wěn)定的.

2.2 華南師大何小亞先生從問(wèn)題解決出發(fā)，認(rèn)為良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征包括以下四個(gè)方面：1.足夠多的觀念.現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于“專(zhuān)家系統(tǒng)”的研究表明，在某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)善于解決問(wèn)題的專(zhuān)家必須具備上萬(wàn)個(gè)知識(shí)組塊，沒(méi)有這些專(zhuān)門(mén)的知識(shí)，專(zhuān)家就不能解決該領(lǐng)域內(nèi)的技術(shù)問(wèn)題.2.具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式.所謂產(chǎn)生式是指，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，其頭腦里逐步貯存了一系列以“如果…，那么…”的形式表示的規(guī)則，這種規(guī)則稱(chēng)為產(chǎn)生式（Production）；產(chǎn)生式是一種“條件→活動(dòng)”規(guī)則，簡(jiǎn)記為C→A，只要條件信息一出現(xiàn)，活動(dòng)就會(huì)自動(dòng)產(chǎn)生.這里所說(shuō)的活動(dòng)不僅是外顯的行為反應(yīng)，還包括內(nèi)隱的心理活動(dòng)或心理運(yùn)算.除了“條件→活動(dòng)”這樣的正向產(chǎn)生式之外，問(wèn)題解決者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中還應(yīng)該具備逆向產(chǎn)生式.逆向產(chǎn)生式是以“要…，就要…”的形式表示的規(guī)則.其含義是，在當(dāng)前情境之下，要使目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)，就要具備什么條件.除了正向產(chǎn)生式和逆向產(chǎn)生式之外，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中還應(yīng)該有一些與正向產(chǎn)生式的數(shù)學(xué)模式對(duì)應(yīng)的變形產(chǎn)生式.所謂變形產(chǎn)生式是這樣一種雙反應(yīng)產(chǎn)生式，即：學(xué)習(xí)者事先已習(xí)得某一產(chǎn)生式C→A，只要一出現(xiàn)與產(chǎn)生式C→A相關(guān)的信息，學(xué)習(xí)者立刻檢索出與產(chǎn)生式C→A對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模式，然后根據(jù)目標(biāo)信息對(duì)這一數(shù)學(xué)模式進(jìn)行變形.3.層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).除了具備足夠多的觀念和穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式之外，要建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)者還必須對(duì)所習(xí)得的知識(shí)信息進(jìn)行加工整理，使之形成一個(gè)個(gè)的知識(shí)組塊，并對(duì)這些知識(shí)組塊再進(jìn)行組織、分類(lèi)和概括，使之形成一個(gè)有層次有條理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這樣，就可以提高信息的檢索效率.4.穩(wěn)定的問(wèn)題解決策略的觀念.某一問(wèn)題領(lǐng)域內(nèi)的專(zhuān)家解決問(wèn)題的能力之所以比新手強(qiáng)，主要的原因之一是專(zhuān)家的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有著比新手多得多的問(wèn)題解決策略的觀念.如表征問(wèn)題的策略、波利亞的策略、化陌生為熟悉的觀念、化繁為簡(jiǎn)的觀念、特殊與一般的互化的觀念、正難則反的觀念、順推與逆推相結(jié)合的觀念、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化的觀念等等.^[11]

2.3 嚴(yán)正香和黃德成從實(shí)際教學(xué)出發(fā)，認(rèn)為學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有以下特征：1.有序性，良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有序性反映學(xué)生對(duì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系的條理性的掌握，以及學(xué)生對(duì)知識(shí)認(rèn)識(shí)的整體性.2.廣闊性，良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的廣闊性是從數(shù)學(xué)知識(shí)的量、質(zhì)兩方面來(lái)刻畫(huà)的.一方面，從量的方面講，應(yīng)有知識(shí)面廣，基礎(chǔ)牢固的特點(diǎn).另一方面，從質(zhì)的方面講，應(yīng)有高質(zhì)量的知識(shí)組塊，高質(zhì)量是指知識(shí)“內(nèi)化”程度高、理解程度深.3.建構(gòu)性，建構(gòu)性是指學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有良好的生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生能按照自己的“思維構(gòu)造”去建構(gòu)新的知識(shí).4.策略性，策略性是指學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中含有比較多的有關(guān)知識(shí)策略方面的知識(shí).在數(shù)學(xué)教學(xué)中教會(huì)學(xué)生有關(guān)數(shù)學(xué)的策略，有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，減少盲目的嘗試，提高學(xué)習(xí)的效率和節(jié)省數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決時(shí)間.^[12]

總之，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征是有利于產(chǎn)生新的層次更高的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3 建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的措施

關(guān)于如何建立學(xué)生良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智.

3.1 但多數(shù)都是根據(jù)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)成和特點(diǎn)展開(kāi)的，得出的結(jié)論是：優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、提高學(xué)生的理解能力、給學(xué)生清晰的印象、促進(jìn)學(xué)生的思考，等等.如有的人提出：為了使學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，應(yīng)該：1.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)要與認(rèn)知主體建構(gòu)知識(shí)相銜接；2.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)和目標(biāo)要求使學(xué)生在新知識(shí)學(xué)習(xí)中找到固接點(diǎn)；3.在學(xué)科教學(xué)中，建立新的檢測(cè)和評(píng)估認(rèn)知主體建構(gòu)知識(shí)和超越自己的方法和手段；4.還有人提出培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素（興趣、愛(ài)好、動(dòng)機(jī)等）可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3.2 華南師大何小亞從問(wèn)題解決出發(fā)，認(rèn)為構(gòu)建良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)必須做到一下幾點(diǎn)，令人耳目一新：

1.熟悉學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).有意義學(xué)習(xí)的條件表明，要使學(xué)生有效地接納新知識(shí)，學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具備適當(dāng)?shù)挠^念.因此，要發(fā)展學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教師首先必須熟悉學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣才能知道選擇教什么和怎樣教.

2.創(chuàng)設(shè)良好的問(wèn)題情境.有意義學(xué)習(xí)的條件之一是學(xué)習(xí)者必須具有意義學(xué)習(xí)的心向，要使學(xué)習(xí)者具有這種“心向”，教師就要?jiǎng)?chuàng)設(shè)良好的問(wèn)題情境.良好的問(wèn)題情境應(yīng)具備以下條件：（1）讓學(xué)生明白自己將要學(xué)到什么或?qū)⒁邆涫裁茨芰?（2）能造成認(rèn)知沖突.這樣就可以打破學(xué)生的心理平衡，激發(fā)學(xué)生彌補(bǔ)“心理缺口”的動(dòng)力.（3）問(wèn)題情境是學(xué)生熟悉的.（4）提出問(wèn)題的方式和問(wèn)題的難度是適宜的.

3．突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).學(xué)校教學(xué)的目的就是要使學(xué)生能把習(xí)得的內(nèi)容遷移到新情境中去.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于學(xué)習(xí)的遷移.因此，要發(fā)展學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就必須要突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)思想方法層次上的數(shù)學(xué)觀念.

4．注意整體性教學(xué).整體性教學(xué)有兩個(gè)方面的要求：（1）注意知識(shí)組塊的教學(xué).這樣，既有利于知識(shí)的保持又有利于知識(shí)的檢索與應(yīng)用.（2）實(shí)施由整體到部分，再由部分到整體的教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是由一些部分構(gòu)成的有機(jī)整體，它具有嚴(yán)密的邏輯性和完備的系統(tǒng)性.^[13]

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要性引起了人們對(duì)它進(jìn)一步深入研究，如曹才翰先生在《數(shù)學(xué)教育學(xué)概論》中探討了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三階段（輸入階段、新舊知識(shí)相互作用階段和操作階段），并且深入地分析了學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化，這樣有利于我們?cè)诮虒W(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)上有針對(duì)性地完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；管鵬提出了形成良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效練習(xí)原則，如明確練習(xí)目的、優(yōu)化解題方法、練習(xí)形式多樣化、把握練習(xí)的數(shù)量和難度等等；^[14]還有人提出，了解學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)可以采用以下方法：談話法、“出聲”思維法、“概念圖”法和“診斷性測(cè)驗(yàn)”等，在此基礎(chǔ)上，我認(rèn)為，教師在備課時(shí)，要處理好教材、教法與課堂教學(xué)之間的關(guān)系，按照學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)規(guī)律，選取符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的教學(xué)內(nèi)容，采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，以促進(jìn)學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成.

由上所述，我認(rèn)為，建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的前提，是了解學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而在具體的實(shí)施過(guò)程中要抓住課堂教學(xué)這個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，了解學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)變化的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用科學(xué)的教學(xué)方法，有機(jī)引導(dǎo)學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

4 關(guān)于研究現(xiàn)狀的評(píng)述

綜觀目前對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究，雖然取得了一定的進(jìn)步，但仍然存在著一些局限

4.1 在現(xiàn)有的文章中很少涉及一般認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與其他學(xué)科認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，即使有，也是泛泛而談.這一方面有待于進(jìn)一步的研究.應(yīng)該指出的是，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中還包括其他方面的知識(shí)，例如，有關(guān)語(yǔ)言、物理、化學(xué)、地理、天文等方面的內(nèi)容.從總體講，人腦可以存儲(chǔ)各種知識(shí).整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)包括全部知識(shí).正是因?yàn)橛薪Y(jié)構(gòu)在內(nèi)部發(fā)生作用，這些知識(shí)就可以分門(mén)別類(lèi)地得到整理，形成有關(guān)的局部結(jié)構(gòu)（例如有關(guān)語(yǔ)文方面的局部結(jié)構(gòu)），否則就會(huì)雜亂無(wú)章.然而各種知識(shí)并不是以純粹的完全獨(dú)立的形式分門(mén)別類(lèi)地保存著的.物理、化學(xué)知識(shí)常包括數(shù)學(xué)方面的內(nèi)容，而數(shù)學(xué)又常常涉及到物理模型、語(yǔ)言、字母符號(hào)甚至音樂(lè)、美術(shù)等方面的因素.因此，所謂的局部結(jié)構(gòu)并不是若干個(gè)分界明顯的、相互隔絕的領(lǐng)域，而是存在著相互滲透、相互交叉的直接聯(lián)系，或存在著相互影響、相互利用的間接關(guān)系，能起到促進(jìn)各類(lèi)知識(shí)相互交織、理解、提示、運(yùn)用的作用.除此之外，認(rèn)知結(jié)構(gòu)還包括關(guān)于知識(shí)的知識(shí)，即元知識(shí).它們是有關(guān)組織、提煉、監(jiān)控、調(diào)節(jié)、反省知識(shí)的知識(shí)及方法.由于有了這些知識(shí)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)才有條不紊，便于利用.^[15]

4.2 給出的建立良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的措施過(guò)于籠統(tǒng)，缺乏實(shí)踐研究.首先，理論探討固然重要，但要使其真正發(fā)揮作用，取得好的教學(xué)效果，還必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)予以驗(yàn)證.其次，忽視了個(gè)案研究.由于每個(gè)學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn)、認(rèn)知水平各不相同，因此，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究，必須結(jié)合學(xué)生的具體情況進(jìn)行分析，對(duì)不同水平的學(xué)生采取不同的措施加以指導(dǎo)，這往往是大面積實(shí)驗(yàn)研究不容易做到的.最后，還應(yīng)積極倡導(dǎo)“行動(dòng)研究”，這是以往所忽視的.“行動(dòng)研究特別強(qiáng)調(diào)教師的參與，對(duì)自己從事的實(shí)際工作進(jìn)行反思，是一種教學(xué)人員與科研人員共同參與，融教育理論與教育實(shí)踐于一體的教育研究模式.”數(shù)學(xué)教育研究是一項(xiàng)以實(shí)踐為邏輯起點(diǎn)，以改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐為歸宿的研究活動(dòng).數(shù)學(xué)教師參與研究行動(dòng)研究有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，他們置身于現(xiàn)實(shí)的動(dòng)態(tài)的教育教學(xué)情境中能夠及時(shí)體察教學(xué)活動(dòng)背景以及相關(guān)現(xiàn)象.他們對(duì)所教學(xué)生的已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知水平等個(gè)體差異是較為熟悉的，這也便于他們對(duì)改進(jìn)后的教學(xué)方案、策略的可行性和有效性做出正確的判斷.（感謝我的導(dǎo)師楊澤忠教授給予的悉心指導(dǎo).）

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