廣義雙線性系統的最優控制

摘要:最優控制是自動控制理論的重要研究分支，本文首次對廣義雙線性系統的最優控制問題進行研究#65377;利用李雅普諾夫穩定性理論和廣義李雅普諾夫方程的解來設計最優控制器，使得閉環系統全局漸近穩定且使廣義二次性能指標最小#65377;此外，還給出最優化控制器的設計方法，整個設計過程簡單，具有較少的保守性，例子表明設計方法的有效性和合理性#65377;

關鍵詞:廣義雙線性系統;最優控制;脈沖自由; 全局漸近穩定

中圖分類號:TP13;O231文獻標識碼:A

1引言

由于雙線性系統是一類特殊的非線性系統，具有結構簡單#65380;與線性系統最接近#65380;能在更大范圍內精確的描述受控對象等優點，對于雙線性系統的研究受到許多學者的關注[1#65380;2]#65377;雙線性系統和線性系統相比增加了非線性項，使得研究困難增加，還有許多問題有待進一步研究#65377;

隨著科學技術的發展，控制理論向其它學科的滲透，廣義系統理論應運而生，且廣義系統模型廣泛存在于經濟系統#65380;電力系統#65380;生態系統等，因而廣義系統受到了廣泛的重視;目前，對于廣義線性系統的研究也取得了一定的成果[3-5]#65377;文獻[6]對廣義雙線性系統已做了初步的研究，本文的目的是利用李雅普諾夫穩定性理論和廣義李雅普諾夫方程的解來設計最優控制器，使得閉環系統是全局漸近穩定，且使所采用的廣義二次性能指標最小#65377;

2主要結果

考慮如下一類廣義非線性系統:

其中E，A∈Rn×n，f(x，u)∶Rn×Rm→Rn是關于(x，u) 的連續向量函數，且detE=0#65377;

定理1對于廣義非線性系統(1)，若(E，A)是脈沖自由 的#65380;σ(E，A) C-，‖f(x，u)‖≤γ‖Ex‖，(γ>0)，且存在李雅譜 諾夫函數V(Ex)使得:

(ii)集合{x∈Rn∶(Ex)=0}中只包含系統的非平凡軌跡; 則原點是廣義非線性系統(1)的全局漸近穩定的平衡點#65377;

計算技術與自動化2007年3月 第26卷第1期蘭奇遜等:廣義雙線性系統的最優控制證明考慮李雅譜諾夫函數V(Ex)=(Ex)TVEx(2)在廣義非線性系統(1)中(E，A)是脈沖自由的#65380;σ(E，A) C-，‖f(x，u )‖≤γ‖Ex‖，根據文[6]中引理2可知存在正定矩陣Q，V使如下的廣義李雅譜諾 夫方程成立ETVA+ATVE=-ETQE，所以(Ex)|(1)=-xTETQEx+2xTETVf(x ，u)≤xTET(-Q+2γV)Ex，只需令0<γ≤λmin(Q)2λmɑx(V)，即可保證(Ex)|(1)≤0，λmin(Q )，λmɑx(V)分別為Q，V的最小#65380;最大特征值#65377;

顯然，當Ex≠0時，(Ex)<0，所以limt →∞Ex=0，易證limt→∞x=0( 參見[6]中定理2的證明)#65377;

當Ex=0時，由條件可知f(x，u)=0，此時系統(1)等價于E= Ax，由于(E，A)是脈沖自由的#65380;σ(E，A) C-，根據引理可知lim t→∞=0#65377;

下面證明全局漸近穩定性:考慮集合

由于Q，V是正定矩陣，顯然0∈Ω，此外滿足Ex=0的x也是Ω中的元素，由上面的證 明可知，不論Ex=0或Ex≠0，均有limt→∞ x=0，即Ω只包含系統(1)的非平凡軌跡;所以x=0是系統的一個全局穩定平衡點#65377;

考慮廣義雙線性系統其中x∈Rn，E，A，Ni，bi(i=1，…，m)是適當維數的常數矩陣 ，di(x)=Nix+bi，且detE=0.我們的目的是怎樣選擇控制u=u使系統(3)漸近穩定，且使目標函數J=∫∞0L(Ex，u)dt(4)最小，其中L(Ex，u)=12xTETQEx+12{∑mi=11ri(xTETVdi(x))2+uTRu}，Q，V正定，R是對角矩陣，其元素均大于零，即ri>0(i=1，2，…，m)#65377;

定理2設對于廣義雙線性系統(3)， 系統(E，A)是脈沖自由 的#65380;σ(E，A) C-，且存在常數α使得對于系統(3)的一狀態解x(t)有‖Nix+bi‖≤α‖Ex‖(α>0)，則廣義雙線性系統(3) 在指標函數(4)下有:

(i)存在最優控制ui(i=1，2，…，m)使得廣義雙線性系統(3)的閉環系 統全局漸近穩定，且使目標函數最小，且

minJ=J=12xT0ETVExT 0，其中x0=x(0)，是系統的允許初態，R是對角矩陣，其元素均大于零，即r i>0(i=1，2，…，m)，Q，V是滿足方程ETVA+ATVE=-ET QE的正定矩陣#65377;

(ii)最優控制為

ui=-1ri(x)TETVdi(x )，i=1，2，…，m

其中，x是對應于u的最優軌線#65377;

證明先證明(ii)，因為(E，A)是脈沖自由的，σ(E，A) C-，對于系統(3)考慮Lyapunov函數 V(Ex)=xTETVEx，由引理假設存在正定矩陣Q，V使得(i)的證明如下:

對于廣義雙線性系統(3)，考慮Lyapunov函數V(Ex)=xTETVEx，在 定理假設條件下，只需令α≤γm，不難證明廣義雙線性系統( 7)滿足定理1的條件，所以x=0是廣義雙線性系統(7)的全局穩定平衡點#65377;

下面證明ui=-1rixTETVdi(x) i=1，2，…，m是系統的最優穩定化控制律:

將ui=-1rixTETVdi(x)，i =1，2，…，m代入到廣義雙線性系統(3)中得:

E=Ax-∑mi=11ri (x)TETVd2i(x)(13)

所以

(Ex)|(13)=-12xT ETQEx-1ri(xTETVdi(x))2 (14)

顯然(Ex)≤0，和定理1中的證明相似，容易證明limt→∞x=0#65377;

由上面的證明知，在滿足定理的條件下x=0是系統的一個全局穩定平衡點，即l imt→∞x=0，由(12)式可知

3最優化控制器的設計

根據定理2可以設計廣義雙線性系統的最優化控制器，其步驟如下:

a#65380;選擇狀態向量加權矩陣Q=QT，Q>0;

b#65380;根據Lyapunov方程(5)求出矩陣V;

c#65380;選擇控制向量加權矩陣

R=diɑg(ri)，ri>0，i=1，2，…，m;

d#65380;根據(10)式獲得最優化控制器#65377;

4可行性算例

考慮單輸入廣義雙線性系統

顯然，σ(E，A) C-，我們取

Q=diɑg(2，2，2，2)，R=0.5，解Lyapunov方程(5)得到:1，1)，由(10)式，可以得到我們所求的最優控制器為#65377;

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