基于ＧＡＲＣＨ模型族的上海股市波動性分析

摘要：以上證綜合指數(shù)為研究對象，采用GARCH模型族對2000—2006年中國上海股票市場的波動情況進行了實證分析。研究表明，上海股市具有明顯的ARCH效應，股指收益率具有顯著的“尖峰厚尾”特點，存在波動的集群性，市場“杠桿效應”顯著，期望收益與期望風險之間存在正相關關系。

關鍵詞：上證綜合指數(shù);波動性;GARCH模型族

中圖分類號：F830.91 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X(2007)03-0081-03

1 引言

股票市場價格的波動性主要體現(xiàn)在未來價格偏離期望值的可能性，價格上漲或下跌的可能性越大，股票的波動性越大。可以說，股票的波動性代表了其未來價格的不確定性，這種不確定性一般用方差或者標準差來刻畫(Markowitz，1952)。

傳統(tǒng)的經(jīng)濟計量模型在描述股票市場收益率時，一般都假設收益率的方差保持不變，但是大量的對股票收益率數(shù)據(jù)的實證研究結果表明，這一假設是不合理的。大量研究結果表明，股票收益率表現(xiàn)為在某個時間段波動大，而在另一個時間波動段又比較小的現(xiàn)象。對于這種具有“尖峰厚尾、微弱但持久記憶、波動集群”等現(xiàn)象的時間序列，傳統(tǒng)經(jīng)濟計量方法要求的同方差性的條件得不到滿足，因此運用傳統(tǒng)的回歸模型進行建模進而進行統(tǒng)計推斷往往會產(chǎn)生嚴重偏差。Engle(1982)[1]首先提出了ARCH模型(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model)，為解決此類問題提供了新的思路。Bollerslev(1986)[2]在Engle的基礎上對異方差的表現(xiàn)形式進行了直接的線性擴展，形成了應用更為廣泛的GARCH模型。在隨后的幾十年中，經(jīng)濟學家們又對上述模型進行了擴展和完善，形成了GARCH-M、TARCH、EGARCH等模型，進而形成了一個GARCH模型族。本文即運用GARCH模型族作為工具，對以上證綜合指數(shù)為代表的上海證券交易所的股票價格的波動性進行了實證分析。

2 模型概述

金融時間序列的一個顯著特點是條件異方差性。Engle(1982)[1]提出自回歸條件異方差(ARCH)模型，Bollerslev(1986)[2]將其推廣到廣義ARCH模型(GARCH)。ARCH類模型現(xiàn)在已被廣泛應用于金融計量領域。在波動性研究中最廣泛采用的是GARCH模型，其定義由均值方程和條件方差方程給出。

2.1 GARCH(1，1)模型

均值方程：y_t=cx_t+ε_t

條件方差方程：h_t=Var(ε_t|Ψ_t-1)=a₀+a₁ε²_t-1+β₁h_t-1

其中a₁＞0，β₁＞0同時為保證GARCH(1，1)是寬平穩(wěn)的，要求a₁+β₁＜1。

2.2 GARCH(1，1)-M模型

為了更好地描述金融收益率序列的特征，人們發(fā)現(xiàn)隨著風險程度的加大，股票收益率也隨之加大，為此可以將GARCH(1，1)模型進行推廣，允許條件方差對收益率產(chǎn)生影響，這就是由Engle和Robins(1987)等[3]引入的GARCH(1，1)-M模型。

均值方程：y_t=c＇x_t+ε_t+λh_t

條件方差方程：h_t=Var(ε_t|Ψ_t-1)=a₀+a₁ε²_t-1+β₁h_t-1

當存在風險獎勵時，在上述均值方程中當期條件方差的調整系數(shù)λ＞0;當存在風險懲罰時，在上述均值方程中當期條件方差的調整系數(shù)λ＜0。

2.3 杠桿效應的TARCH(1，1)模型

資本市場中的沖擊常常表現(xiàn)出一種非對稱效應，這種非對稱效應允許波動率對市場下跌的反應比對市場上升的反應更加迅速，被稱為“杠桿效應”。杠桿效應可以通過在GARCH模型中引入一定程度的非對稱來實現(xiàn)，即Zako an (1994)[4]引入的TARCH(1，1)模型。

均值方程：y_t=c＇x_t+εt

條件方差方程：h_t=Var(ε_t|Ψ_t-1)=a₀+a₁ε²_t-1+β₁h_t-1+γε²_t-1D_t-1其中變量D_t-1是表示絕對殘差變化方向的虛擬變量，當 ε_t-1＜0時D_t-1=1，當ε_t-1≥0時D_t-1=0，參數(shù)γ允許ARCH效應是不對稱的。好消息(ε_t-1≥0)對條件方差的影響為a₁，壞消息(ε_t-1＜0)對條件方差的影響為a₁+γ。因此，當γ≠0且統(tǒng)計上顯著時，說明信息是不對稱的，存在杠桿效應。若γ＞0，表明壞消息(ε_t-1＜0)對波動的影響更大;若γ＜0，表明好消息(ε_t-1≥0)對波動的影響更大。

2.4 EGARCH(1，1)模型

Nelson(1991)[5]提出的EGARCH模型或指數(shù)GARCH模型清晰地融合了對沖擊的非對稱反映，形式為

模型中條件方差采用了自然對數(shù)形式，意味著ht非負，且杠桿效應是指數(shù)型的。若γ≠0，說明信息作用非對稱。如果γ＜0且顯著，那么壞消息就會有更大的影響。

3 實證分析

本文以上證綜合指數(shù)為研究對象，選取2000年1月4日至2006年11月7日共1 645個交易日的日收盤指數(shù)的數(shù)據(jù)，分別采用上述模型來研究股價指數(shù)的收益率波動特性。本文的資料來源于“大智慧”軟件所導出的數(shù)據(jù)，所使用的分析軟件為Eviews5.0。股價指數(shù)的日收益率用相鄰兩天股價指數(shù)對數(shù)的一階差分來表示，即R_t=lnP_t-lnP_t-1，其中Pt為第t日的收盤指數(shù)，P_t-1為第t-1日的收盤指數(shù)，R_t為第t日股價指數(shù)的日收益率。

R_t的各項統(tǒng)計特征如圖1所示。圖1表現(xiàn)出正的偏度，表明收益率明顯右偏;從圖1可以看出峰度為8.612198，遠大于正態(tài)分布的峰度值3，表現(xiàn)出過度峰度，表明日收益率分布與正態(tài)分布相比呈現(xiàn)出“尖峰厚尾”的分布特征，反映出股市存在暴跌暴漲現(xiàn)象;Jarque-Bera正態(tài)檢驗統(tǒng)計量相當之大，從而拒絕正態(tài)分布的原假設。而從線性的描述了上證綜合指數(shù)每天收益率的圖2中，我們可以看出收益率的波動很大，而且呈現(xiàn)出很明顯的波動群聚特征，即大波動之后跟隨較大的波動，小波動之后跟隨較小的波動。

對樣本的日收益率序列進行單位根檢驗(采用Augmented Dickey-Fuller檢驗)，檢驗結果顯示在1%的顯著性水平下，上證指數(shù)日收益率序列的ADF檢驗t統(tǒng)計量的值為-39.40537遠小于MacKinnon臨界值，從而拒絕原假設，即上證綜合指數(shù)日收益率序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列。

為了準確地度量上證綜合指數(shù)日收益率的異方差，在試算的基礎上根據(jù)赤池信息準則(Akaike Information Criterion)確定了模型的滯后階數(shù)為3階。對上證綜合指數(shù)收益率序列利用ARMA(3，0)模型進行回歸估計。對回歸模型的殘差序列進行自相關檢驗，結果表明，在大部分時滯上，收益率序列殘差的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)值都很小，表明收益率序列殘差并不存在自相關。對殘差平方序列進行自相關檢驗，發(fā)現(xiàn)殘差平方序列存在明顯的自相關。同時，進行滯后3期的ARCH-LM檢驗，檢驗結果顯示相伴概率P趨近于零，從而拒絕殘差序列不存在ARCH效應的原假設，說明上證綜合指數(shù)收益率序列存在明顯的ARCH效應，適宜采用GARCH模型。

由于GARCH(1，1)是刻畫條件異方差最簡潔的形式，且能很好地擬合許多金融時間序列，因此我們在實證中采用這一模型，下表列示的是得出的GARCH(1，1)模型族的參數(shù)估計的結果：

進一步對GARCH(1，1)模型族擬合結果的殘差序列進行ARCH-LM檢驗，檢驗結果顯示，ARCH-LM檢驗均接受了不存在ARCH效應的原假設，說明經(jīng)過GARCH(1，1)模型族的擬合后，明顯降低了原序列的波動，而且去掉了其條件方差性。

從下表所列示的GARCH模型族參數(shù)估計結果我們可以得到以下幾點結論：

(一)GARCH模型族的β1的系數(shù)都比較大且通過了顯著性檢驗，說明股價波動具有“長期記憶性”，即過去價格的波動與其無限長期價格波動的大小都有關系。條件方差方程中，系數(shù)a1和β1都顯著為正，說明過去的波動對市場未來波動有著正向而減緩的影響，從而使股市波動出現(xiàn)群聚性現(xiàn)象。a1+β1都接近于1，這說明股市波動對外部沖擊的反應函數(shù)以一個相對較慢的速度遞減，股市一旦出現(xiàn)大的波動在短期內很難消除。另外，由于GARCH(1，1)、TARCH(1，1)、GARCH(1，1)-M模型中a1+β1小于1，說明收益率條件方差序列是平穩(wěn)的，模型具有可預測性。

(二)用EGARCH(1，1)模型和TARCH(1，1)模型反映出不同性質的沖擊對預期收益的影響是顯著不同的，在EGARCH(1，1)模型中γ＜0，在TARCH(1，1)模型中γ＞0，顯示出杠桿效應的存在。顯然在上海股市上壞消息引起的波動比同等大小的好消息引起的波動要大，這說明投資者對損失的敏感性要高于同等程度的盈利的敏感性，人們更在乎已經(jīng)得到的東西。這與美國經(jīng)濟學家卡尼曼的理論是吻合的。在TARCH(1，1)模型的估計結果中，好消息對ln(ht)條件方差的影響為0.053204，而壞消息的影響為0.130228，不對稱效應是明顯的。

(三)GARCH(1，1)-M模型中的參數(shù)估計結果中，均值方程的ht項的系數(shù)是0.180172，在5%的顯著性水平下顯著大于0，這表明日收益率與市場風險水平呈弱正相關，驗證了高風險對應于高收益的投資組合理論。

4 結論

本文以上證綜合指數(shù)2000年1月4日至2006年11月7日共1 645個交易日的日收盤指數(shù)的數(shù)據(jù)為樣本，以相鄰兩天收盤指數(shù)的對數(shù)一階差分來表示股票市場日收益率，通過建立GARCH族模型對中國股市收益波動性進行實證分析。結果表明：第一，上海股票市場收益率具有顯著的“尖峰厚尾”特點，存在波動的集群性，過去的波動對未來的影響是逐漸衰退的，具有波動的持續(xù)性。第二，上海股市的波動具有信息不對稱性，壞消息引起的波動比同等大小的好消息引起的波動要大，杠桿效應存在。第三，期望收益與期望風險之間存在正向關系。GARCH模型族可以模擬我國上海股市收益的特點。

參考文獻：

[1] Engle， Robert F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation. Economet

rica，1982，50：987-1008.

[2] Bollerslev， Tim. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics，1986，31：307-327

[3] Engle，Robert，David M. Lilien， and Russell P. Robins. Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure？ The

ARCH-Model. Econometrica，1987，55：391-406.

[4] Zako an， J. M. Threshold Heteroskedastic Models. Journal of Economic Dynamics and Control，1994，18：931-944.

[5] Nelson， Daniel B. Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns？ A New Approach. Econometrica，1991，59：347-370.

[6] 高鐵梅.計量經(jīng)濟分析方法與建模[M].北京：清華大學出版社，2006.

[責任編輯張凌]