激勵指標選取的數理模型分析

摘要：激勵指標的有效設置能夠大大改善員工的工作業績。文章在委托代理的框架下，分析了激勵指標的選取標準。通過理論分析我們得到了一些基本的評價標準：對于單一指標，相關度越大，指標就越好；對于綜合性指標，向量夾角越小時，指標越好。相關度和向量夾角具有內在的一致性。

關鍵詞：激勵指標；相關度；向量夾角

一、 引言

2004年中國企業績效考核調查結果表明，相對一部分被調查企業認為績效管理/考核在“員工工作調整決策”方面所起的作用比較大，有7.6%的被調查企業認為“作用很大”，有32%的被調查企業認為“作用比較大”；但是，也有部分企業認為績效管理/考核在“員工工作調整決策”沒有起到什么作用，有15.3%的被調查企業認為“作用不是很大”，有9.9%的被調查企業認為“沒有什么作用”。雖然績效管理/考核的主要目的不應該是“員工工資調整決策”，但是企業在做“員工工資調整決策”的時候確實應該主要根據“績效管理/考核”的結果來確定，用“工資調整”來刺激員工績效的提升。這一調查結果表明，國內企業在這方面還有較大的提高空間，企業在今后績效管理/考核的實施過程中，應該把“績效”與“員工工資調整決策”更有機地結合起來。①

績效和員工工資沒有很好的結合起來，很重要的原因是沒有一個滿意的激勵指標來確定員工的支付水平。相關的激勵指標往往很多，但很少有十分滿意的指標，因此企業必須從中選取一些能夠真正激勵員工的指標。如果沒有一些行之有效的標準，將使得企業很難確定哪些指標應該選取。Baker（1992）指出激勵指標和企業目標變量的邊際相關性越強，則這個激勵指標越有效，（2002）又指出激勵指標的選取是考慮扭曲和風險的結果。本文分析了怎樣的指標才能滿足激勵合同的要求，并且提出了一些現實可行的執行方法。

二、 相關假設和評價標準

本文在企業內部委托代理的框架下分析，企業為委托人，而員工為代理人，委托人選取激勵指標來激勵約束代理人。以下分析的共同的假設為：

1． 企業采用線性工資契約來確定員工的工資，即w=A+bp，其中A為固定部分，bp為按激勵指標提成的部分，也就是績效工資。

2． 委托人和代理人都是風險中性的，二者的目標都是最大化自身的期望凈收益。委托人存在一個保留收入，令為w。

3． 委托人的收益v（a，?著1），a為員工的努力水平，?著1為隨機變量，服從N（0，?滓12）分布；p（0，?著2）為一個可以觀測的指標量，?著2為隨機，服從N（0，?滓22）。委托人往往不能直接用v（a，?著1）作為激勵指標，而是尋找另外的一些可以觀測的指標，這里用p（a，?著2）表示。

4． 委托人不能觀察代理人的努力水平，代理人的努力成本函數為c（a）。因為代理人的努力水平不能直接觀察，所以委托人也就不能直接根據員工的努力水平來確定員工的支付水平。

由于我們假設了委托人和代理人都是風險中性，所以我們不用考慮風險升水的問題，這時如果委托人愿意給的激勵系數越大，則說明這個激勵指標就越有效，因為愿意給的激勵系數越大，則說明激勵效果越好。因此我們判斷一個指標好壞的標準是委托人愿意給的激勵系數的大小。為了各個指標之間能夠比較，我們要標準化指標值，使得最優的激勵系數是1，也就是激勵系數在[0，1]之間取值，越大則說明這個指標值越好。當然最重要的是我們必須分析激勵系數高低的原因，了解高激勵系數的指標值滿足哪些性質，這樣我們就可以懂得應該選取怎樣的指標值。

三、 單一激勵指標分析

單一激勵指標是指這個指標值是一項工作的結果，而且這項工作也是一維的。在激勵指標p（a，?著2）中，表現為努力水平a是一維的。舉例說，銷售人員銷售產品，那么我們可以認為銷售額是一維的，除去隨機因素，銷售額是銷售人員花費在銷售工作上的努力的結果。一個指標是單一的，還是綜合的沒有絕對的標準，要看對一項工作進行任務細分后不同任務之間有沒有本質的差別。這里我們把指標分成單一指標和綜合指標是為了分析的方便。

委托人最大化自己的期望利潤，委托人的期望利潤為：

將（5）代入到（4）中，并用二階泰勒近似可得：

其中va表示努力的邊際收益的標準差，?滓pa表示努力的邊際指標值的標準差，rvapa表示努力的邊際收益和邊際指標值之間的相關系數。

這里如果P是標準化指標，則滿足：Eva=Epa②。如果我們假設努力的邊際收益和邊際指標值的期望為1，不影響我們的結論。另外我們假設

可以看出rvapa的大小影響激勵系數的大小，rvapa越大，則激勵系數b越大。rvapa越大表明員工努力的邊際指標值和努力的邊際收益越相關，這時考核指標也就越有效，因為這時指標值能較好的反映員工努力對企業收益的貢獻，如果rvapa=1，這時b=1，達到了最優。

但事實上企業很難計算一個考核指標的rvapa大小，所以我們根據得出的結論推演出其它更加現實可行的判定標準。我們選取的激勵指標值如果：（1）和努力水平具有較強的因果關系；（2）與企業利潤高度相關，那么rvapa也就會比較大。一項激勵指標是否滿足這兩個條件相對容易判斷。如表1所示。

表1單一指標評價標準組合表

其中r1代表努力程度和激勵指標值之間的相關度，而且二者存在內在的因果關系，高努力將導致高的指標值。r2表示指標值和企業收益之間的相關度，也就是指標值是否反映了企業的收益，高的r2值表明指標值能很好的反映企業的收益。

通過圖表可知一個指標值存在四種情況，企業應該選擇滿足（高，高）的指標值，（高，高）表明指標值不僅和努力有很強的因果聯系，而且還和企業收益密切相關，這個指標值是企業業績考核的相對理想值；（低，高）的指標值很具有迷惑性，因為企業利潤高的時候指標值也就大，企業容易認為增加指標值也就能增加利潤，其實由于指標值和努力之間沒有強的因果聯系，這個指標值往往是無效的，不能達到激勵員工努力工作的目的；（高，低）的指標值可能原因是這項指標本身在企業中的重要性很小，所以這個指標值不是很重要的指標；（低，低）的指標值顯然應該舍棄。

四、 綜合激勵指標分析

以上我們分析的激勵指標是一維的，也就是指標值只反映一項工作或工作的一項任務，但現實中我們很難找到單一的指標，往往是一個綜合性的指標，這個指標是多項任務的結果。對于綜合指標，我們不僅要關心運用這個指標考核是否能激勵員工努力工作，還要分析這個指標對努力分配的影響。有些活動能夠增加指標值，但卻不會給企業帶來利潤，合理的努力分配顯然是企業所期望的，例如銀行不僅僅期望客戶經理努力工作，還期望客戶經理在努力增加信貸量的同時，努力降低信貸風險，把努力在增加信貸量和尋找優良信貸項目之間做合理的分配。

為了分析的方便，我們設定函數的具體形式，v（a，?著1）=fa+?著1仍然表示企業收益，p（a，?著2）=ga+?著2表示激勵指標值。v（a，?著1）和p（a，?著2）都是綜合性的指標，是多項任務或多項工作的結果。因此我們不再認為努力水平是一維的，而是一個向量，即a=（a1，a2，K，an）T，其中ai表示花在第i項工作或一項工作的第i項任務上的努力。并且g=（g1，g2，K，gn）是一個向量，表示各種努力的邊際指標值；f=（f1，f2，K，fn）也是一個向量，表示各種努力的邊際利潤值。

圖1綜合性指標評價標準向量圖

兩個向量的模一樣，所以落點處于同一個圓上面。向量g和向量f的夾角?茲決定了指標值p的好壞，?茲等于0時，兩個向量重合，這時b=1，達到最優水平。

當f=（f1，0），g=（0，g2），且f1和g2都大于0時，兩個向量垂直，這時b=0，表明不能運用這個指標來考核客戶經理。這一點很容易解釋，如果用來增加指標值的努力完全不能給企業帶來利潤，那么如果企業以這個指標考核員工，會導致員工把大量的努力花費在對企業沒有意義的工作上，即員工把努力都花費在第一項任務或工作上了，而第一項任務或工作不能給企業帶來任何收益。

五、 總結

本文主要是通過理論模型分析激勵指標的選取標準，基本分析框架是企業內部的委托代理關系。通過分析，我們得出了兩個基本的評價指標：相關度和向量夾角。對于單一指標，相關度越大，則指標越有效，但在運用過程中還需要了解因果關系的存在；對于綜合性指標，向量夾角越小，則指標值越有效。向量夾角和相關度之間有著內在的聯系，向量夾角是相關度的更深一層次分析的結果。另外本文也存在一些不足，首先是理論假設前提的準確性，其次是我們認為代理人是風險中性的，如果代理人是風險規避的，那么我們在分析指標選取的標準時，還必須考慮風險升水的問題，當然本文的結論仍然還有有效的。

注釋：

①參看2004中國企業績效考核現狀調查——績效管理所起到的主要作用。

②標準化的方式是令，其中p（a，著2）是原始指標。經過標準化處理后，最優的激勵系數就為1，方便我們評價指標值的好壞。具體的方式參見George P，Bake（1992）的文章。

③標準化的方式是令，其中p=ga+著，是原始指標值。通過標準化，則最優的激勵系數為1，方便了指標的評價。

參考文獻：

1．George P Baker．incentive contracts and performance measurement．Journal of Political Economy，1992：598-614．

2．Wendelin Schnedler．multi-tasking and the optimality of congruent performance measures．Department of Economics，University of Heidelberg，2004．

3．George P Baker．Distortion and Risk in Optimal Incentive Contracts．Journal of Human Resources，2002：728-750．

4．張維迎．博弈論與信息經濟學．上海：上海三聯書店，上海人民出版社，1996．

作者簡介：張立，湘潭大學商學院講師；張德常，湘潭大學商學院數量經濟學碩士生。

收稿日期：2007-02-21。

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