對一次函數的圖象平移問題的探究

在平面內將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移.雖然圖形平移前后，其形狀、大小保持不變，但它的位置已經發生改變.那么坐標平面內的一次函數圖象的平移又具有怎樣的特點呢？本文和同學們一起探索.

我們首先從一次函數y=x+3談起.如果在平面直角坐標系內將一次函數y=x+3的圖象向右平移2個單位，那么所得圖象的函數關系式是什么呢？由于兩點確定一條直線，因此我們要研究這個問題還是從直線上的特殊點入手.

分析：令y=0，則x=-3，即A（-3，0）；

令x=0，則y=3， 即B（0，3）.

根據圖形的平移性質可以知道：A（-3，0）平移后的對應點為D（-1，0）；B（0，3）平移后的對應點為

C（2，3）.因此，可以應用待定系數法求得平移后的直線的函數關系式為y＝x+1.

由此可知，這兩條直線的自變量x的一次項系數沒有變化，仍然為1，常數項b的值發生了改變.那么對于一般的一次函數是否還存在這樣的性質呢？我們再來求將一次函數y=kx+b（k≠0）向右平移m個單位后所得的函數關系式.

分析：y=kx+b，令y=0，則x=- ，即A（- ，0）；

令x=0，則y=b，即B（0，b）.

根據圖形的平移性質可以知道：A（- ，0）平移后的對應點為D（- +m，0）；B（0，b）平移后的對應點為C（m，b）.因此，可以應用待定系數法求得平移后的直線的函數關系式為y=kx+(b-km).顯然，我們可以發現：一次函數的圖象平移前后，自變量x的一次項系數保持不變.

反過來，我們回頭看看“在平面直角坐標系內將一次函數y=x+3的圖象向右平移2個單位”的問題，我們只需要抓住圖形中的一個特殊點進行解題即可.顯然，一次函數y=x+3的圖象與x軸的交點為（-3，0），則平移后的對應點的坐標為（-1，0）.我們不妨設平移后的函數關系式為y=x+b，因此，有-1+b=0，所以b=1.即一次函數y=x+3的圖象向右平移2個單位后的函數關系式為y=x+1.

下面和同學們一起再來分析兩個例子.

例1求將一次函數y=-2x+4的圖象向上平移3個單位后的直線的函數關系式.

解析根據一次函數的圖象平移前后，自變量x的一次項系數保持不變，我們不妨設平移后的直線的函數關系式為y=-2x+b.

y=-2x+4，令x=0，則y=4， 即取特殊點A（0，4）.所以，點A（0，4）向上平移3個單位后的對應點為B（0，7）.

所以，b=7.即這條直線的函數關系式為y=-2x+7.

說明一次函數的圖象向左或向右平移時，我們往往從直線與x軸的交點入手求得特殊點的對應點；一次函數的圖象向上或向下平移時，我們往往從直線與y軸的交點入手求得特殊點的對應點.

例2y=2x+6的圖象是怎樣平移得到y=2x-4圖象的？

解析顯然，這兩個一次函數的一次項系數沒有變化，因此它們是互相平行的.我們可以從兩個角度進行分析：（1）一次函數y=2x+6的圖象與x軸的交點為（-3，0），一次函數y=2x-4的圖象與x軸的交點為（2，0），所以，將y=2x+6的圖象向右平移5個單位可以得到y=2x-4圖象；（2）一次函數y=2x+6的圖象與y軸的交點為（0，6），一次函數y=2x-4的圖象與y軸的交點為（0，-4），所以，將y=2x+6的圖象向下平移10個單位可以得到y=2x-4圖象.

說明其實本題的答案不惟一，還可以是將一次函數y=2x+6的圖象先向右平移1個單位、再向下平移8個單位得到一次函數y=2x-4圖象，等等.

最后，留一道題讓同學們自己做一做：

求將一次函數y=2x-1的圖象先向左平移2個單位，再向上平移3個單位后的函數關系式.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”