方案設計型中考試題

近年來各地的中考數(shù)學題中出現(xiàn)了設計新穎、富有創(chuàng)新意識的方案設計型試題，綜合考察了同學們應用數(shù)學的意識，以及分析、解決實際問題的能力.

一、用幾何知識解決

例1(2006年，內蒙古鄂爾多斯市)高為12米的教學樓ED前有一棵大樹AB，如圖1(a)．

(1)某一時刻測得大樹AB、教學樓ED在陽光下的投影長分別是BC=2．5米，DF=7．5米，求大樹AB的高度；

(2)現(xiàn)有皮尺和高為h米的測角儀，請你設計另一種測量大樹AB的高度的方案，要求：①在圖1(b)中，畫出你設計的測量方案示意圖，并將應測量的數(shù)據(jù)標記在圖上(長度用字母m，n……表示，角度用希臘字母α，β……表示)；②根據(jù)你所畫出的示意圖和標注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度(用字母表示)．

二、用不等式(組)知識解決

例2(2006年，廣東省湛江市)某工廠現(xiàn)有甲種原料280kg，乙種原料190kg，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品50件，已知生產一件A產品需甲種原料7kg、乙種原料3kg，可獲利400元；生產一件B產品需甲種原料3kg、乙種原料5kg，可獲利350元．

(1)請問工廠有哪幾種生產方案?

(2)選擇哪種方案可獲利最大？最大利潤是多少?

分析：本題從字面上看，找不出明顯的不等關系，但從實際意義上考慮，生產50件產品所用的原料應不超過原有的原料，這里隱含著不等關系，可列出不等式(組).

解：(1)設生產A產品x件，生產B產品(50-x)件，則

7x+3(50-x)≤280，3x+5(50-x)≤190.

解得：30≤x≤32．5．

∵ x為正整數(shù)，∴ x可取30，31，32．

當x=30時，50-x=20，當x=31時，50-x=19，當x=32時，50-x=18.

所以工廠可有三種生產方案，分別為：

方案一：生產A產品30件，生產B產品20件；

方案二：生產A產品31件，生產B產品19件；

方案三：生產A產品32件，生產B產品18件.

(2)方案一的利潤為：30×400+20

×350=19000（元）；

方案二的利潤為：31×400+19

×350=19050（元）；

方案三的利潤為：32×400+18

×350=19100（元）．

因此選擇方案三可獲利最多，最大利潤為19100元．

三、用函數(shù)知識解決

例3 (2006年，遼寧省沈陽市)某企業(yè)信息部進行市場調研發(fā)現(xiàn)：

信息一：如果單獨投資A種產品，則所獲利潤yA(萬元)與投資金額 x(萬元)之間存在正比例函數(shù)關系：yA=kx，并且當投資5萬元時，可獲利潤2萬元；

信息二：如果單獨投資B種產品，則所獲利潤yB(萬元)與投資金額 x(萬元)之間存在二次函數(shù)關系：yB=ax2+bx，并且當投資2萬元時，可獲利潤2．4萬元；當投資4萬元，可獲利潤3．2萬元.

(1)請分別求出上述的正比例函數(shù)表達式與二次函數(shù)表達式；

(2)如果企業(yè)同時對A、B兩種產品共投資10萬元，請你設計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少.

分析：第(1)小題根據(jù)題意用待定系數(shù)法即可求出兩函數(shù)表達式；第(2)小題要建立利潤和投資額之間的函數(shù)關系，進而根據(jù)函數(shù)的性質設計一個能獲得最大利潤的投資方案.

解：(1)當x=5時，yA=2，得2=5k，解得k=0．4，∴yA=0．4x.當x=2時， yB=2．4； 當x=4時， yB=3．2，

∴2.4=4a+2b，3.2=16a+4b， 解得a=-0.2，b=1.6.

∴yB=-0．2x2+1．6x．

(2)設企業(yè)對B種產品投資x萬元，則企業(yè)對A種產品投資(10-x)萬元，獲得利潤為W萬元，根據(jù)題意得 W=-0．2x2+1．6x+0．4(10-x)=-0．2x2

+1．2x+4=-0．2(x-3)2+5．8.

∴當x=3時，W取最大值，最大值為5．8，故企業(yè)對A種產品投資7萬元，對B種產品投資3萬元，這樣投資可以獲得最大利潤5．8萬元．

四、用概率知識解決

例4 (2006年，四川省內江市)小紅和小明在操場做游戲，他們先在地上畫了半徑分別為2m和3m的同心圓(如圖3)，蒙上眼在一定距離外向圈內擲小石子，擲中陰影小紅勝，否則小明勝，未擲入圈內不算，你來當裁判.

(1)你認為游戲公平嗎?為什么?

(2)游戲結束，小明邊走邊想，“反過來，能否用頻率估計概率的方法，來估算非規(guī)則圖形的面積呢?”請你設計方案，解決這一問題.(要求畫出圖形，說明設計步驟、原理，寫出公式)

分析：本題是以游戲為載體的概率試題，寓游戲于考試之中，創(chuàng)意新穎，設計巧妙．解決本題的關鍵是應用面積比與概率之間的關系.

解：(1)不公平.

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