淺淡幾何數學模型的活學、活記、活用

新課程理念強調：數學教學要從學生已有的知識和生活經驗出發，讓學生親身經歷將現實問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。從小培養和發展兒童建構、運用數學模型的意識和能力，是對小學數學教師的要求，也是在新課程實施中，需要廣大教師思考和實踐探索的重要課題。數學模型是指數學中各種基本概念以及用數學符號語言或圖像語言刻劃表達的某種實際問題的數學結構。有關幾何圖形方面的周長、面積、體積計算公式就是一種數學模型。不過，有關幾何知識的數學模型多而雜，較抽象，易混淆，是教學的一大難點。如何優化教法和學法，讓學生在數學建模與應用中更好地掌握知識、發展能力、培養興趣、促進創新，打破幾何知識難教難學的神話呢?下面就從如何引領學生活學、活記、活用幾何計算公式這三個方面談談自己的一些做法。

一、教學手段直觀化——活學

要使學生很好地理解幾何知識方面的計算公式，教者必須借助有效的直觀手段，幫助學生建立有關幾何圖形的清晰表象，掌握幾何圖形的特征，理解計算公式的建模過程，發展學生的空間觀念和形象思維能力。教者除了借助實物、模型進行直觀演示外，操作和畫圖是最好的直觀化手段。

1，動手操作。心理學家皮亞杰指出：兒童的思維是從動作開始的。學生動手操作是一種特殊的認知活動。這一動態的活動既滿足了學生好奇、好動、好表現的心理特點。又可以集中學生的注意力，激發學習的動機。通過操作活動，能夠促進學生更深刻地理解數學知識，從中建立空間感。在實際教學中，老師大多是讓學生進行實物操作和學具操作，卻忽視了手勢操作。實物操作和學具操作是手勢操作的前提，但用得過多，就易使學生過于依賴外在的物體使思維水平停留在低層次的視覺和觸覺操作層面：而手勢操作的優勢就是讓學生借助短暫的實物操作和學具操作所積累的感知經驗，通過想象、比劃和口頭表述等外部活動促進內部思維活動快速高效地展開，使學生在頭腦中迅速生成關于外在感知對象的清晰表象。學生借助于頭腦中的表象就能易如反掌地掌握幾何圖形的特征，理解相關的計算公式。發展自己的空間觀念和形象思維能力。如：我在教學長方體面的特征時，先讓學生拿實物或自制的模型摸一摸長方體的6個面，觀察相對面的大小關系，緊接著就果斷拋開實物與模型，讓學生在眼前想像一個長方體，并用兩個手掌相對，分別比劃出它的前后面、左右面和上下面，并戲稱這是在玩“降龍十八掌”，學生興致極高。接著進行比劃競賽：師說出一個面或相對面，生用手掌比劃，看誰反應快。通過巧妙的比劃游戲，有關面的特征就不只是寫在黑板上的一段枯燥抽象的文字(長方體有6個面，3組相對面，相對面是完全相同的長方形)。而是已經牢牢地建立在學生腦海中以具體形象為基礎的心智圖像。學到棱的時候，我同樣先讓學生借助實物或模型數棱，認識相對棱，概括出棱的特征后，我帶領學生玩食指禪功：每個學生與同座面對面，共同想像出一個長方體，各自伸出2個食指，合作比劃同一方向的四條棱，邊比劃邊說：左右(上下、前后)方向四條棱；然后進行比劃相對棱的游戲：師發口令，同座合作比劃，看哪一組同學動作快!有了這樣的手勢操作，12條棱的清晰表象已牢牢地建構在學生的腦海中了。正是由于巧妙地借助動手操作尤其是手勢操作幫助學生建立了有關長方體面、棱特征的具體表象，學生在建構有關長方體的表面積和棱長總和計算公式時就表現得相當積極主動。感覺特容易、特爽!而當我在總復習時讓學生說出長方體的特征時。學生們倒背如流、口若懸河。難怪呀!十指連心那!

2，畫圖法。建構數學圖像語言的材料是十分豐富的。而畫圖相對于實物和模型操作來說，更方便、更經濟，相對于手勢操作來說。更清晰、更直觀，更利于揭示數學模型的本質特征。更利于學生充分展開數學思維。如在教學圓柱體的表面積公式S=C(H＋R)時，我就借助了畫圖法。圓柱體表面積公式書上只介紹了S表＝S底×2＋S，而我在一開始的教學中也沒有將S＝C(H＋R)介紹給學生。因為當時考慮到有關面積方面的公式太多，學生易混淆，怕增加學生的學習負擔。之后的綜合練習中出現了有關這一公式的選擇題，全班無一人答出。于是我決定與學生共同探討這一計算公式。

師：圓柱側面展開是什么圖形?(長方形)長、寬各是多少?(C和H)

根據學生的回答師畫圖1。

師：圓柱底面的圓形可以剪拼成什么圖形?(長方形)長、寬各是多少?(∏R，R)將上下兩個圓形底面剪拼成的長方形拼成更大的長方形，長、寬各是多少?(2∏R和R，也就是C和R)

根據學生的回答師畫圖2。

師：將長、寬是C和H的長方形與長、寬是C和R的長方形上下再拼起來，又得到了什么圖形?(長方形)長、寬各是多少?(C和H＋R))怎樣求它的面積?所以圓柱的表面積還可以怎樣算——

學生們頓時兩眼放光。紛紛舉手，有的競手舞足蹈地大喊起來：S＝C(H＋R)

師反問：記住了這幅剪拼圖。還發愁記不住這一公式嗎?

生：NO!這一公式太容易了，太簡單了，我更喜歡這一公式!

由于巧妙借助了畫圖法，學生輕而易舉地就掌握了這一公式，并大有相見恨晚之感。所以，只要有直觀形象的教法和學法，再難的知識也會變得簡單容易。

我覺得手勢操作和畫圖法是幾何知識教學中非常有用的直觀手段，是幫助學生迅速高效地生成清晰表象、發展形象思維能力和空間觀念的捷徑，經濟、方便、簡單、實用，事半功倍。

二、溝通聯系系統化——活記

有關幾何知識方面的計算公式多而雜。經過一段時間的學習后，要及時引導學生對這部分知識進行系統地梳理、整合，溝通內在的聯系，讓學生親歷溫故知新的過程，通過比較、辨析知識之間的聯系和區別，形成一個比較完整的知識網絡。這樣不僅能使學生更好地掌握知識的本質。加深對公式全面而系統的認識，便于深刻理解和長久記憶，達到牽一發而動全身的功效；更能提高所學知識的通識性，使學生在運用數學模型解決實際問題時能融會貫通、靈活變通、左右逢源、游刃有余!如有關圓的長度和面積計算公式，書上只介紹了5個，即d＝2r，r＝d÷2，C＝∏d，C＝2∏r，S＝∏r。而在實際運用中。常要進行公式的逆用，如已知周長求半徑或直徑；或不能直接用公式計算，如已知直徑或周長求圓的面積。于是我又增加了相應的4個計算公式：d＝C÷∏，學了半圓和圓環后，我又增加了相應的5個計算公式。這樣有關圓方面的計算公式就是14個。而這14個公式的聯系是相當密切的。只要抓住其中的3個基本公式(d＝2r，C＝∏d，S＝∏r)進行逆向反推或正向類推。其余公式就水落石出，記憶它們也就不費吹灰之力了。

在記憶這些公式時，我要求學生完整表述，如：已知直徑求半徑的公式是r＝d÷2，已知周長求半徑的公式是r＝C÷∏÷2。這樣不僅使學生徹底搞清公式之間的區別，還能使學生在實際運用中能根據已知條件靈活選用合適的計算公式，從而真正達到活記活用、學為所用的目的。而在教學圓周長的一半和半圓周長時，我則自創出字母和圖形相結合的計算公式，便于學生更好地把握公式內涵，同時還讓學生邊比劃手勢邊口述公式，從而使學生真正心領神會地建構了這一數學模型，真可謂“一兩撥千斤”。

從教學效果看。這14個公式不僅沒有增加學生的學習負擔，反而讓學生真切地感受到知識的聯系性與系統性，體驗到巧學活記的輕松愉悅，感受到數學公式的簡潔美和靈活美，提高了思維的逆向性、綜合性、靈活性和敏捷性，使所有學生(包括數學后進生)真正獲得數學學習的成功。

由于有關圓的計算公式學得深刻而系統，使得學生的認知結構更具遷移性和通識性，所以學生在學習有關圓柱的計算公式時顯得得心應手、易如反掌。在畢業總復習時，學生們很輕松地就回憶起有關平面圖形和立體圖形的36個公式，他們的駕輕就熟、了如指掌讓我也有幾分吃驚。于是我試探地問：已經將這36個公式熟記于心的請舉手!剎那間，教室里小手如林!是那樣的自信與愉悅!我心中好一陣感動與自豪!由此可見，融會貫通、自成系統的知識一定是活的知識、活的智慧!它就像滾動的雪球，越“滾”越大，越“滾”越快。越“滾”越富有靈性；學生也越學越輕松，越學越聰明，越學越富有智慧!

下面就是我與學生共同整理出來的有關小學數學幾何知識的全部計算公式，共36個!數學模型的簡潔概括、直觀通融之美盡顯其中!

三、指導解題有序化——活用

記住了計算公式不等于就會用公式解決實際問題。在解決幾何實際問題時。我們可以通過由“單位——公式——算式——豎式”組成的“四點三步”的解題流程來指導學生思考，滲透解題策略，提高學生的實踐能力和解決問題的本領。

1，圈“單位名稱”定解題方向。在幾何知識的實際運用中，涉及到的單位較多，包括長度單位、面積單位、體積單位、容積單位、質量單位等。在審題過程中，讓學生圈出題中的所有單位名稱，不僅可以加強學生對不同單位名稱的關注，明確是否需要同類單位名稱間的互化，還能根據不同單位名稱的量之間的聯系定出解題方向和思路。可以說，單位名稱就是幾何應用題的解題線索和思維命脈。

案例1：做一個底面直徑0.6米，高1米的圓柱形油箱，至少需要多少平方分米的鐵皮?如果每升汽油重0.8千克，這個油箱能存汽油多少千克?

在分析思路時，我是這樣引導學生進行分析的：

師：本題中有哪些單位名稱?需要單位互化嗎?

生1：本題中有長度單位米，面積單位平方分米，容積單位升，質量單位千克。要將長度單位米化為分米，再求面積，因為面積單位是平方分米。

生2：也可以先求出圓柱的表面積是多少平方米，再化為平方分米。

師：很好!如何解決第二個問題?

生3：升是容積單位。由“每升汽油重0.8千克”可知汽油質量與油箱的容積有關，所以先求油箱的容積是多少立方米，并化為多少升，再求汽油質量。

生4：也可以先將長度單位米化為分米，再求出容積是多少立方分米，也就是多少升，最后求汽油質量。

對于這道題，學生的易錯點首先就是忽略單位互化。再有，就是習慣用第一問中求出的結果乘0，8，求第二個問題的結果。而抓住單位名稱來進行分析，這兩個易錯點就迎刃而解了。

2，由已知條件定計算公式。有關幾何知識的計算公式很多。除了在教學計算公式時要讓學生明白每個公式是已知什么求什么外，在實際解題時，更應要求學生根據題中的已知條件準確、靈活地確定相應的計算公式，并正確無誤地寫出來。這樣既鞏固了公式的記憶，又提高了靈活運用公式的能力，培養了應用數學模型解決實際問題的能力，達到學以致用的目的。在審題時。要提醒學生注意一些重要字眼，如：“無蓋”、圓錐、通風管、煙囪、壓路機等，以提高公式運用的正確性、靈活性。

在案例1中。由于題中已知圓柱的直徑和高，所以求圓柱表面積的公式是：S＝∏(d÷2)2×2＋∏dh，求容積的公式是：V＝∏(d÷2)h。

案例2：一個圓錐形小麥堆，底面周長為12.56米。高1.5米。每立方米小麥重750千克，這堆小麥約重多少千克?

分析：這一題要先由底面周長和高求出圓錐的體積，再由體積求小麥的質量，所以選用的公式是：V＝∏(C÷∏÷2)h÷3

3，由“三式一體”確保解題質量。所謂“三式一體”，就是要求學生在解題時詳寫每道題的公式、算式、豎式，通過“三式”連續正確高效的書寫，提高答題的效率。讓學生將公式寫出來，不僅可以使教者清楚地了解學生的思路，進行有針對性的指導，還使學生進一步鞏固公式的記憶，并對照公式正確列出算式，避免因解題條件過多而發生漏寫的情況。正確寫出公式和相應的算式后，還要認真寫豎式，克服怕算抄算的惡習，準確、認真地算出計算結果，踏實有效地提高計算能力，培養良好的學習習慣。

有關圓、圓柱、圓錐等幾何知識方面的計算繁雜易錯，為了提高計算的速度和正確率，教者要在具體的學習情境中進行算法指導。首先是注意口算與筆算的結合。如計算案例2中的算式時，通過乘法結合律將與750相乘為250，(12.56÷3.14÷2)與1.5相乘為6，250與6相乘為1500，最后列豎式計算3，14乘1500為4710。求案例1中的汽油重量時，先將算出72，再列豎式計算3.14乘72得226.08。其次是要求學生在計算中有意識地記住某些常見數據。同時借助估算來幫助檢驗筆算的正誤。如：3.14x16，可把3.14看成3，3乘16為48，所以3.14x16＝50.24；如果算成3.14x16＝18.84，顯然就錯了。另外，由于計算多了，學生對有關3.14方面的計算就形成了一定的直覺，感覺某些結果很眼熟，如：113.04，226.08，78.5，7.065，100.48，471，56.52等。所以不妨提醒學生借助數感與直覺來判斷計算的正誤。

由于在平時教學時就注意了幾何計算公式的活學、活記、活用，所以學生們對這部分知識學得扎實、牢固、靈活。當我追問解決這類問題要注意什么時，學生們如數家珍，滔滔不絕：要圈單位，注意單位互化；要由單位名稱定思路，如有的物體質量與面積有關，像：每平方米用漆0.5千克，有的與體積有關，像：每立方米石油重800千克：要看清有蓋還是無蓋；求圓錐的體積要乘三分之一：計算時要注意口算、估算、簡算、筆算相結合；與煙囪、通風管、壓路機前輪等有關的面積計算只要求側面積，等等。當時我內心好不激動!是呀，活的知識不僅容易激活，更能活化為學生的能力和智慧，成為學生持續發展和終身發展的源頭活水。