數學公式的性格

沈致遠

數學公式分為三大類：恒等式、等式、不等式。

恒等式的變量取任何數值都相等。例如：(x+y)2=x2+2xy+y2，無論x、y取何值，此式兩邊都相等。就像天平兩邊等重，兩臂永遠持平。

等式的變量必須取特定數值才相等。例如：x2=1，只有x=1或x=-1，此等式兩邊才相等。就像天平稱物，放上特定砝碼兩臂才持平。

顧名思義，不等式的兩邊不相等。例如：x>0，x是正數都行；x<0，x是負數都行。就像天平之兩臂向左或向右傾斜而失去平衡。

數學公式也有性格。恒等式的性格寬宏大量，對變量數值沒有任何約束，可隨心所欲。等式的性格一絲不茍，對變量約束得非常嚴格，只能取特定數值，差一點也不行。以上是兩個極端，不等式介乎其中，其性格隨和而有原則，變量有很大的活動空間，但不能逾越界限。

數學公式在物理學中有廣泛的應用。物理學之守恒定律最重要的有三：能量守恒定律、動量守恒定律、角動量守恒定律，均以相應的等式表示。任何物理過程，其總能量、總動量和總角動量過程前后必須相等，差一點也不行。科學家愛追根究底：能量、動量、角動量為什么守恒？德國著名女數學家諾特（A. E. Noether, 1882-1935）證明的“諾特定理”給出了回答，這三個守恒定律均與時空性質有密切關系。能量守恒由于時間平移不變性，動量守恒由于空間平移不變性，角動量守恒由于空間旋轉不變性。換言之：能量、動量、角動量之守恒分別為時間、空間、方向均勻性之表現。譬如，想象你在完全沒有摩擦力其平如鏡的冰上自由滑行，由于冰面均勻———二維空間平移不變，按動量（等于質量與速度之乘積）守恒定律，你會以等速一直向前滑行；如發現在某處滑行速度突然改變，那一定是該處冰面有異———二維空間不再平移不變。可見，等式一旦注入物理內容，就變得鮮活起來。

物理學的定律、定理及方程大多以等式表示，但別以為不等式不重要。以物理學中兩個著名不等式為例，說明其重要性。

熱力學第二定律又名“增熵定律”：封閉系統中的熵不會自動減少。以數學公式表示：熵隨時間之變化率大于零，是一個不等式。按照熱力學定義，熵是能量差額除以絕對溫度（攝氏度加273度）。將冰塊置入保溫瓶內熱水中，略等片刻，發現冰塊溶化而水溫降低。冰塊溶化所吸收的能量等于水溫降低所放出的能量，能量差額之絕對值相等；冰塊的溫度比水的溫度低，所以冰塊溶化所增加的熵比水溫降低所減少的熵多，故為增熵過程，符合熱力學第二定律。

“這有什么稀奇？”這確實不稀奇，但有誰見過保溫瓶中的溫水自動變回熱水和冰塊？為什么沒有？因為此逆過程減熵，違反熱力學第二定律。

有人不服氣，說：“將溫水置入冰箱不就結出冰塊了嗎？”對不起！他忘記了增熵定律的先決條件“封閉系統”，置入冰箱中的溫水向外放出熱量才會結出冰塊，已不再符合封閉系統條件。

熱力學第二定律非常重要，大到宇宙演化小到日常生活，其作用無處不在。信手拈來幾個減熵過程的例子：瀑布從深潭躍起飛向懸崖之巔（李白：“遙看瀑布掛前川，飛流直下三千尺”之逆過程）；落英躍上枝頭變回鮮花（晏殊：“無可奈何花落去”之逆過程）；坑內灰燼變回篆書竹簡，冢中枯骨復活為敢言儒生（秦始皇焚書坑儒之逆過程）。這類事不可能！為什么？因為違反熱力學第二定律那個增熵不等式。讀者不妨試試，會想出更多有趣的例子來。一個增熵不等式，就演化出這么多故事，誰說數學枯燥無味？

物理學中另一個著名不等式是“測不準原理”，德國物理學家海森堡（Werner Heisenberg, 1901-1976）證明：量子力學中的一對“共軛量”不可能同時測準。例如：能量與時間、動量與空間、角動量與方向均為共軛量，在原則上無法同時測準。測不準原理以不等式表示：一對共軛量偏差額之乘積大于“普朗克常量”，兩者此長彼消。

別被測不準原理的“測”字所誤導，以為只適用于測量。其實這是翻譯失真，英文是：Uncertainty principle，按理應譯為“不確定性原理”，其含意是：一對共軛物理量的數值具有不確定性，這是量子世界固有之本性，即使不去測量也存在。例如：動量與空間尺度是一對共軛量，微觀粒子所處的空間尺度越小，粒子的動量及其不確定性就越大；因為能量包含動能，相應的能量及其不確定性也隨之增大。原子的尺度約為一百億分之一米，與之相應的能量是原子外層價電子所具有的化學能。核子的尺度約為一千萬億分之一米，大約是原子尺度的十萬分之一，與之相應的能量是核能。核能大于化學能約十萬倍，這是因為產生核能的核子運動局限于極其微小空間內。

根據海森堡測不準原理，空間越小所蘊藏的能量就越大。聰明的讀者會問：“在無窮小空間內是否蘊藏著無窮大能量？”這取決于兩個因素：一是海森堡測不準原理是否普遍適用。多數物理學家傾向于肯定；二是許多物理學家相信，空間有一個最小尺度———“普朗克長度”約為一千億億億億分之一米，大約是核子尺度的一萬億億分之一，相應的普朗克能量約為核能的一萬億億倍！這雖然不是無窮大，現有技術水平離此極限還遠著呢。石油價格飛漲導致能源危機，根本解決之道：鉆進更小的空間中去尋找更大的能量，海森堡如是說。他那個不等式好厲害！

夠了！不妨輕松一下。美國一些家長具有恒等式性格，對子女管教寬宏大量放任自流，造成有些子女逃課甚至輟學，這是一個極端。中國許多家長具有等式性格，對子女嚴加管束一絲不茍，造成子女不堪重負嚴重影響身心健康，這是另一個極端。兩極取其中，不等式性格的家長對子女教育成長比較有利。對此我有親身體會：幼年喪父，我兄弟三人全靠寡母獨力支撐撫養成人。母親史國瑞系出名門，畢業于蘇州高等師范學校。她教子有方，讓我們兄弟按個人志趣愛好自由發展，只要不干壞事。這不就是典型的不等式性格嗎？如今回想起來，仍覺受益終身。

（陳放薦自2007年3月18日《解放日報》）

責編：葉萬軍