例說導(dǎo)數(shù)的工具價值

　　在中學(xué)數(shù)學(xué)的新課程中，新增加的導(dǎo)數(shù)單元作為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)重要的銜接點，顯得格外引人矚目導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵豐富了對函數(shù)等問題的研究方法，已成為近幾年全國各地高考數(shù)學(xué)的一大熱點另外，導(dǎo)數(shù)又具有很強(qiáng)的知識交匯功能，以其為載體的的問題情景如繁花似錦，給師生在復(fù)習(xí)內(nèi)容和方法上的選擇帶來困惑從這個意義上說，高三師生采取什么樣的策略復(fù)習(xí)、復(fù)習(xí)的重點落在何處？顯得至關(guān)重要，愿本文能起拋磚引玉之效.
　　1教材分析與考點分析
　　在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中，導(dǎo)數(shù)處于一種特殊的地位，一方面它是溝通初、高等數(shù)學(xué)知識的重要銜接點，滲透和加強(qiáng)了對學(xué)生由有限到無限的辯證思想的教育，突破了許多初等數(shù)學(xué)在思想和方法上的桎梏，拓寬、優(yōu)化和豐富了許多數(shù)學(xué)問題解決的思路、方法和技巧. 另一方面它具有很強(qiáng)的知識交匯功能，可以聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容，如常與函數(shù)、數(shù)列、三角、向量、不等式、解析幾何等內(nèi)容交叉滲透、自然交匯，并成為解決相關(guān)問題的重要工具.
　　從高考關(guān)于導(dǎo)數(shù)單元的發(fā)展軌跡看，以下二個特點非常顯著：
　　1.1循序漸進(jìn)：從總體上看，高考考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識是一個循序漸進(jìn)的過程. 導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容剛進(jìn)入高考數(shù)學(xué)新課程卷時，其考試要求都是很基本的，以后逐漸加深，通過近五年的命題實踐，高考對導(dǎo)數(shù)考查的思路已基本成熟. 考查的基本原則是重點考查導(dǎo)數(shù)的概念與運用. 這部分內(nèi)容的考查一般分三個層次：
　　第一層次主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則和某些與實際背景有關(guān)的問題（如瞬時速度、邊際成本、加速度、切線的斜率等）.
　　第二層次主要考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值、最值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的單調(diào)性等.
　　第三層次是綜合考查，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式和解析幾何等有機(jī)地結(jié)合在一塊，設(shè)計綜合試題（包括應(yīng)用題）. 由于學(xué)生感到困難和疑惑的主要是這部分，本文重點探討這部分的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí).
　　1.2與時俱進(jìn)：高考關(guān)于導(dǎo)數(shù)部分的發(fā)展軌跡的第二個特點是與時俱進(jìn). 由于利用導(dǎo)數(shù)這個有效的工具，突破了許多初等數(shù)學(xué)在思想和方法上的桎梏，拓寬了許多數(shù)學(xué)問題解決的思路，優(yōu)化和豐富了解題的方法和技巧，大大提高了學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法去分析、解決數(shù)學(xué)問題與實際問題的能力，因而越來越多地受到高考命題專家的青睞，加之高考命題專家一般都有高等數(shù)學(xué)的背景，對導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵價值的認(rèn)識比較深刻，預(yù)計2008年以及今后幾年高考仍將延續(xù)這一熱點.
　　
　　2導(dǎo)數(shù)單元的復(fù)習(xí)策略和重點
　　
　　從導(dǎo)數(shù)本身的重要性和高考的發(fā)展趨勢看，我們應(yīng)該高度重視導(dǎo)數(shù)單元的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí). 那么，我們應(yīng)該采取怎樣的策略呢？可以從二個方面進(jìn)行剖析.
　　首先，《江蘇省普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》“教學(xué)要求”中的“課程目標(biāo)”欄目明確指出：通過導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的教學(xué)，理解導(dǎo)數(shù)的含義，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)及其在實際中的作用；感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實際問題中的作用以及變量數(shù)學(xué)的思想方法，提高學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)的知識和函數(shù)的思想分析、解決數(shù)學(xué)問題與實際問題的能力.
　　其次，從近幾年的全國高考新課程卷的命題重點來看，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的數(shù)學(xué)試題有上升的趨勢. 在這類試題中，導(dǎo)數(shù)只不過是一種工具，是創(chuàng)設(shè)這類試題情景的一種取向，求導(dǎo)的過程并不難，它不是這類試題的最終落腳點，它的最終落腳點是考查函數(shù)的性質(zhì)及等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合、歸納類比和分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 因此，老教材高考的重點和難點，仍是新課程高考復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容.
　　由此可見，在導(dǎo)數(shù)單元的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中，我們要防止僅僅將導(dǎo)數(shù)作為一種規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，而忽視它的思想和價值. 不應(yīng)把重點放在求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的純技巧、高難度的訓(xùn)練上，避免過量的形式化的運算練習(xí)，而應(yīng)該突出導(dǎo)數(shù)的工具價值，提升學(xué)生的應(yīng)用意識.
　　
　　3導(dǎo)數(shù)的工具價值舉要
　　
　　當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用主要表現(xiàn)在3個方面：
　　切線的斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）；函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的極值和最值.
　　對這些內(nèi)容學(xué)生應(yīng)從基本概念、基本技能到思想方法都要清楚明了、爛熟于心，形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 認(rèn)知心理學(xué)告訴我們，學(xué)生只有形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能轉(zhuǎn)化為能力，從而去解決更高層次的問題.
　　3.1優(yōu)化了綜合性問題的解法
　　導(dǎo)數(shù)為有效地解決一些傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)問題提供了一般性的方法. 如求曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值、不等式的證明及有關(guān)的實際問題. 運用求導(dǎo)的方法計算簡便、形象直觀，豐富和優(yōu)化了數(shù)學(xué)問題（特別是綜合題）的解法.
　　簡評這是一道典型的函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合題，利用導(dǎo)數(shù)大大優(yōu)化了問題解決的流程.
　　3.2拓寬了分析解決問題的思路
　　導(dǎo)數(shù)作為工具不但為研究函數(shù)相關(guān)問題提供了有效的途徑和簡便的方法，同時在解決其它的問題上也有不可替代的優(yōu)越性. 積極利用導(dǎo)數(shù)解題，一方面體現(xiàn)了與新教材的主動接軌，另一方面也拓展了學(xué)生的解題空間，開闊了學(xué)生的視野、提高了學(xué)生的解題能力，體現(xiàn)了新課程的要求和特點.
　　分析本題的難度也是知識的遷移，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的一個有力的工具. 因而想到構(gòu)造函數(shù)的思路，新的難點是構(gòu)造什么函數(shù)——需要重新整合自變量，推敲后可以通過取對數(shù)達(dá)到這一目標(biāo).
　　點評兩種解法都充分凸現(xiàn)了函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法在解題中的價值，可謂各有千秋、各盡其妙. 但我們仔細(xì)推敲后可以發(fā)現(xiàn)，解法1對兩條曲線中有一條是直線的情形比較簡捷明了（用到了導(dǎo)數(shù)的幾何意義），但對兩條曲線（不含直線）交點的研究則無能為力，而解法2對兩條曲線（不含直線）交點的研究則仍舊適用，因而解法2更具有一般性，是研究這類問題的通性通法.
　　導(dǎo)數(shù)以其豐富的思想內(nèi)涵和廣泛的應(yīng)用性，已成為現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)新課程中重要的章節(jié)，而它強(qiáng)大的知識交匯功能也會引發(fā)出許多新穎別致、豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，與高考試題注重創(chuàng)新、開放、探究性的命題意圖不謀而合，因而已成為近幾年高考命題的熱點，從發(fā)展趨勢看，今后可能還會持續(xù)這一熱點. 在以導(dǎo)數(shù)為載體的繁花似錦般的問題情景中，我們應(yīng)牢牢把握一條主線——領(lǐng)悟?qū)?shù)的思想內(nèi)涵，突出導(dǎo)數(shù)的工具價值.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。